山东省威海市文登区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 5 B. 2 C. D. 1 3. 已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前3项和为，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个球，则该球的表面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知抛物线的焦点为，为上一点，为的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在上单调递减 C. 的零点为 D. 的最小值为 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 的解集为 C. 的值域为 D. 对，都有 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（ ） A. 当为线段的中点时，直线的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“”是假命题，则的取值范围为__________． 13. 若抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，的准线交于，两点，为等腰直角三角形，则的离心率为__________． 14. 已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 16. 在三棱柱中，点为侧面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 在中，内角的对边分别为，且的面积为． （1）若是的角平分线，，求的周长； （2）若，求的最小值． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与垂直，求此切线方程； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围； （3）当时，证明：当时，（参考数据：） 19. 已知动点与定点的距离和点到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． （i）当时，证明：为定值； （ii）当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立，若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 连接，因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） （3）． 【17题答案】 【答案】（1）19． （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：当时，要证明，即证明， 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，又， 则，使得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以，所以当时，． 【19题答案】 【答案】（1），当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线． （2）（i）证明：设点，其中且， 由（1）知的方程为，则， 因为，所以， 因此三点共线，由椭圆的对称性可知：， 设直线的方程为， 由，整理得， 则， 因为， 同理可得， 所以， 因为， 因为，所以，所以， 所以为定值． （ii）存在，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $