山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题

秘密★启用并使用完毕前 山东省实验中学2026届高三第三次诊断性考试 数学试题2025.12 注意事项： 1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置 贴条形码。 2.本试卷满分150分，分为选择题和非选择题。 3,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足 忌=2i,则1z到的值为 A.5 B.√2 C.2 D.2N2 2.已知等比数列{an}满足a=a24>1,若an=1,则n的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知点A(1,3),B(2,4),C(0,5)，则在上的投影向量为 A后月 B. c.停3 4已知网=二+征为偶西数，则2的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.设全集U=R,集合A={x|sinx≠0}，B={x|cosx:≠0}，则集合{xsin2x=0= A.(CvA)n(CvB)B.(CvA)U(CvB)C.GUB D.AU(CvB) 6.设(1+x+x2)”=a+a4x+…+a2nx2"，则a2+a4+…+an的值为 A.3{n} B.3{n}-2 c.3”-1 D. 3”+1 2 2 7.在△ABC中，"A>B>C"是"cos2A<Cos2B<Cos2C"的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D,既不必要条件，又不充分条件 8.一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的 和大于2，则算过关。则某人连过前三关的概率为 20 100 81 245 A. 27 B. D. 243 256 486 数学试题第1页 （共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在长方体ABCD-AB,CD中，AB=2,AD=1,A4=1,则 A.AC⊥BC B.B,D与平面BB,CC所成的角为45 C.AB与平面ABCD所成的角为30° D.三棱锥A-AB,C的体积为2 10。将函数y=巨s如x图象的所有点的横坐标缩短为原来的行，再向左平移号个单位长 度得到y=(x)的图象，则 A.f(x)的最小正周期为π B.x=牙是y=f图象的一条对称轴 C.f树≥0当且仅当爱+加≤x≤警+a加ke冈 D.若方程f()=m在区间[0，上有两个不等实根，则1≤m<反 11.已知函数.f(x)=e-a2有三个零点，x2,3(名<x2<为)，则 A>号 B.x2+53<4 C.若x1,X2,X成等差数列，则.×2，x2,x2,成等比数列 D.若5，五，为成等差数列，则x-为=4l(√反-1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一组样本数据：3,7，a,b,13,16,其中a,b∈(7,13)，该组样本的中位数为10.5。若要 使该组样本的方差最小，则2a+b的值为27。 13.已知正四棱台ABCD-AB,CD,4B=3AB=6,高为2√5，则该正四棱台外接球的 表面积为_一。 14.已知 望2，则0a+ tan a 共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 在△ABC中，A、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知V5aosB-bsinA=V3c,c=2, 点D在线段BC上，且AD=1。 (I)当AD⊥AB时，求AC的长； (2)当BD=2DC时，求△ABC的面积。 16.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AC=BC,A4=AB=2,点D满足AD=3DB, 点E为BB的中点， (1)证明：DE⊥CE; (2)若异面直线AB,和CE所成角为 牙，求平面A4C与平面AC,所成角的余弦值。 17.(15分) 已知数列{an}的前n项和为bn,数列{bn}的前n项积为cn,且bn+2cn=1. (1)求数列{c}的通项公式： (2)求使得 1≤2025成立的n的最大值： (3)求数列 0 的前n项和Sn. 2n+3 数学试题第3页（共4页) 18.