期末复习01 选择题压轴十六大类型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

期末复习01 选择题压轴十六大类型（压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、平方根和立方根 类型二、无理数的估算 类型三、利用二次根式的性质化简求值 类型四、由二次根式的性质求参数 类型五、求二次根式的值 类型六、一元二次方程根的判别式的应用 类型七、一元二次方程根与系数关系的应用 类型八、实际问题与一元二次方程 类型九、直角三角形的性质 类型十、角平分线的性质定理 类型十一、利用勾股定理解决翻折问题 类型十二、利用勾股定理解决图形面积问题 类型十三、利用勾股定理解决最值 类型十四、规律探究 类型十五、多结论问题 类型十六、新定义问题 压轴专练 类型一、平方根和立方根 1．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 2．若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 3．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 4．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 5．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 类型二、无理数的估算 6．若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．已知，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 8．如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 9．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 类型三、利用二次根式的性质化简求值 10．已知，则化简的结果是() A． B．1 C． D． 11．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 12．甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 13．化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 类型四、由二次根式的性质求参数 14．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 15．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 16．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 17．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型五、求二次根式的值 18．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 19．当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 20．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 21．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 类型六、一元二次方程根的判别式的应用 22．已知关于的方程有实数根，则实数满足的条件是（   ） A． B．且 C．且 D． 23．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 24．若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是(  ) A．且 B．且 C． D．且 25．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 26．对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 类型七、一元二次方程根与系数关系的应用 27．若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 28．已知实数满足，则的值为（    ） A．2 B．2或7 C．7 D．7或9 29．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 30．实数是关于的方程的两根，其中，是三条边的长，则下列说法正确的是（    ） A．是方程的一个根 B． C． D． 31．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（  ） A． B． C． D． 类型八、实际问题与一元二次方程 32．如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 33．某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 34．俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练蹬眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，求每天“遗忘”的百分比（    ） A． B． C． D． 35．一辆新车购买价为万元，第一年使用后折旧，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．若第三年年末这辆车折旧后价格为万元，则第二、三年的年折旧率为（　　） A． B． C． D． 36．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 类型九、直角三角形的性质 37．如图，中，，是高，，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 38．如图，，，分别是△ABC的高，角平分线，中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 39．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 40．如图，在中，，，是的角平分线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．点在线段的垂直平分线上 C． D． 41．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到的位置．当时，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型十、角平分线的性质定理 42．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．11 43．如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为（   ） A． B． C． D． 44．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中： ①是的平分线；②；③的面积是面积的2倍；④． 正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 45．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 46．在中，平分交于点D，，则的面积是（　　）     A．5 B．6 C．7 D．8 类型十一、利用勾股定理解决翻折问题 47．如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 48．如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（   ）    A．2 B． C． D．4 49．如图，在中，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A．1.4 B．1.8 C．2.2 D．3.6 50．如图，在中，，于点，于点，．连接，将沿直线翻折得到，连接．过点作交于点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．四边形的周长为 51．如图，，将边沿翻折，使点落在上的处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 类型十二、利用勾股定理解决图形面积问题 52．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 53．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边为，若，，则小正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 54．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，，，四边形的面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正三角形纸片的重叠部分（）的面积为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 55．如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（   ） A． B． C． D．2 类型十三、利用勾股定理解决最值 56．如图所示，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点P是的中点，连接．若，，则线段长度的最大值是（  ） A． B． C． D． 57．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 58．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 59．如图，正方形的边长为，为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点到点距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 60．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D．8 类型十四、规律探究 61．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 62．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 63．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 64．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小豪设计了一个数学探究活动，对正奇数从小到大按如下规律进行操作：，，，……其操作规则为：正奇数在第个括号中从左到右的第个数，记为，正奇数在第个括号中从左到右的第个数，记为，按此规律：正奇数记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 65．如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 类型十五、多结论问题 66．定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 67．如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 68．对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 69．如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 70．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论正确的是（   ）． ①        ② ③平分        ④平分 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 类型十六、新定义问题 71．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 72．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 73．对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法计算 74．对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 75．题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 1．物理课上小新学习了排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得已溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形、图2是以原点为圆心、以的长方形的对角线OA长为半径画弧，与数轴相交于点B．若点B表示的数为m，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 5．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 6．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（   ） A． B． C． D． 7．老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 8．如图，在纸片中，，且，为线段上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，当时，面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，平分，平分，，过点P作，分别交于M、N，设，则周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 11．如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 13．已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01 选择题压轴十六大类型（压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、平方根和立方根 类型二、无理数的估算 类型三、利用二次根式的性质化简求值 类型四、由二次根式的性质求参数 类型五、求二次根式的值 类型六、一元二次方程根的判别式的应用 类型七、一元二次方程根与系数关系的应用 类型八、实际问题与一元二次方程 类型九、直角三角形的性质 类型十、角平分线的性质定理 类型十一、利用勾股定理解决翻折问题 类型十二、利用勾股定理解决图形面积问题 类型十三、利用勾股定理解决最值 类型十四、规律探究 类型十五、多结论问题 类型十六、新定义问题 压轴专练 类型一、平方根和立方根 1．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 2．若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选：C． 3．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 4．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】C 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 即 ， 解得 ． ∴ 平方根分别为 和， ∴ 这个正数为， ∴ 64 的立方根为（因为 ）． 故选：C． 5．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 类型二、无理数的估算 6．若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵，即； ，即， 又，均为正整数，且要使最大， 最大取3，最大取2， 的最大值是5， 故选：B． 7．已知，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：原不等式化简为 ， 由题意可知， 为 的整数部分， ，且 ， ， 则 ， 故整数 ， 故选：C． 8．如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 故选B． 类型三、利用二次根式的性质化简求值 10．已知，则化简的结果是() A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ， ∴原式． 故选：D． 11．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ = ． 故选：D． 12．甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 【答案】B 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 13．化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】 【详解】解：由题意得， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 类型四、由二次根式的性质求参数 14．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：根据二次根式的性质得，， ∴， 故选：D． 15．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 16．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 17．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 类型五、求二次根式的值 18．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 19．当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【详解】解：当时， ． 故选：B． 20．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 21．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都小于0， ∴ ， ∵，， ∴原式， 故选：B． 类型六、一元二次方程根的判别式的应用 22．已知关于的方程有实数根，则实数满足的条件是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵ 方程有实数根， ①当时，方程为，解得，满足题意； ②当时，方程为一元二次方程， 则判别式， 解得， 故且； 综上所述，实数满足． 23．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：①∵当时，， ∴是方程的根， 故判别式，①正确； ②∵方程有两不等实根， ∴判别式，即， 则方程的判别式， 故有两不等实根，②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即， 若，则不一定为0，③错误； ④∵是根，∴， 则， 由，得， 即， ∴，④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 24．若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是(  ) A．且 B．且 C． D．且 【答案】C 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 判别式． 方程无实数根， ，即， 解得，即． 综上，． 故选：C． 25．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 26．对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】 【详解】解：一元二次方程有实数根的条件是判别式． ①：， ∴，又， ∴，故方程有实数根． ②：， 反例：，则，但，无实数根，故②不能判定． ③：，即， ∴Δ===， ∵， ∴，， ∴，故方程有实数根． ∴正确条件的序号是①和③． 故选：B． 类型七、一元二次方程根与系数关系的应用 27．若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，且， 即． ∴． 故选：A． 28．已知实数满足，则的值为（    ） A．2 B．2或7 C．7 D．7或9 【答案】B 【分析】 【详解】解：依题意，实数是一元二次方程的实数根， 若，则， ； 若，则； 故选：B． 29．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 【答案】B 【详解】解：①当6为底边时，则， ∵， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为4, 4, 6，满足，故成立； ②当6为腰时，设， 则，即， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为6, 2, 6，满足，故成立； 综上，m的值为12或16， 故选：B 30．实数是关于的方程的两根，其中，是三条边的长，则下列说法正确的是（    ） A．是方程的一个根 B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵ 方程 ，其中 为的三边长， 故 ，且满足三角形不等式 ， 选项A：代入 ，得，不等于0， 故A错误； 选项B：由根与系数关系，， ∵ ， ∴ ，即 ， 故B错误； 选项C：， ∵ ， 故， 故C错误； 选项D：根据题意，得， ∵ ， ∴ ， 故， 故方程有两个不等实根， 故，D正确； 故选：D． 31．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点和在函数图象上， ∴，即， 同理， ∴和是方程的两个根， 由根与系数的关系，得， ∴． ， ． ∴． 故选：B． 类型八、实际问题与一元二次方程 32．如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又长度要小于墙长米， ， ∴米． 故选：D． 33．某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ 集体照1张，每人需1份，冲印张； ∵ 每两位合影1张，共张，每张冲印2份，冲印张； ∴ 总冲印照片数； ∵ ， ∴ ，（负值已舍）， 故选：C． 34．俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练蹬眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，求每天“遗忘”的百分比（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：设每天遗忘的百分比为（用小数表示），则每天剩余比例为， 根据题意可得：， ∴ ∴ ∴或(舍）， ∴每天遗忘的百分比为． 故选B． 35．一辆新车购买价为万元，第一年使用后折旧，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．若第三年年末这辆车折旧后价格为万元，则第二、三年的年折旧率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵新车购买价万元，第一年折旧， ∴第一年后价值为万元， 设第二、三年的年折旧率为，则第二年后价值为，第三年后价值为 ． 根据题意，， ∴或（舍去） 故选：B． 36．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 类型九、直角三角形的性质 37．如图，中，，是高，，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】 【详解】解：，，是高， ，， ， ， ， ，， ， ． 故选：D． 38．如图，，，分别是△ABC的高，角平分线，中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，分别是△ABC的高，角平分线，中线， ∴，，，， ∴， 由与不一定相等， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 39．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】 【详解】解：，， ， ， ，即， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ， 故选：D． 40．如图，在中，，，是的角平分线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．点在线段的垂直平分线上 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴，故选项正确； ∵， ∴点在线段的垂直平分线上，故选项正确； ∵，， ∴，故选项正确； ∵， ∴，故选项不正确； 故选：． 41．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到的位置．当时，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：，，旋转角为， ∴， ∴， 故选：B． 类型十、角平分线的性质定理 42．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点作， 由题意可知：平分，，， ，， ， ， 故选：． 43．如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据作图痕迹得垂直平分，平分， 所以． 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：C． 44．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中： ①是的平分线；②；③的面积是面积的2倍；④． 正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 【详解】根据作图可知：是的平分线，故正确； ，， ， 是的平分线， ， ，故正确； 在中，， ， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； 正确的个数有个． 故选． 45．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由可得， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 46．在中，平分交于点D，，则的面积是（　　）     A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：过点作， ， 平分，， ， ． 故选：C． 类型十一、利用勾股定理解决翻折问题 47．如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴，故A正确； 连接，交于点， 将沿直线翻折，恰使点与点重合， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故B错误，符合题意； ∵将沿直线翻折，恰使点与点重合 ∴ 又∵ ∴，即，故C正确， 设，则， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，故D正确， 故选：B． 48．如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（   ）    A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】 【详解】∵，，， ∴， ∵将沿翻折，使点A与点B重合， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 49．如图，在中，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A．1.4 B．1.8 C．2.2 D．3.6 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∵点C落在延长线上的点D处， ∴，即， 设，则有， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选C． 50．如图，在中，，于点，于点，．连接，将沿直线翻折得到，连接．过点作交于点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．四边形的周长为 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，故A选项结论正确，不符合题意； ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，故B选项结论正确，不符合题意； ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，，故C选项结论正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，故D选项结论错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质． 51．如图，，将边沿翻折，使点落在上的处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：根据折叠的性质可知， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∵根据勾股定理， ， ， ， 故选：B． 类型十二、利用勾股定理解决图形面积问题 52．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故选：B． 53．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边为，若，，则小正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∵小正方形的边长是， ∴小正方形的面积为：， 故选：A ． 54．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，，，四边形的面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正三角形纸片的重叠部分（）的面积为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：如图1， 过点M作于点N，设直角三角形的三边长为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得：另外两个等边三角形的面积为， 由勾股定理可得：， ∴， ∴； 故选C． 55．如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图所示， ∵都是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 类型十三、利用勾股定理解决最值 56．如图所示，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点P是的中点，连接．若，，则线段长度的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵旋转得到，M是的中点，P是的中点， ∴，， ∴， ∴的最大值为（此时P、C、M共线）． 故选：B． 57．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图，连接， 由题意得，, ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 当点共线的时候，最大，最大值为6， 此时，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴, 故选：B． 58．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 59．如图，正方形的边长为，为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点到点距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 则， ， 由线段绕点顺时针旋转得到线段可知， ， ， 又， ， ，， ， 即， ， 为等腰直角三角形， ， 即点在的平分线上， 当时，最小， 此时， 解得， 故选：． 60．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由尺规作图可知，射线是的角平分线， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值等于， 故选：A． 类型十四、规律探究 61．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， …… 第n个等式：． 故选：D． 62．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】 【详解】解：展开式有项，令，，则系数和为，故结论①错误． ，故结论②正确． ，当时，，解得或，故结论③错误． ，根据二项式定理展开，除最后一项外，其余项都含有因数，所以除以的余数为，今天是星期一，天后是星期日，故结论④错误． 故选：A． 63．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 64．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小豪设计了一个数学探究活动，对正奇数从小到大按如下规律进行操作：，，，……其操作规则为：正奇数在第个括号中从左到右的第个数，记为，正奇数在第个括号中从左到右的第个数，记为，按此规律：正奇数记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：正奇数为，，，，，……，， 设为序号，则每个奇数可表示为， ，解得：，即是第个奇数， 根据题意，第组有个奇数，第组有个奇数，第组有个奇数， 依此类推，设第组包含个奇数，则前组一共有个奇数， 令，解得：（负值舍去）， ， 当时，前组共有个奇数， 当时，前组共有个奇数， ， 正奇数在第组，即， ， 正奇数在第组的第个，即， ． 故选：D． 65．如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴， 同理：， ∴按照此规律继续下去，． 故选：B ． 类型十五、多结论问题 66．定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【详解】解：①当时，方程为， 解得， ∴， ∵符合，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②， ∴， 解得或， ∵该方程是“友好方程”， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴， 当时，，且， ，且， ∵为整数， 此时的值不存在； 当时，，且， ，且， ∴， 是整数， ∴或，故②正确； 综上，①②都正确， 故选：． 67．如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 68．对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】 【详解】解：①∵， ∴， ∴方程必有一根为； ∴①正确； ②当时，则一元二次方程变为， 则， ∴或， 解得或， ∴方程至少有一个根为； 故②正确； ③若方程的两根为和， ∴， ∴， 故③正确； ④若，则． ∴方程的判别式为, ∵，， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根； 故④正确； 综上可知，①②③④正确； 故选：D． 69．如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设和相交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过A作于M，于N， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴平分，故③正确； 由②知，， 延长至点K，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 70．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论正确的是（   ）． ①        ② ③平分        ④平分 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ， 设和交于点N， ∵， ∴，即，故①正确； 过点O分别作，垂足分别为E，F， ∵， ∴， ∴平分，故③错误，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 类型十六、新定义问题 71．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】 【详解】解：设较长直角边为 ，较短直角边为 ，斜边为 ，则 ，倍长关系有三种情况：；；； 又有一条边长为 1，分别讨论： 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，； 较长直角边可能为； 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，， 较长直角边可能为； 当时，不符合三角形三边关系，不符合题意， 综上，较长直角边所有可能取值为 ，共 5 种． 故选：B． 72．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】D 【详解】由方程是“和谐”方程，，得， 由方程是“美好”方程，，得 得：，解得， 将代入①得：，解得， ， 故选：D． 73．对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法计算 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据题意得，， ， ， 或， 所以． 故选：C． 74．对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解： 整理得 解不等式组得， ∵原不等式组有且只有一个整数解， ∴， 解得， 故选：B． 75．题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 【答案】D 【详解】，且， 分两种情况讨论： 当时， ，， ， 即， 解得， 但，与矛盾，无解． 当时， ，， ， 即， 解得， 且，满足条件． ， 故选：D． 1．物理课上小新学习了排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得已溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【详解】解：由题意得正方体的棱长为， ∵， ∴， 故选：． 2．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形、图2是以原点为圆心、以的长方形的对角线OA长为半径画弧，与数轴相交于点B．若点B表示的数为m，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：由题和图可知；大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为：， ∵点B在原点的左侧， ∴点B表示的数为． 又∵， ∴， ∴．即 故选：B． 3．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 4．已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 6．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：对于二次函数，令得，， 由于，则令或， 解得或， 即二次函数与轴的交点坐标为和， 由于，在内，，且顶点在处，顶点值， 函数大致图象如下： 为使有两个实根，需二次函数顶点值大于， 即， 解得（满足）， 因此，一元二次方程的两个实数根在到之间，即， 故选：A． 7．老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】 【详解】解：甲：应化为，甲错误； 乙：应化为，乙正确； 丙：应化为，丙错误； 丁：应化为，丁正确； 可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙． 故选：C． 8．如图，在纸片中，，且，为线段上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，当时，面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当的值最小时，的面积最小， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴由可知，的最小值为6， ∴面积的最小值为， 故选：B． 9．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， …， 依此类推，为正整数， 当时，， 故选： 10．如图，在中，，平分，平分，，过点P作，分别交于M、N，设，则周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵，平分，平分， ∴ , , ∵， ∴ , , ∴，， ∴， ∵， ，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， 故选：D． 11．如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴，， ∴的面积≠面积的2倍，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 12．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 13．已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵， 设，则原方程化为： ， 解得：或， 又∵， ∴舍去， ∴． 故选：D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $