第十七章 特殊三角形（单元测试·提升卷）数学冀教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十七章 特殊三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）已知在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 7．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）一张等腰直角三角形彩色纸如图放置，已知，，现要沿边向上依次截取宽度均为的长方形纸条，如图所示．已知截得的长方形纸片中有一块是正方形，则这块正方形纸片是第（      ）块． A．五 B．六 C．七 D．八 8．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 9．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，一个长方体的上、下底面是边长为的正方形，其高为，从点A处开始，将装饰彩条绕其侧面一周，彩条另一端落在点B处，则需要装饰彩条的长度至少为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北·阶段练习）若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为 ． 14．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了 ． 15．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图是由边长为 的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：点 与点 关于点 中心对称；连接，，，则平分；连接，则点 ， 到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ． 16．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，．求证：． 18．（8分）（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 19．（8分）（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的周长是_______； (2)四边形的面积是_______； (3)连接，是直角三角形吗？判断并说明理由． 20．（8分）（2025·河北保定·二模）情境 如图1是由8个边长为1的正方形拼成的图形，能否只剪切两刀，将剪切后的图形不重叠、无缝隙地拼成一个大正方形？ （1）图1的面积为__________，拼成的大正方形的边长为__________； 探究 （2）嘉嘉的方案是：“如图2，沿，各剪一刀，就可以拼成大的正方形．”直接写出的长为__________； 淇淇的方案是：“如图3，沿，各剪一刀，就可以拼成大的正方形．”请在图3中补全拼成的大正方形，并标明序号． 应用 （3）图4是由5个边长为1的正方形拼成的图形，把它剪拼成一个大正方形．当剪切次数最少时，请借助刻度尺、三角尺或圆规，画出裁剪线的位置． 21．（9分）（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，是角平分线，，过点作，垂足为．    (1)若，求与之间的数量关系； (2)若，，，求的长； (3)若，为线段（不与点，重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 22．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 23．（11分）（24-25八年级上·河北廊坊·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 24．（12分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十七章 特殊三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）已知在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，分别根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理判断出三角形的形状即可． 【详解】解：A、∵，， ∴． ∴是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴，即． ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴△ABC是钝角三角形，符合题意； D、∵， ∴令，，， ∴，即， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项C正确． 【详解】解：由图示知，嘉淇第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：C． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可． 【详解】解：∵点，， ∴线段， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．连接、．根据轴对称的性质，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：如图，连接、． ∵点P关于、的对称点分别为E、F， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 7．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）一张等腰直角三角形彩色纸如图放置，已知，，现要沿边向上依次截取宽度均为的长方形纸条，如图所示．已知截得的长方形纸片中有一块是正方形，则这块正方形纸片是第（      ）块． A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据题意得，，所求的正方形距离顶点C有，进而即可求出答案． 【详解】解：，， ，，， 的高和底边比为， 沿边向上依次截取宽度均为的长方形纸条，长方形上边与顶点组成的三角形与相似，其高和底边的比均为， 若截得的长方形纸片中有一块是正方形，则这块正方形的长度也是， 这块正方形距离顶点C有，此时正方形的边为，， ， 正方形纸片是第7块， 故选：C． 8．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 9．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 10．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，一个长方体的上、下底面是边长为的正方形，其高为，从点A处开始，将装饰彩条绕其侧面一周，彩条另一端落在点B处，则需要装饰彩条的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形侧面展开图的应用及勾股定理，解题的关键是将长方体侧面展开为平面长方形，把立体图形中绕侧面一周的最短路径问题转化为平面上两点间的最短距离（即长方形对角线）问题，再利用勾股定理求解． 将长方体侧面展开，得到一个长方形，其一边长为长方体底面正方形的周长（因彩条绕侧面一周），另一边长为长方体的高；展开后点A和点B分别位于该长方形的两个对角顶点，彩条最短长度即为这个长方形的对角线长，通过勾股定理可求出该长度． 【详解】解：∵长方体上、下底面是边长为 的正方形， 底面正方形的周长为． 将长方体侧面展开，得到一个长方形，该长方形的一边长为底面周长另一边长为长方体的高． ∵从点A绕侧面一周到点B的最短彩条长度，即为展开后长方形的对角线长度， ∴由勾股定理得，彩条长度为． 故选：D． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴， ∴点在射线上运动， 当点与点重合时，取最小值，此时点重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质； 设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，延长和交于点，如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北·阶段练习）若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题关键是根据等腰三角形的三线合一求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：，，； 则； 由勾股定理得，． 故答案为：8． 14．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理求出杆的长度．根据勾股定理求出杆的长度，然后减去B距离O的距离即可得出答案． 【详解】解：由题意得，即． 当滑块向下滑到点时，滑块距点的距离是， 故滑块滑动了． 故答案为： 15．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图是由边长为 的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：点 与点 关于点 中心对称；连接，，，则平分；连接，则点 ， 到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关键是根据描述，正确地画图，熟练掌握相关知识点．根据描述，作图，逐一进行判断即可； 【详解】解：①如图：    点与点关于点中心对称；故①正确； ②如图：    由图可知：， ∴为等腰三角形， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴经过的中点， ∴平分，故②正确； ③如图，点到的距离为，点到的距离为，    ∴， ∴点，到线段的距离相等，故③正确； 综上，正确的有①②③； 故答案为：①②③． 16．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】证明可得，得到点在射线上运动，如图所示，作点关于的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，即，由得到，即得，进而由勾股定理得，据此即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，为高上的动点， ， ∵将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ∴点在射线上运动， 如图所示，作点关于的对称点，连接， 设交于点，则， 在中，，则， 当三点共线时，取最小值，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质结合角的和差关系推出，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 18．（8分）（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 【答案】(1)船向岸边移动了米 (2)的值是8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出（米），结合速度和时间，得出米，运用（米），故米，即可作答． （2）结合题意得米，结合勾股定理得，，整理得，解得，最后运用勾股定理列式计算（米），即可作答． 【详解】（1）解：在中，（米）． ∵此人以每秒1米的速度收绳，4秒后船移动到点的位置， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， 答：船向岸边移动了米； （2）解：∵此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）. 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（米）， ∴（米）， ∴的值是8． 19．（8分）（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的周长是_______； (2)四边形的面积是_______； (3)连接，是直角三角形吗？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，割补法求面积，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别运用勾股定理算出每条边的长度，再根据周长公式列式计算，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）结合最大边的长度的平方等于较小的两边的长度的平方和，得是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 即四边形的周长是， 故答案为：； （2）解：， 即四边形的面积是， 故答案为：； （3）解：是直角三角形，理由如下： 连接，如图所示： 则 由（1）得 ∵ ∴是直角三角形． 20．（8分）（2025·河北保定·二模）情境 如图1是由8个边长为1的正方形拼成的图形，能否只剪切两刀，将剪切后的图形不重叠、无缝隙地拼成一个大正方形？ （1）图1的面积为__________，拼成的大正方形的边长为__________； 探究 （2）嘉嘉的方案是：“如图2，沿，各剪一刀，就可以拼成大的正方形．”直接写出的长为__________； 淇淇的方案是：“如图3，沿，各剪一刀，就可以拼成大的正方形．”请在图3中补全拼成的大正方形，并标明序号． 应用 （3）图4是由5个边长为1的正方形拼成的图形，把它剪拼成一个大正方形．当剪切次数最少时，请借助刻度尺、三角尺或圆规，画出裁剪线的位置． 【答案】（1）8；；（2）；见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义． （1）根据正方形的个数求出图形的面积，根据拼成的大正方形的面积求出边长即可； （2）①根据勾股定理求出即可； ②根据剪出的图形，拼出正方形即可； （3）根据拼成的大正方形的边长为，进行裁剪即可． 【详解】（1）解：图1的面积为8，拼成的大正方形的边长为； （2）①； ②补全拼成的大正方形，如图所示： （3）∵5个正方形的面积为5， ∴拼成的大正方形的面积为5， ∴拼成的大正方形的边长为， 故最少的裁剪线的位置，如图所示： 21．（9分）（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，是角平分线，，过点作，垂足为．    (1)若，求与之间的数量关系； (2)若，，，求的长； (3)若，为线段（不与点，重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意得，得到是等边三角形，结合是角平分线，再利用三线合一性质可得，即可得出结论； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理得到，利用和三角形的面积公式即可求出的长； （3）利用角平分线的定义和三角形外角的性质求出，由是以为腰的等腰三角形，分2种情况①；②，利用三角形内角和定理分别求出对应的的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 是等边三角形， 又是角平分线， ， 与之间的数量关系为． （2）解：如图，过点作于点，   是角平分线，，， ， ， ，即， 解得：， 的长为3． （3）解：， ， 又是角平分线， ， ， ， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若，则； ②若，则； 综上所述，的度数为或．    22．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 【答案】(1)见解析 (2)③ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出，，根据，得出，即可证明结论； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据等腰三角形“三线合一”得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴是底边上的中线，底边上的高线， ∴，， 无法证明，故①②④正确，③错误． 故答案为：③． 23．（11分）（24-25八年级上·河北廊坊·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法为解题的关键． 初步把握：利用证出，即可解答； 深入研究：利用证出，再利用角的等量代换解答即可； 拓展延伸：利用证出，再利用角的等量代换解答即可． 【详解】初步把握：解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴； 拓展延伸：解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴， ∴． 24．（12分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 【答案】（1）①为直角三角形；理由见解析；②；（2）①；②或；（3） 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【详解】解：（1）①为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形； ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴； （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或． （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十七章 特殊三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C C B B A C C D D C B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．8 14． 15．①②③ 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质结合角的和差关系推出，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，············································4分 又∵，， ∴．············································7分 18．（8分） 【答案】(1)船向岸边移动了米 (2)的值是8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出（米），结合速度和时间，得出米，运用（米），故米，即可作答． （2）结合题意得米，结合勾股定理得，，整理得，解得，最后运用勾股定理列式计算（米），即可作答． 【详解】（1）解：在中，（米）． ∵此人以每秒1米的速度收绳，4秒后船移动到点的位置， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， 答：船向岸边移动了米；············································4分 （2）解：∵此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）. 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（米）， ∴（米）， ∴的值是8．············································8分 19．（8分） 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，割补法求面积，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别运用勾股定理算出每条边的长度，再根据周长公式列式计算，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）结合最大边的长度的平方等于较小的两边的长度的平方和，得是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 即四边形的周长是， 故答案为：；············································2分 （2）解：， 即四边形的面积是， 故答案为：；············································4分 （3）解：是直角三角形，理由如下：············································5分 连接，如图所示： 则 由（1）得 ∵ ∴是直角三角形．