(17分) 已知屡数-二，直线)=x为曲编y=网的切线， (1)求a的值； (2)用minm吟表示%n中的最小值，设函数g树=min,x-(>0),若函 数h(x)=g(x)-bx2为增函数，求b的取值范围. 19.(17分) 将一个平面n边形A4“人的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝 两种颜色之一，使得任意相邻的两个项点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形 A42…A“点亮”. (1)在△AAA中，已知A,赋值0且染红色，求△AAA所有"点亮"的方法个数； (2)现对四边形A,AzAA的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求 四边形AA2AA,"点亮"的概率； (3)求n边形的所有“点亮”的方法个数（结果用n表示）。 数学试题第4页（共4页） 1/6 山东省实验中学2026届高三第三次诊断性考试 数学试题答案2025.12 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1-8 DCBAB CCD 二、多项选择题（本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的德0分) 9-11 ABD ACD ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12、31.5 13、80元 14、 四、解答题（共5小题，共77分) 15.（13分) (1)因为V5 a cos B-bsinA=√5c, 所以由正弦定理可得√5 sin Acos B-sin Bsin A=√3sinC, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以-sin Bsin A=√5 cos Asin B,因为B为三角形内角，sinB>0, 所以-sinA=√3cosA,可得tanA=-√3， 因为A∈(0，)，所以A=2, 3， -3分 由SAABC=S△ABD+S△ACD, 可得cnA=cAD+分6：0s咖∠CD, 1 -5分 2 代入c=2,∠CAD=π， 6 得b= 485+4 2W3-111 -7分 (2)因为BD=2DC,所以D= 2 AB+ AC, 8分 3 两边平方得D2=B+4B4C+44C, ,4 9 9 即1=4+424Ccos120+ 4 AC2, 99 9 解得4AC=1+V6 2 -11分 又B=2,所以5m4B4C咖A=3545 13分 4 16.（15分) (1)如图，取AB中点O,连接CO,OE,设AB与AB交于点M, 由于AC=BC,O为AB中点， 所以CO⊥AB, 在直三棱柱ABC-AB,C中，有BB⊥平面ABC,又COc平面ABC, 所以BB⊥CO,又AB∩BB=B, 所以C0⊥平面AAB,B, 又DEc平面AAB,B,所以CO⊥OE, -2分 又AA,=AB,可得四边形A4BB是正方形， 所以AB⊥AB, 又AD=3DB,,可得点D为BM的中点， 又E为BB的中点， 所以OE是△BAB,的中位线，DE为△BBM的中位线， 所以DE∥AB,OE∥AB, 所以DE⊥OE, -4分 又CO∩OE=O, -5分 所以DE⊥平面COE,又CEC平面COE, 所以DE⊥CE.- -6分 (2)如图，以O为原点，OA,OC所在的直线为x轴，z轴如图建系， -7分 C 则A1,0,0),A(1,2,0),B(-1,2,0),E(-1,1,0), 设C(0,0,m(m>0),则AB=(-2,2,0)，CE=(-1,1-m), 则异面直线AB,和CE所成角为 ABCE2 IAB CE2 解得m=√2，即C(0,0,2), 9分 设平面AAC的一个法向量为h,=(x,y,z), n,·AA=0 y=0 由 得 -x+V52=0'令z=1,得m=W,0, --11分 (4,·AC=0 设平面ACB的一个法向量为n2=(x,y,z), m2·AB,=0 -x+y=0 由 x+22=0'令：=1，得%=(2，-2，)， 得 ---13分 n2·B,C=0 平面AAC与平面ACB所成角的余弦值cos0= h=5 --15分 1%I215 17.（15分) 因为4==，所以.在6+2c=1中令a=得3=1.所以a月 当n≥2时，由6，=及6，+2c,=1,得9+2c,=1,所以上-1=2. Cn-1 Cn-1 Cn Cn-1 又上=1=3，所以 是首项为3，公差为2的等差数列. -3分 ci a Cn) -3+2a-)=2n+1.所以c,=2n 1 4分 Cn (2)由(1)知6，== 2m-n≥2 5分 Cn-1 12n+1 当m=1时，6=，满足上式，所以6，=2” 6分 2n+1 则a=a-功 -7分 当n=1时，4=，不满足上式，所以a,= 3s1 --8分 3 4n2-7n≥2 当n=1时，↓=3，显然成立： a 当m≥2时，有4n2-1≤2025，所以m2≤8101，又neN,所以n的最大值为45.-9分 4 (3)设d,=2n+3 5hs1 4 n≥2 (2n-1)(2n+1)(2n+3) 当n=1时，S,=5 4 当n≥2时，d,=2n-)(2+1(2n+)(2n-0(2m+02m+2n+3可 --12分 所以Sn=d,+d2+…+dn +( 1 3 1 = 15(2n+1)(2n+3) -14分 1 所以Sn= 15n=1 2 1 15分 15 (2m+02n+3m≥2 18.(17分) 1)对f()求导得∫x)=a2cc=a2-习 1分 (e*)2 设直线y=上x与曲线y=∫(x)切于点P(%),则 e e --3分 =a52-x) 1 et 解得a=x=1,所以a的值为1. -5分 2)记函数R刻=四-(-》号-+0，下面考察西数y=R句的符号， 对函数)=F()求导得F国)=伦1- 2x>0. 当x≥2时，F'(x)<0恒成立. 03-g- e' ∴F(x)<0在(0，+o)上恒成立，故y=F(x)在(0，+o)上单调递减. -7分 F0-日0，F=总0，F0Fe<o, 又曲线y=F(x)在[，2]上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的 x∈(1,2)，使F(x)=0. x∈(0，xo),F(x)>0:x∈(xo,to∞)，F(x)<0, am x-1-bx2,0<x≤x0 x2 ∴(x)= +-20<x< -10分 (2-x)_2bx.x er 由函数h(x)=g(x)-bx2为增函数，且曲线y=h(x)在(0，+oo)上连续不断知h'(x)≥0在(0，xo), (x,+0)上恒成立. ①当x>x时，2--2x≥0在(，∞)上恒成立，即2bs2-x在(x,+)上恒成立， Q/ 记u=2x则（到=>% 当x变化时，w(x),(x)变化情况列表如下： (x0,3) 3 (3,+oo) t'(x) 0 + u(x) 减 极小值 增 ∴u(x)m=u(x)本=u(3)=-。’ 故26≤2。在（化，t树）上恒成立只需2b≤a()=日，即6≤2京 -13分 ②当0<x<%时，M(x)-1+-2x,当6≤0时，(>0在(0，)上恒成立， 综合①②知，当b≤-时，函数h()=g(x)-bx2为增函数. --15分 2e3 故实数b的取值范围是 -17分 19.(17分) (1)列举满足条件的“点亮”：(r,0r,0r),(0r,0r,0b),(0r,0r,1r）,(0r,0b,0r),(0r,0b,0b), (0r,1r,0r）,(0r,1r,1r）,共7种： --3分 (2)对四边形AA,4A的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或染蓝色，每个顶点有4种 方法，四边形A44A共有44=256种方法， 其中能“点亮”的有84种，故p=84=2引 25664 -7分 (3)对于n边形AA…A,若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上a; 若颜色不同，则标上b:若数字和颜色都相同，则标上c.于是，对于给定的点A上的设置（共有4 种)，按照边上的字母可以依次确定点A2,A,,A上的设置.为了使得最终回到A时的设置与初始 时相同，标有a和b的边都是偶数条 所以，“点亮”的方法数等于在边上标记a、b、c使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4 倍. 设标有a的边有2i(0≤i≤ 条，标有6的边有2(0≤[”2] 条 选取2i条边标记a的有C种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有第C,种方法，其余的 边标记c.由乘法原理知共有CC,种标记方法. 劉 对i、了求和，“点亮”的方法数为fm)=4∑ ① -9分 =0 j=0 这里，约定C。=1. 当n为奇数时，n-2i>0,此时， C,=221. ② 11分 代入式①中得 倒 o2452c-2是2ce2*c+22C=2+ヅ+2-=3r+亚 i=0 当n为偶数时，若<分，则式②仍然成立：若=？，则"边形的所有边都标记a,此时，只有一 种标记方法. 是能“点亮”的方法致为@≥2C-2+交2C心+36 f=0 综上，“点亮”的方法数是：当n为奇数时，有3”+1种；当n为偶数时，有3"+3种.--17分