专题01 统计中的八类压轴题（专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题01 统计中的八类压轴题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知统计数据辨别重要的数据特征（常考点） 1 题型二、总体方差公式的相关证明（难点） 4 题型三、分层抽样中的总体方差计算 9 题型四、方差中的最值压轴问题（难点） 11 题型五、方差与平均数的综合压轴 15 题型六、统计数据的综合应用压轴（重点） 19 题型七、统计图的综合应用 22 题型八、统计中的新定义压轴问题 28 B 综合攻坚・能力跃升 题型一、已知统计数据辨别重要的数据特征（常考点） 1．（24-25高一下·广东深圳·期末）四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 2．（24-25高三上·河北邯郸·月考）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是25，众数是23； 乙球员：5个数据的中位数是28，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ）（多选题） A．甲球员连续5场比赛得分都不低于23分 B．乙球员连续5场比赛得分都不低于23分 C．丙球员连续5场比赛得分都不低于23分 D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23 3．（24-25高一下·广西·开学考试）某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（    ）（多选题） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2025高二下·浙江温州·学业考试）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续5天的日平均温度均超过10℃．现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有（   ）（多选题） A．平均数为12，极差为3 B．中位数为13，众数为11 C．众数为15，极差为6 D．平均数为16，方差为6 5．（24-25高一下·陕西西安·期末）四名同学各投掷骰子次，记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定出现点数的是（   ） A．众数为，极差为 B．中位数为，极差为 C．平均数为，极差为 D．平均数为，众数为 题型二、总体方差公式的相关证明（难点） 6.（24-25高一下·宁夏固原·期末）统计学作为数学的一个重要分支，其犹如一座坚实的大厦，构建于严谨的数学基石之上，为理解和诠释数据提供了强大的支撑，请用你所学到的统计知识解答以下问题： (1)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，…，，第j层的样本量为，样本平均数为，样本方差为，.记，总的样本平均数为，样本方差为，证明：，即. (2)为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某校在高一年级400名学生中随机抽取40人，统计他们某一周的生活费支出，得到下面的结果： 抽取的学生 生活费支出的平均数 生活费支出的标准差 男生22人 380 女生18人 360 根据以上数据及（1）结论，估计该校高一学生这周生活费支出的总体平均数、总体方差. 7．（24-25高一下·福建龙岩·期末）某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：    若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题. (1)求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数； (2)在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000. （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为.证明：. （ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差. 8．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为. (1)证明：；(2)证明：； (3)现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 9．（25-26高二上·广东中山·月考）某市体质健康测试标准包括身体形态､身体机能､身体素质､运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人. (1)求图中的值；(2)并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和第75百分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；(3)若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为名学生分数的平均数为，方差为. ①②.请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由. 10．（24-25高一下·宁夏银川·期末）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①；②. 题型三、分层抽样中的总体方差计算 11．（2025·湖南·模拟预测）为了解某学校学生每周阅读课外书籍的数量，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法.现抽取高一学生20人，其每周阅读课外书籍数量的均值为4本，方差为4；抽取高二学生30人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为2．则该学校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总体均值和方差分别是（   ） A．总体平均数为3.4本，总体方差为3.24 B．总体平均数为3.5本，总体方差为3.04 C．总体平均数为3.4本，总体方差为3.04 D．总体平均数为3.5本，总体方差为3.24 12．（24-25高一下·安徽六安·期末）某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 13．（2026高三·湖南·专题练习）甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90；乙班的平均成绩为90分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 . 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有： 流水线1 流水线2 流水线3 总计 方差 0.825 0.634 0.810 均值 9.0 9.4 9.2 则流水线2的均值为 ，流水线3的方差为 ． 15．（25-26高二上·黑龙江·期中）某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差 题型四、方差中的最值压轴问题（难点） 16．（24-25高二上·绵阳·期末）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（    ） A．至少有个位置存放了不少于个数据 B．若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C．若的方差为，则的最小值为，最大值为 D．若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 17．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为 . 18．（2025高三·湖南·专题练习）在一组样本数据中，正整数，，，出现的频率分别为，，，，且，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（  ） A．， B．， C．， D．， 19．（2025·河北·模拟预测）已知一组非负数样本数据为2，3，5，8，，，则下列说法中正确的是（    ）（多选题） A．该组数据至多有2个众数 B．若该组数据的分位数为8，则 C．该组数据的平均数小于极差 D．当时，该组数据的方差最小 20．（25-26高二上·广东汕头·月考）某校为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数、频率. (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有70%的学生选择物理为高考考试科目，试求a的估计值（结果精确到0.1）. (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值. 题型五、方差与平均数的综合压轴 21．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（    ）（多选题） A．13 B．12 C．11 D．10 22．（2025·湖北·模拟预测）设一组样本数据满足，则（    ）（多选题） A．拿走，这组数据的方差变大 B．拿走，这组数据的方差变大 C．拿走，这组数据的方差减小 D．拿走，这组数据的方差减小 23．（2025·广东·模拟预测）两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ）（多选题） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 24．（2025·广东广州·三模）某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（    ）（多选题） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（24-25高二下·北京东城·期末）一组单调不减的数据（即），满足.记这组数据的方差为；数据的方差为，数据的方差为；数据的方差为.给出下列四个结论： ①存在单调不减的数据，使得；②存在单调不减的数据，使得； ③存在单调不减的数据，使得；④对任意单调不减的数据，都有.其中正确结论的序号是 . 题型六、统计数据的综合应用压轴（重点） 26．（25-26高一上·成都·期中）已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（    ）（多选题） A．中位数不变 B．平均数不变 C．标准差不变 D．四分位数不变 27．（24-25高一下·山西运城·期末）一组数据、、、、，满足，若去掉、后组成一组新数据，则新数据与原数据相比（    ）（多选题） A．极差变小 B．平均数变小 C．第百分位数变小 D．方差变小 28．（24-25高一下·福建厦门·月考）设样本数据，，的平均数为，中位数为，标准差为，则（    ）（多选题） A．若，则数据，，的平均数为 B． C．不可能组成等边三角形的三边 D．有可能组成直角三角形的三边 29．（24-25高二下·浙江·期末）设样本数据，若，则（   ）（多选题） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数小于的中位数 C．的极差大于的极差 D．的方差小于的方差 30．（2025·江西·模拟预测）设样本数据的平均数为，中位数为，标准差为，则（    ）（多选题） A．若，则数据的平均数为 B．若，则数据的平均数为 C．不可能组成等边三角形的三边 D．有可能组成直角三角形的三边 题型七、统计图的综合应用 31．（2025·湖北武汉·模拟预测）某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量（单位：百辆），得到如下折线图： 现对2021年至2024年这4年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差分别为和，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为和，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·福建福州·期末）某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ）（多选题） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 33．（25-26高二上·四川成都·月考）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准x（千瓦时）；月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用电情况进行了一次调研，并将参与调查的居民的用电情况绘制成了如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并且计算居民用电的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)若该地区市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准x（千瓦时），估计x的值；（结果保留整数） (3)设居民用电的平均数为x，若按居民用电量是否在区间内进行比例分配的分层随机抽样，抽取100位居民进行深度调研，用电量在区间内的抽取50人，试求m的值. 34．（24-25高一下·广东梅州·期末）某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1    已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. (1)根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？(2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 35．（25-26高三上·吉林·月考）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前10%进入决赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计进入决赛的最低分数；(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率；(3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 题型八、统计中的新定义压轴问题 36．（24-25高一下·广东广州·期末）在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则 . 37．（24-25高一下·安徽合肥·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值；(2)当时，求满足的的个数； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由． （注：实数满足：，当且仅当时取“”号） 38．（24-25高二下·浙江杭州·期中）将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解．(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 39．（24-25高三下·浙江·开学考试）一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. (1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； (2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 40．（2025·河北·模拟预测）机器模型预测常常用于只有正确与错误两种结果的问题.表1为根据模型预测结果与真实情况的差距的情形表格，定义真正例率，假正例率.概率阈值为自行设定的用于判别正(反)例的值，若分类器(分类模型)对该样例的预测正例概率大于等于设定的概率阈值，则记分类器预测为正例，反之预测为反例. 总例 预测结果 正例 反例 真实 情况 正例 真正例 假反例 反例 假正例 真反例 表1分类结果样例划分 利用这些指标绘制出的ROC曲线可衡量模型的评价效果：将各样例的预测正例概率与从大到小排序并依次作为概率阈值，分别计算相应概率阈值下的与.以为横坐标，为纵坐标，得到标记点.依次连接各标记点得到的折线就是ROC曲线.图1为甲分类器对于8个样例的ROC曲线，表2为甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据. 样例数据 甲分类器 乙分类器 样例标号 样例属性 预测正例概率 预测正例概率 1 正例 0.23 0.34 2 正例 0.58 0.53 3 反例 0.15 0.13 4 反例 0.62 0.39 5 正例 0.47 0.87 6 反例 0.47 0.53 7 反例 0.33 0.11 8 正例 0.77 0.63 表2甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据    (1)当概率阈值为0.47时，求甲分类器的ROC曲线中的对应点； (2)在图2中绘制乙分类器对应的ROC曲线(无需说明绘图过程)，并直接写出甲，乙两分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积； (3)按照上述思路，比较甲，乙两分类器的预测效果，并直接写出理想分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为1的充要条件. 1.（24-25高一下·河北邢台·月考）小明在整理一组数据3，1，5，2，3，6，4，x，y时，不小心漏掉了2个数据，用x，y代替.已知x，y都是1到6中的一个整数（包含1和6），且这组数据的中位数和众数都是3，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·海南海口·月考）已知一组数据a，b，c，d，e，f的第40百分位数与方差分别为m，n，则新数据，，，，，的第40百分位数与方差分别为（    ） A．m，n B．2m， C．， D．，4n 3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·江西·期末）某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 5．（2025·广西·模拟预测）李老师家有3名人员，3名人员的年龄与2年后的年龄相比较，一定不会发生变化的是（   ）． A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 6．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（    ） A．平均数为5.5 B．平均数为6.5 C．方差为12.5 D．方差为13.5 7．（24-25高二下·北京·期中）一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 8．（25-26高三上·河北邯郸·期中）有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（    ）（多选题） A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 9．（24-25高一下·福建漳州·期末）四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是（    ）．（多选题） A．平均数为3，中位数为4 B．平均数为3，方差为1 C．平均数为4，极差为4 D．平均数为2，第80百分位数为4 10．（2025高三·湖北·专题练习）将连续5天的日平均气温（单位：℃）的记录数据作为一组样本，则下列样本中一定满足这5天的日平均气温均低于10℃的有（    ）（多选题） A．平均数为3，极差为2 B．中位数为7，众数为9 C．众数为5，极差为6 D．平均数为4，方差为2 11．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）从日历上随机选14个日期，记这些日期中星期一到星期天的天数分别为，下列结论正确的是（   ）（多选题） A．中最多有4个数据大于2 B．若的极差为6，则中最多有4个数据为0 C．若的方差为，则 D．若的方差为，且中位数为3，则 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知一组样本数据，其中为正实数.满足.下列说法正确的是（   ）（多选题） A．样本数据的第50百分位数为 B．已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 13．（24-25高三下·河南开封·月考）已知点与点关于点对称，若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（    ）（多选题） A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 14．（2025·安徽合肥·三模）有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，现去除其中的两个数据，去除的两个数据记为和，则下列一定正确的是（   ）（多选题） A．若，则极差不变 B．若，则第75百分位数不变 C．若，则平均数不变 D．若，则中位数不变 15．（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为 . 16．（25-26高一下·河南·月考）为促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校开发出文化艺术课程､科技课程､体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为.已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 . 17．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）已知一组数据（）的平均数为，标准差为s，，若，则s与的大小关系为：s .（填上恰当的大小关系符号） 18．（25-26高三上·广东佛山·月考）某书店内有2017本书．下面的框线图显示店内书的售价的分布．已知这些书的总售价是，而该分布的分布域是四分位数间距的4倍． (1)求该分布的下四分位数和分布域． (2)现书店的经理增加210本新书，如下表所示： 种类 每本书的售价 书的数目 旅游书 92$ 102 小说 h$ 54 漫画 k$ 54 已知增加210本新书后店内所有书的平均售价至少是，且．该经理宣称增加210本新书后，书的售价的中位数小于105$．你是否同意？试解释你的答案． 19．（24-25高一上·山东青岛·月考）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 20．（24-25高一下·广东东莞·期末）树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查．记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.    (1)证明：； (2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (3)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 21．（24-25高一下·福建厦门·月考）给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． (1)证明：;(2)证明：的最小值为；(3)求当取最小值时，的取值． 22.（2025·江西新余·模拟预测）睡眠是守卫健康的忠臣，小周同学就高三同学睡眠问题展开了一次调研活动： * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人 (3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 (4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 (5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 (6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 (7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 (9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 (1)小周同学调查了振兴中学高三随机十个班级的单个学生睡眠平均时长所在区间的人数分布，请补全这张统计表（横向代表班级序号，纵向代表平均睡眠时长所在区间，框内数据代表人数）与直方图并通过直方图估计振兴中学高三同学睡眠的分位数（作图不要求写出过程）； (2)之后，小周同学收集了随机名同学的具体平均睡眠时长，这些数据中男生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与；女生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与，请根据以上数据计算出这名同学的睡眠时长总方差. (3)睡眠连续性得分是判断睡眠质量的分数度量，一般算合格.临近大型考试，小周同学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分，请根据图表得出两条有效信息并为他提出一条可行的睡眠建议. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 统计中的八类压轴题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知统计数据辨别重要的数据特征（常考点） 1 题型二、总体方差公式的相关证明（难点） 4 题型三、分层抽样中的总体方差计算 9 题型四、方差中的最值压轴问题（难点） 11 题型五、方差与平均数的综合压轴 15 题型六、统计数据的综合应用压轴（重点） 19 题型七、统计图的综合应用 22 题型八、统计中的新定义压轴问题 28 B 综合攻坚・能力跃升 题型一、已知统计数据辨别重要的数据特征（常考点） 1．（24-25高一下·广东深圳·期末）四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 【答案】D 【详解】对于A，平均数为2，中位数为1，说明5次点数总和为，且将5次点数从小到大排序，第三位为1，则从小到大排序前三位是1,1,1，后两位点数之和为，不确定是否出现点数6，故A错误； 对于B，中位数为3，众数为2，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3，且2至少出现过两次， 则从小到大排序前三位是2,2,3，后两位不确定是否出现点数6，故B错误； 对于C，中位数为3，极差为4，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3， 极差可能是，也可能是，不确定是否出现点数6，故C错误； 对于D，平均数为2，方差为2.4，说明5次点数总和为， 若出现点数6，则其他四次点数之和为，只能是1,1,1,1， 则方差，所以一定没有出现点数6，故D正确.故选：D. 2．（24-25高三上·河北邯郸·月考）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是25，众数是23； 乙球员：5个数据的中位数是28，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ）（多选题） A．甲球员连续5场比赛得分都不低于23分 B．乙球员连续5场比赛得分都不低于23分 C．丙球员连续5场比赛得分都不低于23分 D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23 【答案】AD 【详解】A选项，设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为、、、、，由题则，，且23至少出现2次，故，故A正确； B选项，设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，、，，，则，由题.取，，，，可得其平均数为26满足条件，但有2场得分低于23，故B错误，C选项，设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为、、、、， 由已知， 所以. 取.因为、、、、的平均数为25， 所以.取，，，， 满足要求，但有一场得分低于23分，故C错误； D选项，若，此时，与题意不符； 同理可得均不合题意.则. 因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为. 若，则，故，与矛盾. 所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23，故D正确. 故选：AD. 3．（24-25高一下·广西·开学考试）某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（    ）（多选题） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】ACD 【详解】对于A，因为中位数为3，众数为5，所以这7个数从小到大排列后，第4个数是3，所 以中一定有一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出现7，则正确. 对于B，因为中位数为4，极差为3，所以这7个数可以是，则B错误. 对于C，若出现1个7，则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前3个数之和最小为3， 从而这7个数的平均数最小为，即这7个数的平均数不可能为3，故C正确. 对于，设这7个数分别为，则， . 若7，则, 从而这6个数可能是或或 或或或或或 或或，这与矛盾， 即这7个数中一定没有出现7，故D正确.故选：ACD 4．（2025高二下·浙江温州·学业考试）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续5天的日平均温度均超过10℃．现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有（   ）（多选题） A．平均数为12，极差为3 B．中位数为13，众数为11 C．众数为15，极差为6 D．平均数为16，方差为6 【答案】BD 【详解】令5天数据从小到大为， A：由，则，且， 若，则，存在满足要求，但不符合入春指标，错； B：由题设，且，故5个数据均超过10，符合入春指标，对； C：由题设，若，且，则，不符合入春指标，错； D：由题设，，则， ， 则， 若，则，矛盾，符合入春指标，对. 故选：BD 5．（24-25高一下·陕西西安·期末）四名同学各投掷骰子次，记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定出现点数的是（   ） A．众数为，极差为 B．中位数为，极差为 C．平均数为，极差为 D．平均数为，众数为 【答案】C 【详解】对于A选项，数据、、、的众数为，极差为，但没有出现，A不满足要求； 对于B选项，数据、、、的中位数为，极差为，但没有出现，B不满足要求； 对于C选项，设个数据由小到大排序为、、、，则， 则，若，则，由， 可得，不合乎题意，舍去； 所以，故，由，可得， 所以数据、、、或、、、合乎题意.C满足要求； 对于D选项，数据、、、的平均数为，众数为，但没有出现，D不满足要求.故选：C. 题型二、总体方差公式的相关证明（难点） 6.（24-25高一下·宁夏固原·期末）统计学作为数学的一个重要分支，其犹如一座坚实的大厦，构建于严谨的数学基石之上，为理解和诠释数据提供了强大的支撑，请用你所学到的统计知识解答以下问题： (1)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，…，，第j层的样本量为，样本平均数为，样本方差为，.记，总的样本平均数为，样本方差为，证明：，即. (2)为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某校在高一年级400名学生中随机抽取40人，统计他们某一周的生活费支出，得到下面的结果： 抽取的学生 生活费支出的平均数 生活费支出的标准差 男生22人 380 女生18人 360 根据以上数据及（1）结论，估计该校高一学生这周生活费支出的总体平均数、总体方差. 【答案】(1)证明见解析(2)371；362.5 【详解】（1） ，， 同理可得， 即，即得证． （2），. 7．（24-25高一下·福建龙岩·期末）某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：    若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题. (1)求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数； (2)在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000. （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为.证明：. （ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差. 【答案】(1)众数450，中位数为380 (2)（i）证明见解析；（ii）平均数1000M，方差50000 【详解】（1）估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数450     由频率分布直方图可知流量少于300的所占比例为，流量少于400的所占比例为，所以抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在内，且中位数为 . （2）（i）证明：根据方差的定义，总样本的方差为 由，可得 同理可得 因此 （ii）估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数为 由（i）知，估计该大型企业全体员工手机日使用流量的方差为 8．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为. (1)证明：；(2)证明：； (3)现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)60kg， 【详解】（1）设第一层有个数，分别为，平均数为，， 第二层有个数，分别为，平均数为，方差为，则， 所以总体平均数； （2）， 由可得，同理， ∴ ； （3）由（1）可知，，即该校所有学生体重的平均数为， 由（2）可知. 9．（25-26高二上·广东中山·月考）某市体质健康测试标准包括身体形态､身体机能､身体素质､运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人. (1)求图中的值；(2)并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和第75百分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；(3)若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为名学生分数的平均数为，方差为. ①②.请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由. 【答案】(1)；；(2)平均数78.8；第75百分位数87；(3)相等，理由见解析 【详解】（1）由低于80分的人数为108，得， 因为频率之和为1，所以； （2）平均数， 前3个矩形面积之和为0.54，前4个矩形面积之和为0.84， 故第75百分位数在之间，设第75百分位数为，则， 所以平均数为78.8，第75百分位数为87； （3）设，，显然，， ①-②得： . 所以①和②相等. 10．（24-25高一下·宁夏银川·期末）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①；②. 【答案】(1)，众数是；(2)，；(3)①证明见解析 ；②证明见解析. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是. （2）， . （3）①依题意，，所以原等式成立. ②， 又，则，同理， ， 所以. 题型三、分层抽样中的总体方差计算 11．（2025·湖南·模拟预测）为了解某学校学生每周阅读课外书籍的数量，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法.现抽取高一学生20人，其每周阅读课外书籍数量的均值为4本，方差为4；抽取高二学生30人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为2．则该学校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总体均值和方差分别是（   ） A．总体平均数为3.4本，总体方差为3.24 B．总体平均数为3.5本，总体方差为3.04 C．总体平均数为3.4本，总体方差为3.04 D．总体平均数为3.5本，总体方差为3.24 【答案】C 【详解】高一学生人数，均值，方差． 高二学生人数，均值，方差． 所以总体均值． 总体方 ．故选：C. 12．（24-25高一下·安徽六安·期末）某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 【答案】A 【详解】男学生和女学生人数比例为， 故样本中男生人数为人，女生人数为人， 样本的平均数为， 样本的方差为.故选：A. 13．（2026高三·湖南·专题练习）甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90；乙班的平均成绩为90分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 . 【答案】 【详解】甲､乙两班全部名学生的平均成绩为分， 方差为.故答案为：； 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有： 流水线1 流水线2 流水线3 总计 方差 0.825 0.634 0.810 均值 9.0 9.4 9.2 则流水线2的均值为 ，流水线3的方差为 ． 【答案】 【详解】根据题意，设三条流水线的产量为，流水线2的均值为m， 则，解得，设流水线3的方差为，则 ， 解得.故答案为：；. 15．（25-26高二上·黑龙江·期中）某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）一至六组的频率分别为， 所以，平均数为.由图可知，众数为. 因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. （2）前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 第%分位数落在第组，设为，则，解得. “人工智能科普达人”的成绩至少为分. （3）的频率为，的频率为， 所以的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为， 设内的平均成绩和方差分别为，依题意有，解得， ，解得，所以内的平均成绩为，方差为. 题型四、方差中的最值压轴问题（难点） 16．（24-25高二上·绵阳·期末）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（    ） A．至少有个位置存放了不少于个数据 B．若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C．若的方差为，则的最小值为，最大值为 D．若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 【答案】D 【详解】设为数据除以的余数为的数的个数， 对于A选项，，不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，A错； 对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、， 这些数据除的余数分别为：、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、， 所以，，，，，，，， 将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，B错； 对于C选项，由题意可知，这个数的平均数为，且，， 因为，， 当这个数中有个，个时，取最小值，即， 当这个数中有个，个时，取最大值， 即，C错； 对于D选项，不妨这个数依次为：、、、、、、，满足极差为，此时，所有位置都有数据，若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为， 因为，此时，至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，D对.