············································8分 20．（8分） 【答案】（1）8；；（2）；见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义． （1）根据正方形的个数求出图形的面积，根据拼成的大正方形的面积求出边长即可； （2）①根据勾股定理求出即可； ②根据剪出的图形，拼出正方形即可； （3）根据拼成的大正方形的边长为，进行裁剪即可． 【详解】（1）解：图1的面积为8，拼成的大正方形的边长为；············································2分 （2）①；············································4分 ②补全拼成的大正方形，如图所示： ············································6分 （3）∵5个正方形的面积为5， ∴拼成的大正方形的面积为5， ∴拼成的大正方形的边长为， 故最少的裁剪线的位置，如图所示： ············································8分 21．（9分） 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意得，得到是等边三角形，结合是角平分线，再利用三线合一性质可得，即可得出结论； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理得到，利用和三角形的面积公式即可求出的长； （3）利用角平分线的定义和三角形外角的性质求出，由是以为腰的等腰三角形，分2种情况①；②，利用三角形内角和定理分别求出对应的的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 是等边三角形， 又是角平分线， ， 与之间的数量关系为．············································2分 （2）解：如图，过点作于点，   是角平分线，，， ， ， ，即， 解得：， 的长为3．············································5分 （3）解：， ， 又是角平分线， ， ， ， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若，则； ②若，则； 综上所述，的度数为或．············································9分    22．（9分） 【答案】(1)见解析 (2)③ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出，，根据，得出，即可证明结论； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据等腰三角形“三线合一”得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴；············································5分 （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴是底边上的中线，底边上的高线， ∴，， 无法证明，故①②④正确，③错误． 故答案为：③．············································9分 23．（11分） 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法为解题的关键． 初步把握：利用证出，即可解答； 深入研究：利用证出，再利用角的等量代换解答即可； 拓展延伸：利用证出，再利用角的等量代换解答即可． 【详解】初步把握：解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：；············································3分 深入研究：解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴；············································6分 拓展延伸：解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，············································8分 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴， ∴．············································11分 24．（12分） 【答案】（1）①为直角三角形；理由见解析；②；（2）①；②或；（3） 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【详解】解：（1）①为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形；············································2分 ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴；············································4分 （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴；············································6分 ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或．············································10分 （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为．············································12分 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十七章 特殊三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）已知在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 7．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）一张等腰直角三角形彩色纸如图放置，已知，，现要沿边向上依次截取宽度均为的长方形纸条，如图所示．已知截得的长方形纸片中有一块是正方形，则这块正方形纸片是第（      ）块． A．五 B．六 C．七 D．八 8．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 9．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，一个长方体的上、下底面是边长为的正方形，其高为，从点A处开始，将装饰彩条绕其侧面一周，彩条另一端落在点B处，则需要装饰彩条的长度至少为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北·阶段练习）若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为 ． 14．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了 ． 15．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图是由边长为 的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：点 与点 关于点 中心对称；连接，，，则平分；连接，则点 ， 到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ． 16．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，．求证：． 18．（8分）（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 19．（8分）（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的周长是_______； (2)四边形的面积是_______； (3)连接，是直角三角形吗？判断并说明理由． 20．（8分）（2025·河北保定·二模）情境 如图1是由8个边长为1的正方形拼成的图形，能否只剪切两刀，将剪切后的图形不重叠、无缝隙地拼成一个大正方形？ （1）图1的面积为__________，拼成的大正方形的边长为__________； 探究 （2）嘉嘉的方案是：“如图2，沿，各剪一刀，就可以拼成大的正方形．”直接写出的长为__________； 淇淇的方案是：“如图3，沿，各剪一刀，就可以拼成大的正方形．”请在图3中补全拼成的大正方形，并标明序号． 应用 （3）图4是由5个边长为1的正方形拼成的图形，把它剪拼成一个大正方形．当剪切次数最少时，请借助刻度尺、三角尺或圆规，画出裁剪线的位置． 21．（9分）（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，是角平分线，，过点作，垂足为．    (1)若，求与之间的数量关系； (2)若，，，求的长； (3)若，为线段（不与点，重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 22．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 23．（11分）（24-25八年级上·河北廊坊·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 24．（12分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $