精品解析：福建省漳州市台商投资区交通中学2025-2026学年九年级上学期数学期中卷

2025－2026学年第一学期期中适应性练习 九年级数学 友情提示：请把答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】A．，当时，是一元一次方程，不符合题意； B．，不属于方程，不符合题意； C．，是二元二次方程，不符合题意； D．，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 若，则的值为（） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是将拆分为． 将目标表达式拆分为，然后代入已知条件计算． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：， ，即， ． 故选：B． 4. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 移项得， ∴ ∴或 解得或 故选：D． 5. 如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．根据正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，，利用对角线互相垂直且相等即可证明四边形是正方形． A．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，选项错误，不符合题意； B．当时，四边形一定不是正方形，选项错误，不符合题意； C．当时，平行四边形角线互相垂直且相等，则四边形是正方形，选项正确，符合题意； D．当时，四边形不一定是正方形，选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动， ∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 故选：C． 7. 两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则， ， ， 故选：A． 8. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 9. 若关于的方程有两个根，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，则可求出，，然后根据乘方的意义计算． 【详解】解：关于的方程有两个根，， ，， 解得，， ． 故选：A． 10. 如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，，，则，，，，所以，因为，所以，可证明，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，，对角线相交于点， ，，，， ，，，， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 如图，矩形的对角线、相交于点，，则的长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等且相互平分， ，，， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分． 12. 如图，有两个转盘，转盘A被分成两等份，分别标有数字1，2，转盘B被分成三等份，分别标有数字1，2，3，转动两个转盘各一次，指针指向的数字相同的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率计算公式即可求解． 【详解】画树状图为： 共有种等可能的结果，其中指针指向的数字相同的有种结果， 所以指针指向的数字相同的概率为， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根，从而列出关于k的不等式求解． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， ， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段放大后得到线段．若点， ， ， 则点 的对应点 的坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形与直角坐标系的关系，能够根据位似图形得出位似比是解题的关键． 利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标的关系． 【详解】解：以原点为位似中心，把线段放大后得到线段，且， 点的横纵坐标与点的横纵坐标的比值也为． ， 点的横坐标为，纵坐标为． ． 故答案为：． 15. 如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查剪纸问题，矩形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是求出菱形的对角线的长．由折叠可知，得到的四边形是菱形，求出菱形的对角线，可得结论． 【详解】解：由折叠可知，得到的四边形的对角线互相垂直平分， ∴这个四边形是菱形， ∵原来矩形的长为，宽为， ∴可得菱形的对角线分别为和， ∴菱形的面积， 故答案为：24． 16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点，分别为，上的点，且，于点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接，由菱形的性质得，，，则，因为，所以，由于点，得，则，所以，由，得，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， ， ， ， 垂直平分， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，DC．求证：四边形ADCF是菱形． 【答案】 证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE． ∵EF＝DE， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC． ∴∠AED＝∠ACB． ∵∠ACB＝90°， ∴∠AED＝90°，即AC⊥DF． ∴□ADCF是菱形． 【解析】 【详解】试题分析：先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE∥BC，证出AC⊥DF，即可得出结论. 试题解析：略． 19. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同． （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字是3的正整数倍的概率为______； （2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键． （1）这个事件中有10种等可能性，其中是3，6，9都是3的倍数，根据概率公式计算即可； （2）画出树状图计算即可． 【小问1详解】 解：∵这个事件中有10种等可能性，其中3，6，9都是3的倍数， ∴这个数字（不等于0）是3的倍数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如图所示： 由树状图可知：共有12种等可能的结果， 从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况， ∴． 20. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）的度数是． 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 21. 某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同．请问增加了多少行？ 【答案】增加了2行 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总棵数原来的棵树，列出方程求解即可． 【详解】解：设增加了行，则增加的列数为， 根据题意，得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：增加了2行． 22. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 23. 如图，为矩形． （1）在线段的下方，求作菱形，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，，若，求证：，，三点共线． 【答案】（1） 作图如下： （2） 证明：连接，，如下图： ∵四边形为菱形，， ∴， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ，，三点共线． 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，截取，分别以为圆心，以为半径画弧交于，连接即可； （2）根据菱形的性质得出，设，则，求出， ，根据三角形外角的性质得出，求出，得出，即可证明，，三点共线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定及性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意作出图象． 24. 根据欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 小明同学积极思考其中的原理，并做出如下分析： 在中，，，则 ， ① ． 当时， ② ， 的长就是所求方程的正根． （1）请把所缺的内容补充完整； （2）利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，求的值； （3）如图，利用以上方法解关于的一元二次方程时，过点作矩形，使得点，，分别落在，，上，发现，求与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法和勾股定理的应用，解决本题的关键是理解图解法的含义和构造直角三角形， （1）直接代入计算即可， （2） 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． （3）先证明，设，可得，再设，用表示出各线段长，利用勾股定理列方程求出值即可． 【小问1详解】 解：在中，，，则， ． 当时， ， 的长就是所求方程的正根． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意，构造以和为两直角边长作，再在斜边上截取，如图所示： ， ，即就是的一个正根， ， 解得（负值已舍去）； 【小问3详解】 解：设，即，即， ∵矩形， ∴，， 又，，， ∴， ∴， 设，则， ， ， ， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， （负值，不合题意舍去)， ∴． 25. 如图1，在矩形中，与交于点，延长至点，使得，连接，点为中点，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，是上一点，连接，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在矩形中，， ∴， ∴ ，， ∵，连接，点为中点，连接 ， ∴，，则， ∴ ， ∴， ∵点为中点，连接，交于点，连接， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴； （2） ①证明：由（1）可知，， ∵， ∴，则 ， 在与中， ， ∴ ， ∴； ②. 【解析】 【分析】（1）在矩形中，与交于点，延长至点，得到 ，，从而得到，结合点为中点，连接，交于点，连接， ，得到，可证明，即可求证； （2）证明，再证，即可求证． （3）由题知，可得，在中，，连接 ，再证，得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵，，点为中点，， ∴，， ∴在中，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 在矩形中， ∴ ， ∴在中， ∵点和点分别为和中点，连接，如图； ∴，， ∴， ∴， 则：， 解得：， ∵， ∴ ， 解得：. 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质、矩形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期中适应性练习 九年级数学 友情提示：请把答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（） A. 1 B. C. D. 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 4. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 7. 两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 9. 若关于的方程有两个根，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2024 D. 10. 如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 如图，矩形的对角线、相交于点，，则的长为__________． 12. 如图，有两个转盘，转盘A被分成两等份，分别标有数字1，2，转盘B被分成三等份，分别标有数字1，2，3，转动两个转盘各一次，指针指向的数字相同的概率是__________． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________ 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段放大后得到线段．若点， ， ， 则点 的对应点 的坐标是___________ 15. 如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点，分别为，上的点，且，于点，连接，若，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解方程：． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，DC．求证：四边形ADCF是菱形． 19. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同． （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字是3的正整数倍的概率为______； （2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解） 20. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同．请问增加了多少行？ 22. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 23. 如图，为矩形． （1）在线段的下方，求作菱形，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，，若，求证：，，三点共线． 24. 根据欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 小明同学积极思考其中的原理，并做出如下分析： 在中，，，则 ， ① ． 当时， ② ， 的长就是所求方程的正根． （1）请把所缺的内容补充完整； （2）利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，求的值； （3）如图，利用以上方法解关于的一元二次方程时，过点作矩形，使得点，，分别落在，，上，发现，求与之间的数量关系． 25. 如图1，在矩形中，与交于点，延长至点，使得，连接，点为中点，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，是上一点，连接，且． ①求证：； ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $