河南省顶尖计划二2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

绝密★启用前 试卷类型：B 2025一2026学年（上）高三年级顶尖计划（二） 数学 专充利 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 吹 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 州 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A={eN},B=1,2,34,5,则AnB= 尔 A.{2,4 B.{3,5} C.{1,3,5} D.{2,3,4} 2复数：号+的虚部为 毁 A- B c.-2 3.已知x,B∈(0，m),则“cosa=cosB”是“sina=sinB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 蜜 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4已知椭圆C+1(a>b>0)的右焦点为E,若F到C的上顶点的距离是F到C的 顶点距离的3倍，则C的离心率为 A写 B.2 c号 5.已知{an}是递增的等差数列，a=7,若a1,a4,a3成等比数列，则a5= A.10 B.11 C.12 D.13 数学(B卷)试题第1页（共4页） 6已知9e(受，且sn0=3,则sin号+co9- 2 A.6 3 B29 C.-23 3 D.-9 7.已知函数fx)-2simx+ao2x+）,若升-》=2，则x)在区间0，引上的值域为 a[-2川 Bo,引 c[-2引 D.o,引 8.已知直四棱柱ABCD-A1B,C,D1的棱长均为2，∠ABC=120°，设棱A,D1,BC的中点分别为 M,N,若菱形ABCD内（含边界）的动点P满足PM·P=0,则点P的运动轨迹的长度为 A号 B.√5 c智 D.3+1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在如图所示的正方体中，已知A,B,C,D,E,F分别是所在棱的中点，则 A.AB∥平面CDF B.BC∥平面AEF C.BC⊥DF D.AD⊥BE 10.已知函数x)的定义域为(-1,1)，满足f(x)+()=+)-1,当xe(0,1)时， f)>-1,且f2分=0，则 A.f0)=1 B)=1 C.f(x)+1是奇函数 D.f(x)是增函数 11.在正项数列{an}中，已知a1=1,an+1=ln(an+1),则 A.an+1<an B.an -an+1>anan+1 C.a1+a2+a3+…+an<2 D.a+a+a+…+a<4 数学(B卷)试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,3),b=(0,1),若(a+b)⊥(a-λb),则入= 1以已知双曲线苦-古-1的左，右焦点分别为RP是B上的动点则P4P IPFI·IPF2I 的最小值为 14.若函数f(x)=a-bx(a>0且a≠1，b≠0)没有零点，则ab的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 设等差数列{an}满足a1=1,a+1=a后+8n. (1)求{a,}的通项公式； (2)设6.=2，求数列6，的前n项和T 16.(15分)》 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA-cosA=a-b (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)若abc=32,求acos A的最大值 17.(15分) 已知函数f(x)=(x-1)(e-ax-a),a∈R. (1)若f(x)在x=1处取得极值，求a; (2)若当x≥0时，f(x)≥-a,求a的取值范围， 数学(B卷)试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在三棱台ABC-A,B,C,中，CC1⊥平面ABC,AA1=A,C=BB,=B,C=2,CC,=1. (I)若AC⊥BC,求三棱台ABC-A,B,C,的体积 (2②)若直线A,C与平面AB4,所成角的正弦值为5 (i)求cos LACB. （i)三棱台ABC-A,B,C,的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个 包含最多顶点的球面，计算该球的表面积S. (注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分)· 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(4,0)且与抛物线C:y=2px(p>0)交于A,B两 点，OA⊥OB. (1)求C的方程 (2)如图，分别以AP,BP为直径作圆C,C2: （i)求圆C,C2的面积之和的最小值； (ⅱ)当1变化时，求圆C,C2的公切线的所有交点的运动轨迹的方程. 数学(B卷)试题第4页（共4页）2025一2026学年（上)高三年级顶尖计划（二） 数学(B卷)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.B 7.D 8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.ACD 10.BCD 11.AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.4 1a号 14.(-1,0)U(0,+0) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(1)设{a.}的公差为d. 由题意得a1-a=(an+1+an)(an+l-an)=8n, 即[1+nd+1+(n-1)d]d=8n,……(2分） r2d=8, 整理得2n+2d-P=8n,所以 解得d=2. (4分) 2d-f=0, 所以an=1+2(n-1)=2n-1. (6分) (2)由题意知6，=受-2 2 (7分) T.=2+2+ 是+…+20 1,3,5, ①-②子方方+安+…+克分+）名-是 所以T.=3_2n+3 21 …（13分)】 16.解析(1)sinA-cosA=a-b c 由正弦定理得sin Asin C-cos Asin C=sinA-sinB=sinA-sin(A+C)=sinA-sin Acos C-cos Asin C, 所以sin Asin C=sinA-sin Acos C.… …(4分) 由于simA≠0，所以sinC+c0sC=1.…(5分) 一1 两边平方得sin Ccos C=0,又sinC≠0，所以cosC=0, 所以C=行，即△ABC是直角三角形。…… (8分) (2)在△ABC中，@sA=名，故o0msA=-马 (10分) cc 由基本不等式知ah≤0+公=已 2 2,故32=abc≤，即c≥4.. …(13分) 于是as4是≤裙-2，当且仅当06=2反6=4时等号成立， 故acos A的最大值为2.… ……(15分) 17.解析(1)由题意得f'(x)=e-ax-a+(x-1)(e-a)=x(e-2a).…(3分) 因为x)在x=1处取得极值，所以f()=c-2a=0,解得a=号，…(5分) 经验证，当a=气时x)在x=1处取得极小值，符合题意，放a= 21 …(6分） (2)f'(x)=x(e-2a), 若a≤7，则当x≥0时，。-2a≥0，即f(x)≥0恒成立， 所以fx)在[0，+∞)上单调递增，f(x)mn=f0)=a-1,…(8分) 由a-1≥-a,得a≥7，放a=2 (10分) 若a>7,令f'(x)=0,得x=0或x=hn(2a)>0, 当xe(0,ln(2a)时，f'(x)<0,fx)单调递减， 当xe(ln(2a),+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增 所以f(x)nh=f(ln(2a)=-a[ln(2a)-1]2,… (13分) 由-ah(2a)-17≥-a,得时<a≤号 …(14分） 综上a的取值范围是[分引 …（15分） 18.解析(1)因为CC1⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以CC1⊥AC, 又AC∥AC1,所以CC1⊥AC1,A1C1=√22-1下=5，AC=2A1C1-23. 同理，BC1=3,BC=23. 又AC⊥BC,所以△ABC与△AB,C1都是等腰直角三角形， 放三棱台ABC-ABC的体积为V=号×1×[分×(5)+分×(2B)2+分×5×2]子…(4分) (2)设AB的中点为0，连接OC.由(1)可知AC=BC=25,所以OC⊥AB,故以0为坐标原点，OB,OC的方向 分别为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。 2 (i)设0A=0B=2a(a>0),0C=2b(b>0),由0A2+0C2=AC2,得a2+b2=3. 所以A(-2a,0,0),B(2a,0,0),C(0,2b,0),A1(-a,b,1), 所以AA=(a,b,1),AB=(4a,0,0),A1t=(a,b,-1). (6分) 设平面ABBA1的法向量为n=(x,y,z), rn·AB=4ax=0, 则 取n=(0,1,-b).… (8分) n·A=ax+br+z=0, 设直线A,C与平面ABB,A1所成的角为0， 则sim0= 1A G.nl 2b 6 a,i·ln√++1x√小+F 3 所号解得6=反.所以a=1=44 (10分) 故cs∠4CB=AC+BC-AE=12+12-16-⊥ 2AC X BC 2×12 3 …(12分) (ⅱ)因为侧面ACCA1和侧面BCC,B,都是直角梯形，不存在外接圆，所以其顶点不可能在同一个球面上，又 侧面ABBA1是等腰梯形，存在外接圆，所以其4个顶点可以在同一个球面上，再加上点C或C1,可知同在一 个球面上的点最多有5个.………(14分)》 利用平面几何知识计算可知等腰梯形ABBA1的外接圆圆心即点O,外接圆半径为2.…(15分) 设所求的球面球心为O1,半径为R,则001∥n,设001=An=(0,入，-√2入)(XeR),即01(0，A,-√2入). ①若选A,B,B1,A1,C所在的球面： 因为C(0,22,0),所以R=00+2=01C2,即X2+22+4=(2√2-A)2+2A2, 解得A三，此时S=4mR=22π. …(17分) ②若选A,B,B1,A1,C1所在的球面： 因为C(0,25,1),所以R=00+2=0,G,即2+22+4=(2万-)2+(1+)，解得-52 4 此时S=4mR2=107匹 2 …(17分) 注：只有①②两种情形符合要求，其余情形不给分；若计算多个球面，按第一个结果给分；若判断最多顶，点个数 错误，但计算结果正确，计算部分也正常给分 一3 19.解析(1)由题意知，l与x轴不重合，设l:x=my+4, x=my+4, 得y2-2pmy-8p=0, (y =2px, 设A(x1,1),B(x2y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-8p, (2分) 因为OA⊥OB,所以OA·OB=0, 22 即x1x2+y1y2= yiy 4p3 +y1y2=16-8p=0,…(4分) 所以p=2,即C的方程为y=4x…(5分) (2)(i)由题意知圆C,G的面积之和S=平(1AP+BP),…（(6分) 1AP12+1BPI2=(x1-4)2+y7+(62-4)2+33=(my+4-4)2+7+(m2+4-4)2+y=(m2+1)(7+y). y+y2=(y1+y2)2-2y12=(4m)2-2×(-16)=16m2+32, 令n=m2,则n≥0，则S=4π(m2+1)(m2+2)=4π(n+1)(n+2)=4r(n2+3n+2),…(8分) 这是个图象开口向上的二次函数，在n≥0时单调递增， 所以Smin=4r(0+1)(0+2)=8π.… …(9分) (ⅱ)由题意知圆C1,C2外切，有一条内公切线l和两条外公切线2，l3. 当m=0时，l:x=4,此时圆C1,C2的圆心横坐标均为4，半径均为2，三条公切线分别为1：y=0,2:x=2, l3:x=6,公切线的交点有两个：(2,0)，(6,0).………(10分) 当四0时，内公切线为过点P目与松垂直的直线即4：：六+4 设l2,3交于点Q,由对称性可知点Q在直线AB上， x1+4 圆C,G,的半径之比为2。-上=10C_2-.+4-22 为=1005+4=+4-2x0 2-x0 又为名4所以424- 又1=-4 2+4-2x0x2-4 记4-2xo=t,上式化简得2x1x2+(t-4)(x1+x2)-8t=0, 22 2=16,x1+3=m(y+2)+8=4m2+8, 又xx2=16 代入，整理得4m(t-4)=0,因为m是任意的，所以t=4,即x。=0, 故点Q在直线x=0上运动，又点Q不可能为原点，所以点Q的轨迹方程为x=0(y≠0).…(13分) 如图，设L1与2的交点为M,l1与L的交点为N,山1与y轴交于点R,下面探究点M和N的轨迹 一4 2 易知MC1⊥MC2, 放1MP2=IPC,PG,1=子1API1BP=+m1l·+m1l=4(1+m2). 由4：x=-办+4可得R0,4m),所以1PR2=10pP+1OR=1]61+m. 所以MP=PR1,即M为PR的中点，所以点M的轨迹方程为x=2. (16分) 由对称性可得INP=IMP=之PR1,所以点N的轨迹方程为x=6. 综上，圆C1,C2的公切线的所有交点的运动轨迹是3条直线，方程分别为x=0(y≠0)，x=2,x=6. 5