故选：D. 17．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为 . 【答案】3 【详解】设这7个样本数据为，且， 的均值为，方差为；的均值为，方差为， 则，，当且仅当时取等号；所以， 所以当，时中位数可以达最大，故答案为：3 18．（2025高三·湖南·专题练习）在一组样本数据中，正整数，，，出现的频率分别为，，，，且，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】样本数据的平均数， 结合选项可知，且， 所以， 样本数据的方差 ． 因为，，则， 所以，所以，故， 所以最大时，方差最大，即标准差最大，故B正确．故选：B. 19．（2025·河北·模拟预测）已知一组非负数样本数据为2，3，5，8，，，则下列说法中正确的是（    ）（多选题） A．该组数据至多有2个众数 B．若该组数据的分位数为8，则 C．该组数据的平均数小于极差 D．当时，该组数据的方差最小 【答案】ACD 【详解】时，2和8均为众数，而a等于其它数字时，至多有一个众数，故选项A正确； ，即该组数据从小到大排列第4个数是8，则，故选项B错误； ∵， 若，极差，则，平均数小于极差； 若，极差，则，平均数小于极差，故选项C正确； ∵， ∴当时，方差最小，故选项D正确.故选：ACD. 20．（25-26高二上·广东汕头·月考）某校为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数、频率. (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有70%的学生选择物理为高考考试科目，试求a的估计值（结果精确到0.1）. (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值. 【答案】(1);0.15(2)(3) 【详解】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为： ， 频数为，所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270. （2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和，则有， 满足，所以（分）. （3）成绩在的频数为人，， 成绩在的频数为人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为 所以的最大值为． 题型五、方差与平均数的综合压轴 21．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（    ）（多选题） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】BC 【详解】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，， 由题得，则， 且， 则，不妨设最大， 对于A选项，若，则不成立，故A错误； 对于B选项，若，则， 则满足题意，例如5位同学的成绩可为7，7，7，7，12，故B正确； 对于C选项，若，则， 则满足题意，例如5位同学的成绩可为5，7，8，9，11，故C正确； 对于D选项，若，则且， 则， ， 则可得，该方程组无正整数解，故D错误.故选：BC. 22．（2025·湖北·模拟预测）设一组样本数据满足，则（    ）（多选题） A．拿走，这组数据的方差变大 B．拿走，这组数据的方差变大 C．拿走，这组数据的方差减小 D．拿走，这组数据的方差减小 【答案】AD 【详解】熟知对一组数据，其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差，即.将拿走前后的方差分别记为. 对于A，给五个元素同时加上或减去同一个数，不影响方差，所以可以适当平移，使得剩下的4个元素：的平均值为0， 不妨设，则，，所以. 故 ，所以A正确； 对于B，考虑，则，，所以B错误； 对于C，考虑，则，，所以C错误； 对于D，由于这组数据不全相等，所以，而，所以D正确.故选：AD. 23．（2025·广东·模拟预测）两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ）（多选题） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知：，，即，， 对于选项A：因为， 所以的平均数为，故A正确； 对于选项C：若，则，即，故C正确； 对于选项BD：例如两组数据分别为和， 则，，，， 数据的平均数为，方差为，故B错误； 且满足，，但，故D错误；故选：AC. 24．（2025·广东广州·三模）某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（    ）（多选题） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】根据题意可知，两个班的平均分，方差 对于选项A：若，则，所以选项A正确. 对于选项B：若，则，选项B正确. 对于选项C：若，则，那么 . 而， 因为正负不确定，所以不等式不一定成立，选项C不正确. 对于选项D：若，则， 那么 ，故选项D正确.故选：ABD. 25．（24-25高二下·北京东城·期末）一组单调不减的数据（即），满足.记这组数据的方差为；数据的方差为，数据的方差为；数据的方差为.给出下列四个结论： ①存在单调不减的数据，使得；②存在单调不减的数据，使得； ③存在单调不减的数据，使得；④对任意单调不减的数据，都有.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【详解】对于①，令，，，数据，，的平均数为， 由此可得：， 数据，的平均数为，，所以， 所以存在单调不减的数据，使得，①正确； 对于②，令，，，数据，的平均数为， 由此可得： ，数据，的平均数为， 由此可得：，，所以存在单调不减的数据，使得，②正确； 对于③，令，，，， 数据，，的平均数为：， 由此可得：，数据，的平均数为， 由此可得：，若，则， 即，整理得：，解得， 当时，有，所以存在单调不减的数据，使得； 对于④，令，，，， 数据，，，的平均数为，由此可得：， 数据，的平均数为，由此可得：， 此时，，所以④错误.故答案为：①②③ 题型六、统计数据的综合应用压轴（重点） 26．（25-26高一上·成都·期中）已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（    ）（多选题） A．中位数不变 B．平均数不变 C．标准差不变 D．四分位数不变 【答案】AD 【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25， 平均数是， 方差是， 由，得原数据的25%分位数是第3个数22， 由，得原数据的75%分位数是第7个数33． 将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，其中位数为25， 平均数是， 方差是， 由，得新数据的25%分位数是第2个数22， 由，得新数据的75%分位数是第6个数33， 故中位数和25%，75%分位数不变， 又四分位数为25%，50%，75%分位数，50%分位数为中位数，故四分位数不变， 平均数与方差改变，即平均数与标准差改变．故选：AD 27．（24-25高一下·山西运城·期末）一组数据、、、、，满足，若去掉、后组成一组新数据，则新数据与原数据相比（    ）（多选题） A．极差变小 B．平均数变小 C．第百分位数变小 D．方差变小 【答案】AD 【详解】对于A选项，原数据的极差为，新数据的极差为， 因为，，则，由不等式的基本性质可得， 故极差变小，A对； 对于B选项，不妨取， 则原数据的平均数为，新数据的平均数为， 此时，原数据和新数据的平均数不变，B错； 对于C选项，对于原数据，因为，则原数据的第百分位数为， 对于新数据，因为，故新数据的第百分位数为， 由不等式的性质可得，故第百分位数变大，C错； 对于D选项，去掉两个数据、后，极差变小，样本数据波动性变小，故方差变小，D对.故选：AD. 28．（24-25高一下·福建厦门·月考）设样本数据，，的平均数为，中位数为，标准差为，则（    ）（多选题） A．若，则数据，，的平均数为 B． C．不可能组成等边三角形的三边 D．有可能组成直角三角形的三边 【答案】ABD 【详解】对于选项A：平均数为，方差为. 所以数据的平均数为，由于，所以，A正确； 对于选项B：由A项可知，，而， 所以，即，B正确； 对于选项C：取反例，比如， 此时，，所以. 此例子满足，能组成等边三角形，所以C错误； 对于选项D：取，可求得平均数，中位数为， 标准差为. 此时满足，此时能组成直角三角形，D正确. 故选：ABD. 29．（24-25高二下·浙江·期末）设样本数据，若，则（   ）（多选题） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数小于的中位数 C．的极差大于的极差 D．的方差小于的方差 【答案】AC 【详解】对于A中，样本数据的平均数为， 样本数据的平均数为， 所以的平均数等于的平均数，所以A正确， 对于B中，由，可得数据的中位数为， 数据的中位数为，此时与不一定相等，所以B不正确； 对于C中，样本数据的极差为， 样本数据的极差为， 因为，可得，所以C正确， 对于D中，由于，且数据和的平均数相同， 所以，所以D错误. 故选：AC. 30．（2025·江西·模拟预测）设样本数据的平均数为，中位数为，标准差为，则（    ）（多选题） A．若，则数据的平均数为 B．若，则数据的平均数为 C．不可能组成等边三角形的三边 D．有可能组成直角三角形的三边 【答案】ABD 【详解】对于A，，， 所以，若，则数据的平均数为，正确； 对于B，若，则数据的平均数为，正确； 对于C，取，可得平均数为，中位数为， 标准差为，此时， 即有可能组成等边三角形的三边，错误； 对于D，取，可得平均数为，中位数为，标准差为，此时满足，即有可能组成直角三角形的三边，正确. 故选：ABD 题型七、统计图的综合应用 31．（2025·湖北武汉·模拟预测）某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量（单位：百辆），得到如下折线图： 现对2021年至2024年这4年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差分别为和，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为2021年至2024年这4年新能源汽车的销量数据为， 平均数为， 所以 ， 2021年的年增长率为，2022年的年增长率为， 2023年的年增长率为，2024年的年增长率为， 这四年的新能源汽车的销量数据和年平均增长率分别为； 因为2021年至2024年这4年纯电动汽车的销量数据为， 平均数为， 所以 ， 2021年的年增长率为，2022年的年增长率为， 2023年的年增长率为，2024年的年增长率为， 这四年的纯电动汽车的销量数据和年平均增长率分别为；所以.故选：B 32．（24-25高一下·福建福州·期末）某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ）（多选题） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 【答案】BD 【详解】对于A，由频率分布直方图中各长方形面积和为，得，解得，故A错误； 对于B，根据百分位数的计算，假设该年级学生跳绳次数的分位数为，则，又，所以解得，故B正确； 对于C，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为，故C错误； 对于D，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为，故D正确. 故选：BD. 33．（25-26高二上·四川成都·月考）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准x（千瓦时）；月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用电情况进行了一次调研，并将参与调查的居民的用电情况绘制成了如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并且计算居民用电的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)若该地区市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准x（千瓦时），估计x的值；（结果保留整数） (3)设居民用电的平均数为x，若按居民用电量是否在区间内进行比例分配的分层随机抽样，抽取100位居民进行深度调研，用电量在区间内的抽取50人，试求m的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，， 解得. 那么居民用电的平均数为： 千瓦时. （2）由频率分布直方图可知，用电量在的累计频率为 ， 用电量在的累计频率为， 因为，所以在内，则有 ，解得千瓦时. （3）因为，抽取100位居民，其中用电量在内的抽取50人， 所以用电量在的频率为. 在中，频率为0.5，令，此时， 那么对应的为，此时频率小于0.5， 令，此时，那么对应的为，此时频率大于0.5， 所以令，此时对应的为， 此时频率为，所以的值为. 34．（24-25高一下·广东梅州·期末）某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1    已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. (1)根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？(2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 【答案】(1)18分钟；不能(2)建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个；求解过程见解析 【详解】（1）由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人； 这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人， 所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟， 由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为， 所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占， 故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％的同学感到满意； （2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下： 类别 选餐 套餐 面食 高峰期就餐总人数 100 60 40 各队伍长度（人） 最长等待时间（分钟） 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同， 即得，即有，而，故， 因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个. 35．（25-26高三上·吉林·月考）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前10%进入决赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计进入决赛的最低分数： (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 【答案】(1)；分(2)(3)平均数为90，方差为27.25 【详解】（1）由图可知：，解得， 因，， 则成绩由高到低的前10%分数线必在之间， 设分数线为，则，得，则进入决赛的最低分数为分. （2）样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的6个人中，来自的人数为，设这两个人为 来自的人数为，设这4个人为， 则从6个人中随机抽取2个人的所有情况有：， 2人中有来自组情况有， 故2人中有来自组的学生的概率为； （3）由，可得， 则剔除其中的94和86两个分数，剩余8个数平均数为， 又标准差，则 ， 故，则， 则剩余的8个数的方差为. 题型八、统计中的新定义压轴问题 36．（24-25高一下·广东广州·期末）在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则 . 【答案】 【详解】前个数据的方差为：， 前个数据的平均数为：，得， 则， 因为， 所以 结合题意得，，故．故答案为： 37．（24-25高一下·安徽合肥·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值；(2)当时，求满足的的个数； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由． （注：实数满足：，当且仅当时取“”号） 【答案】(1)0，2，4(2)12(3)不可能，理由见详解 【详解】（1）若时，则，且， 可得，所以的所有可能取值为0，2，4. （2）若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有，共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足，可得共有种可能；所以的个数为. （3）不可能，理由如下：设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 38．（24-25高二下·浙江杭州·期中）将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解．(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析(2)(3)存在，最小值为 【详解】（1）若等于同一常数， 根据等差数列的定义可得构成等差数列，所以， 解得，与矛盾，所以不存在一组解， 使得等于同一常数； （2）因为平均数， 依题意时，即当时，，所以，， 设有个，则有个，由，解得， 所以中有个，个，所以方程①的解共有组； （3）因为平均数， 又方差，即， 所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值， 又当时，，即，方程无正整数解，故舍去； 当时，即是密集时，取得最小值，且. 39．（24-25高三下·浙江·开学考试）一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. (1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； (2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 【答案】(1) (2)（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为 【详解】（1）将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据， 又，所以这组数据的第三四分位数为. （2）（i）由图表知，会计岗位的样本点为，则， 业务员岗位的样本点为，则， 后勤岗位的样本点为，则， 管理员岗位的样本点为，则， 所以，故小刚最适合业务员岗位. （ii）四种职业的推荐率分别为，且， 所以，得到， 又均小于20，所以，且， 故可得到， 设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，，依题有①， ②，③， ④， 由①③得，， 整理得：，故有三组正整数解， 对于第一组解，代入④式有，不成立； 对于第二组解，代入①式有，解得或，代入②④式均不成立； 对于第三组解，代入②式有，解得，代入①②③④均成立，故； 故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为. 40．（2025·河北·模拟预测）机器模型预测常常用于只有正确与错误两种结果的问题.表1为根据模型预测结果与真实情况的差距的情形表格，定义真正例率，假正例率.概率阈值为自行设定的用于判别正(反)例的值，若分类器(分类模型)对该样例的预测正例概率大于等于设定的概率阈值，则记分类器预测为正例，反之预测为反例. 总例 预测结果 正例 反例 真实 情况 正例 真正例 假反例 反例 假正例 真反例 表1分类结果样例划分 利用这些指标绘制出的ROC曲线可衡量模型的评价效果：将各样例的预测正例概率与从大到小排序并依次作为概率阈值，分别计算相应概率阈值下的与.以为横坐标，为纵坐标，得到标记点.依次连接各标记点得到的折线就是ROC曲线.图1为甲分类器对于8个样例的ROC曲线，表2为甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据. 样例数据 甲分类器 乙分类器 样例标号 样例属性 预测正例概率 预测正例概率 1 正例 0.23 0.34 2 正例 0.58 0.53 3 反例 0.15 0.13 4 反例 0.62 0.39 5 正例 0.47 0.87 6 反例 0.47 0.53 7 反例 0.33 0.11 8 正例 0.77 0.63 表2甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据    (1)当概率阈值为0.47时，求甲分类器的ROC曲线中的对应点； (2)在图2中绘制乙分类器对应的ROC曲线(无需说明绘图过程)，并直接写出甲，乙两分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积； (3)按照上述思路，比较甲，乙两分类器的预测效果，并直接写出理想分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为1的充要条件. 【答案】(1)(2)答案见解析，， (3)乙分类器的预测效果更好，答案见解析 【详解】（1）概率阈值为0.47时， 真正例为，假反例为，假正例为，真反例为，则. 所以横坐标，纵坐标， 故当概率阈值为0.47时，求甲分类器的ROC曲线中的对应点对应点为. （2）乙分类器对应的ROC曲线如下图所示.    由已知题意可得，甲、乙分类器的ROC曲线都经过， 作如下图所示的辅助线，每个小直角三角形的面积都等于， 大直角三角形的面积都等于，故所求面积为. 所以，甲分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为. 作如下图所示的辅助线，同理可得所求面积为. 所以，乙分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积为. （3）乙分类器的预测效果更好. 由（2）分析可知，乙分类器的ROC曲线与轴，直线所围封闭图形的面积较甲的大些， 故可认为乙分类器的预测效果更好. 充要条件：所有真实属性为正例的样例的预测正例概率的最小值大于所有真实属性为反例的样例的预测正例概率的最大值. 1.（24-25高一下·河北邢台·月考）小明在整理一组数据3，1，5，2，3，6，4，x，y时，不小心漏掉了2个数据，用x，y代替.已知x，y都是1到6中的一个整数（包含1和6），且这组数据的中位数和众数都是3，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】不妨设， 当时，1，1，2，3，3，3，4，5，6，； 当时，1，2，2，3，3，3，4，5，6，； 当时，1，2，3，3，3，3，4，5，6，； 当时，1，2，3，3，3，4，4，5，6，； 当时，1，2，3，3，3，4，5，5，6，； 当时，1，2，3，3，3，4，5，6，6，.故选：D. 2．（24-25高一下·海南海口·月考）已知一组数据a，b，c，d，e，f的第40百分位数与方差分别为m，n，则新数据，，，，，的第40百分位数与方差分别为（    ） A．m，n B．2m， C．， D．，4n 【答案】D 【详解】一组数据a，b，c，d，e，f的第40百分位数为m，则新数据，，，，，的第40百分位数为； 一组数据a，b，c，d，e，f的第40百分位数与方差为n，则新数据，，，，，的方差为.故选：D. 3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：设的平均数为，的平均数为， ，， 因为，所以，所以，其中，故， 由绝对值不等式得，当且仅当同号，即全为正数，或全为负数，等号成立，故充分性成立， 必要性：若全为正数，则，，显然， 若全为负数，则，， 设的平均数为，则的平均数为， ，，，必要性成立， 综上，甲是乙充分必要条件.故选：A 4．（24-25高一上·江西·期末）某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【详解】由题意：， ，则 即，所以. 所以 .故选：A 5．（2025·广西·模拟预测）李老师家有3名人员，3名人员的年龄与2年后的年龄相比较，一定不会发生变化的是（   ）． A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】C 【详解】设李老师家3名人员的年龄从小到大，分别为， 则这3名人员2年后的年龄分别为，对于A，3名人员的年龄平均数为， 2年后的年龄的平均数为，显然，所以A不符合题意； 对于B，3名人员的年龄中位数为，2年后的年龄的中位数为，显然，所以B不符合题意； 对于C，3名人员的年龄的方差为：， 2年后的年龄的方差为： ，所以，所以方差不变，所以C符合题意； 对于D，设3名人员的年龄的众数为，则2年后的年龄的众数为，所以D不符合题意.故选：C. 6．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（    ） A．平均数为5.5 B．平均数为6.5 C．方差为12.5 D．方差为13.5 【答案】D 【详解】甲抽取的样本数据为；乙抽取的样本数据为， 依题意，，，，， 新样本数据的平均数，故A、B错误； 新样本数据的方差 ，故C错误，D正确.故选：D. 7．（24-25高二下·北京·期中）一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A：因为，所以，因为，所以，故A错误； 对于B：因为数据，，…，单调递增，所以数据，，…，也单调递增， 所以极差，，故B正确； 对于C：由A知，因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，即， 因为，所以，故D正确.故选：A. 8．（25-26高三上·河北邯郸·期中）有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（    ）（多选题） A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 【答案】BC 【详解】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为， 由题意知平均数也为，故，，，的总和为. 选项A，，，，的总和为，，，的总和减去和， 即，其中，，，的平均数为， 若，则需，但是题目中未给出这个条件， 反例如数据1，2，4，5，8，则，，此时2，4，5的平均数为，故选项A错误； 选项B，去掉，后，，剩余数据为，，，，共个数， 中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，故选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，故选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为， ， 设，，，，，，，的方差为， ， 又，所以，， 即：方差反映数据离散程度，去掉中间数后，数据离散程度增大，故选项D错误.故选：BC. 9．（24-25高一下·福建漳州·期末）四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是（    ）．（多选题） A．平均数为3，中位数为4 B．平均数为3，方差为1 C．平均数为4，极差为4 D．平均数为2，第80百分位数为4 【答案】AC 【详解】对于A，假设这7个数据从小到大排列为， 若平均数为3，中位数为4，则，即， 若，可以取满足条件，所以A选项可能出现了点数6； 对于B，若平均数为，方差为，，则由方差公式可知，， 若，则，即若出现点数6，方差会大于1，所以B选项不可能出现了点数6； 对于C，设最大值为，最小值为，若极差为4，则有， 若平均数为4，则有，， 若，则，7次的点数可以取， 满足平均数为4，极差为4的条件，所以C选项可能出现了点数6； 对于D，因为，所以第80百分位数是第6个数， 若平均数为2，则，若第6个数是4，第7个数是6， 那么前5个数的点数和为4，而骰子的点数最小为1，所以D选项不可能出现了点数6.故选：AC 10．（2025高三·湖北·专题练习）将连续5天的日平均气温（单位：℃）的记录数据作为一组样本，则下列样本中一定满足这5天的日平均气温均低于10℃的有（    ）（多选题） A．平均数为3，极差为2 B．中位数为7，众数为9 C．众数为5，极差为6 D．平均数为4，方差为2 【答案】ABD 【详解】设这5天的日平均气温记录数据从小到大依次为． A正确，若平均数为3，极差为2. 假设，因为极差为2，所以， 所以平均数一定大于8，与平均数为3矛盾，所以这5天的日平均气温均低于． B正确，中位数，因为众数为9，所以，所以这5天的日平均气温均低于． C错误，举反例，4，5，5，5，10，符合众数为5，极差为6. D正确，由题意得，， 即，假设有一天的日平均气温大于或等于， 即存在，则有，则， 与矛盾，所以这5天没有一天的日平均气温大于或等于． 故选：ABD． 11．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）从日历上随机选14个日期，记这些日期中星期一到星期天的天数分别为，下列结论正确的是（   ）（多选题） A．中最多有4个数据大于2 B．若的极差为6，则中最多有4个数据为0 C．若的方差为，则 D．若的方差为，且中位数为3，则 【答案】ABC 【详解】对A，由题意可得．若中有超过4个数据大于2， 即，不符合题意； 若中恰有4个数据大于2，如0,0,2,3,3,3,3，符合题意．故A正确． 对B，由题意可得的最小值均为0，若中最小的数据为0， 因为极差为6，所以中最大的数据为， 此时中至少有3个数据不为0， 即中最多有4个数据为0，B正确． 对C，的平均数为，要使得方差越小，则数据应尽量接近平均数，要使得方差越大，则数据应尽量远离平均数． 当，均为2时，取得最小值，最小值为0， 当这组数据为0,0,0,0,0,0,14时，取最大值，最大值为24，C正确； 对D，不妨设，因为中位数为3，所以， 当这组数据为0,0,2,3,3,3,3时，取得最小值，最小值为， 当这组数据为0,0,0,3,3,3,5$时，取得最大值，最大值为， 则，D错误．故选：ABC. 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知一组样本数据，其中为正实数.满足.下列说法正确的是（   ）（多选题） A．样本数据的第50百分位数为 B．已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 【答案】ACD 【详解】，样本数据的第50百分位数为，故A正确； 对于B，由题知，这粗数据的极差为， 则数据的极差为，故B错误； 对于C，若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”， 则样本数据的平均数小于中位数，故C正确； 对于D，，，则，故D正确. 13．（24-25高三下·河南开封·月考）已知点与点关于点对称，若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（    ）（多选题） A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 【答案】ACD 【详解】由条件可知，，，， 对于A，由题意可知，数据的平均数为，所以数据的平均数为，故A正确； 对于B，设数据按从小到大排列，中位数为，则数据按从小到大排列为，中位数为，故B错误； 对于C，由，且数据的方差为，所以数据的方差为，故C正确；对于D，结合B分析知，数据的极差为，故D正确， 故选：ACD． 14．（2025·安徽合肥·三模）有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，现去除其中的两个数据，去除的两个数据记为和，则下列一定正确的是（   ）（多选题） A．若，则极差不变 B．若，则第75百分位数不变 C．若，则平均数不变 D．若，则中位数不变 【答案】ACD 【详解】样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，现去除其中的两个数据，去除的两个数据记为和， 当，则或，所以极差为不变，A选项正确； 若，则，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，，第75百分位数是第8个数，数据1，3，4，5，6，7，8，10，，则第75百分位数是第6个数和第7个数的平均数，所以第75百分位数改变了，B选项错误； 原数据的平均数为，当，新数据的平均数为，则平均数不变，C选项正确； 原数据的中位数为，当，设，，新数据的中位数为，则中位数不变，D选项正确；故选：ACD. 15．（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为 . 【答案】72 【详解】设男生分数为，男生分数均值为； 女生分数为，女生分数均值为； 则，总体均值为， 男生分数方差为，则， 全班分数方差为， 由， 所以，解得； 因为，所以， 化简得，解得， 则女生分数的方差为.故答案为：72 16．（25-26高一下·河南·月考）为促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校开发出文化艺术课程､科技课程､体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为.已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 . 【答案】0 【详解】依题意得， 化简得. 易知，得. 又因为， 所以这5个数的绝对值不超过4，所以，即， 当时，可得，无解； 当时，可得，由， ，得这四个平方数只能为，则，符合题意，此时； 当时，，无解. 综上，.故答案为：0. 17．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）已知一组数据（）的平均数为，标准差为s，，若，则s与的大小关系为：s .（填上恰当的大小关系符号） 【答案】< 【详解】因 ， 设关于的函数， 其图象抛物线的开口向上，对称轴为， 当时，即时，取得最小值.即当时，， 即，故.故答案为：< 18．（25-26高三上·广东佛山·月考）某书店内有2017本书．下面的框线图显示店内书的售价的分布．已知这些书的总售价是，而该分布的分布域是四分位数间距的4倍． (1)求该分布的下四分位数和分布域． (2)现书店的经理增加210本新书，如下表所示： 种类 每本书的售价 书的数目 旅游书 92$ 102 小说 h$ 54 漫画 k$ 54 已知增加210本新书后店内所有书的平均售价至少是，且．该经理宣称增加210本新书后，书的售价的中位数小于105$．你是否同意？试解释你的答案． 【答案】(1)下四分位数为，分布域为；(2)不同意，理由见解析. 【详解】（1）由图知，下四分位数为，上四分位数为，则四分位数的间距为， 而分布域端点值分别为，则分布域为， 由该分布的分布域是四分位数间距的4倍，则，可得， 所以下四分位数为，分布域为； （2）由已知原本书总价为，新增本后共本， 由平均售价至少，故总售价至少， 新增书的总价至少为， 新增书的总价， 所以，且，则，所以， 由个数的中位数是第的位置，而原本书的中位数是第的位置，售价为， 由上分析，新增的本书售价均大于等于， 所以新增的本书都在原来第的位置之后，且新增之后第的位置是在原来第的位置之后加个数的位置， 所以第的位置上的书售价必大于等于，因此，不同意该经理的结论. 19．（24-25高一上·山东青岛·月考）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为；（ii），，证明见解析. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差； （ii）设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证. 20．（24-25高一下·广东东莞·期末）树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查．记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.    (1)证明：； (2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (3)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 【答案】(1)证明见解析(2)5.2；4.7(3)5.68 【详解】（1） ， 因为，， 所以，则； （2）因为每个组内的数据均匀分布，所以以各组的区间中点值代表该组的各个值， 由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数为 ， 由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数为 ； （3）因为采用按比例分配的分层随机抽样，所以， 估计树人中学学生课外运动时间的平均数为， . 21．（24-25高一下·福建厦门·月考）给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． (1)证明：;(2)证明：的最小值为；(3)求当取最小值时，的取值． 【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析 【详解】（1）由 . （2）由 ，其中为常数， 所以当时，函数取得最小值. （3）解：因为数据，当为偶数时，设为数据的中位数，则， 由 （其中为常数）， 任取实数，当时， 若，则 ； 若，则存在，使得， 则 ，所以， 同理可证：当时，满足； 当为奇数时，设为数据的中位数，则， 由 （其中为常数），同理可证：， 综上可得：当为偶数时，时，取得最小值； 当为奇数时，时，取得最小值. 22.（2025·江西新余·模拟预测）睡眠是守卫健康的忠臣，小周同学就高三同学睡眠问题展开了一次调研活动： * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人 (3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 (4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 (5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 (6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 (7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 (9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 (1)小周同学调查了振兴中学高三随机十个班级的单个学生睡眠平均时长所在区间的人数分布，请补全这张统计表（横向代表班级序号，纵向代表平均睡眠时长所在区间，框内数据代表人数）与直方图并通过直方图估计振兴中学高三同学睡眠的分位数（作图不要求写出过程）； (2)之后，小周同学收集了随机名同学的具体平均睡眠时长，这些数据中男生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与；女生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与，请根据以上数据计算出这名同学的睡眠时长总方差. (3)睡眠连续性得分是判断睡眠质量的分数度量，一般算合格.临近大型考试，小周同学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分，请根据图表得出两条有效信息并为他提出一条可行的睡眠建议. 【答案】(1)答案见解析(2)(3)答案见解析 【详解】（1）图表如图：    由图可知，从左到右各组的频率分别为， 则，所以60%分位数位于组内，设为， 得，解得，所以60%分位数为6.475. （2）， . （3）信息：①临近考试时睡眠连续性得分呈下降趋势； ②考试前3天睡眠连续性得分均不合格. 建议：调整心态、规律作息、不要紧张、自信迎考. * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人 (3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 (4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 60 (5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 120 (6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 (7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 (9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $