精品解析：山东省威海市文登区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简两个集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由可得， 故. 故选：C 2. 若复数满足，则（ ） A. 5 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求出，再利用复数的乘法可得答案. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：B 3. 已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量数量积的运算律求出，再根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】因， 由可得， 则在方向上的投影向量是. 故选：A. 4. 已知等比数列的前3项和为，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合等比数列通项公式和前项和公式可得，解方程可求出答案. 【详解】等比数列的公比为，因为，故， 由题意可得：，所以， 两式相除可得：， 即，即， 所以. 故选：D. 5. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个球，则该球的表面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆锥侧面展开图求出圆锥的底面半径和高，再确定圆锥内接球的最大半径，最后计算球的最大表面积. 【详解】扇形半径即圆锥母线， 扇形弧长即圆锥底面周长：，因此圆锥底面半径， 圆锥的高， 当球为圆锥的内切球时，表面积最大，设内切球半径为， 利用轴截面的相似性，轴截面为等腰三角形，底边长为，高为， 内切圆半径满足：， 解得：， 球的表面积. 故选：A. 6. 已知函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得：，从而得到，结合同角三角函数公式化简即可求解. 【详解】由题可得：，所以， 即,则，两边平方化简可得：， 因为，则，则，，， 由于， 所以，解得：， 则. 故选：A 7. 已知抛物线的焦点为，为上一点，为的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨假设在第一象限，设，可得,由,结合基本不等式求解即可. 【详解】根据对称性，不妨假设在第一象限，设，由于，则，即, 则, 由基本不等式可得：，当且仅当时取等号； 所以,所以则的最大值为， 故选：C 8. 已知定义在上的函数满足，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知函数是奇函数，8是函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性得到，，，的值，结合的周期性即可得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以，所以， 又，所以，所以是上的奇函数， 所以，所以，得 所以8是函数的周期，4是函数的周期， 所以，，， 所以， ，， ，， 所以， ， 所以正整数的最小值为22. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在上单调递减 C. 的零点为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，利用函数周期性定义判断；对B，利用导数判断的单调性；对C，由函数零点定义求解判断；对D，利用函数单调性判断最值. 【详解】对于A，由，得，所以不是函数的一个周期，故A错误； 对于B，，则， 令，则， 当时，即，所以，，，即单调递增， 当时，即，即，， ，即单调递减， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C，令，得或， 或，所以函数的零点为，故C错误； 对于D，由选项A知函数的最小正周期为，只需要考虑在上的最小值即可. 由选项B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 的解集为 C. 的值域为 D. 对，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据奇偶性求出函数的解析式，解不等式即可求出的解集，利用导数判断函数的单调性并结合函数的奇偶性即可判断的值域，结合函数的值域和不等式的性质即可判断对恒成立. 【详解】依题意，因为是上的奇函数，所以， 对于A，因为当时，，所以时，，得， 所以，故A正确； 对于B，由选项A知，， 当时，，解得，所以， 当时，，符合题意， 当时，，解得，所以； 综上，的解集为，故B正确； 对于C，当时，，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，有极小值， 又当时，，当时，， 所以当时，； 因为是上的奇函数，所以当时，； 的值域为，故C错误； 对于D，由选项C知，，所以，，， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（ ） A. 当为线段的中点时，直线的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线与双曲线的关系判断A，设，表示出和，得出，再结合即可判断B，设，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过作差即可判断C，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称可判断D. 【详解】如图， 若直线的斜率为时，直线的方程为， 联立双曲线，可得，， 即直线与双曲线不相交，故A错误； 设，，， ，， 又 ，，故B正确； 设，其中，则，即， ， ， ，， ，，故C错误； ，，，， ，∵直线的斜率为即， 且过点，∴直线的方程为， 又∵，， ， ，即， 又∵点到直线的距离，点到直线的距离，即， ∴点与点关于直线对称，，，故D正确, 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“”是假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用命题与其否命题真假性关系，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，再通过判别式求解. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以其否定形式“”是真命题，即有实数根， 所以，即，解得或. 故答案为： 13. 若抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，的准线交于，两点，为等腰直角三角形，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线和椭圆的性质，结合为等腰直角三角形，找出存在的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 由题意知，椭圆的右焦点坐标为，则（为椭圆半焦距），即. 将代入椭圆方程中，可得：， 又，解得. 又的准线交于，两点，可设，，则. 因为为等腰直角三角形，所以，，且， 又， 所以，即， 整理得， 又，所以. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体可证平面，及，再由三角形面积可知点到的距离，即可判断点轨迹，即可得解. 【详解】 由连接， 由正方体可知，，，， 且，，平面， 则平面， 又平面， ， 同理， 又，，平面， 所以平面， 即平面，且， 设直线平面于点， 则，且为三角形中心， 又，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，， 又， 所以，即， 所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为， 则轨迹的长度为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，可得是等差数列，利用等差数列通项公式可得答案； （2）先根据求出的通项公式，利用并项求和可得答案. 【小问1详解】 因为，当时，可得； 因为当时，有， 所以，整理得， 所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以， 因为数列的各项均为正数，所以. 【小问2详解】 由（1）知，当时，． 当时，成立，所以． 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 16. 在三棱柱中，点为侧面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接，因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，可得，由线面平行的判定定理可证； （2）取的中点，得平面，就是直线与平面所成的角，结合已知条件求得，求得，利用棱锥体积公式求解； （3）以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为为的中点，所以，因为平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成的角， 由题意知，，则，所以， 在中，， 所以，所以， 所以四棱锥的体积为. 【小问3详解】 又因为正方形，所以，且平面， 以为原点，的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得法向量， 因为， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 在中，内角的对边分别为，且的面积为． （1）若是的角平分线，，求的周长； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）19． （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理化简求出，再由角平分线的性质及面积公式得出，再由余弦定理求出即可； （2）利用向量数量积的运算可得，再由正弦定理及三角恒等变换化简可得，利用三角函数最值即可得解. 【小问1详解】 在中，由三角形的面积公式可得， 所以，所以， 因为，所以． 因为是的角平分线，所以， 所以，所以， 由余弦定理可知：， 所以， 所以，整理得， 解得或（舍去）， 所以，所以的周长为19． 【小问2详解】 由题意知， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以当，即时，的最大值为1，此时有最小值， 所以的最小值为． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与垂直，求此切线方程； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围； （3）当时，证明：当时，（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）证明：当时，要证明，即证明， 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，又， 则，使得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以，所以当时，． 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义可得，从而可得切点为，即可求解； （2）根据条件得对恒成立，构造函数，分、、三种情况进行讨论，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成证明恒成立，构造函数，利用导数，求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为，由题有，解得， 此时，所以，则切点为， 所以此切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意知对恒成立， 令，当时，， 所以当时，，不符合题意． 当时，，令， 其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 当，即时， 因为，所以当时，，即， 此时在单调递增，所以，不符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以，即， 此时在单调递减，所以，符合题意， 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知动点与定点的距离和点到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． （i）当时，证明：为定值； （ii）当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立，若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线． （2）（i）证明：设点，其中且， 由（1）知的方程为，则， 因为，所以， 因此三点共线，由椭圆的对称性可知：， 设直线的方程为， 由，整理得， 则， 因为， 同理可得， 所以， 因为， 因为，所以，所以， 所以为定值． （ii）存在，． 【解析】 【分析】（1）设点，根据条件得，化简即可求解； （2）设点，其中且，（i）由（1）知曲线为，根据条件及椭圆的对称性可得，设直线的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理得间的关系，再利用两点间的距离公式得，即可求解；（ii）由（1）知曲线为，同（i）可得，设直线的方程为，同理可得，结合条件及双曲线的性质可得，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 设点，由题意可知， 化简整理得到，所以曲线的方程为， 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线． 【小问2详解】 （i）略 （ii）当时，的方程为，轨迹为双曲线， 根据（i）的证明，同理可得三点共线，且， 设直线的方程为， 由，整理得， 则， 因为， 同理可得， 所以， 因为， 因为，所以， 所以， 由双曲线的定义可知，所以， 因为，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）， 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 5 B. 2 C. D. 1 3. 已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前3项和为，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个球，则该球的表面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知抛物线的焦点为，为上一点，为的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在上单调递减 C. 的零点为 D. 的最小值为 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 的解集为 C. 的值域为 D. 对，都有 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（ ） A. 当为线段的中点时，直线的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“”是假命题，则的取值范围为__________． 13. 若抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，的准线交于，两点，为等腰直角三角形，则的离心率为__________． 14. 已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 16. 在三棱柱中，点为侧面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 在中，内角的对边分别为，且的面积为． （1）若是的角平分线，，求的周长； （2）若，求的最小值． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与垂直，求此切线方程； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围； （3）当时，证明：当时，（参考数据：） 19. 已知动点与定点的距离和点到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． （i）当时，证明：为定值； （ii）当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立，若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $