精品解析：云南省昭通市镇雄县芒部中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025—2026年（上学期）昭通市镇雄县芒部中学 高二年级期中考·数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题 1. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 3. 若一圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为7，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（ ） A. 10 B. 13 C. 19 D. 21 5. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线与，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线恒过点 D. 若，则，之间的距离为 10. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，且椭圆C的离心率为，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的短轴长为 C. 椭圆C的焦距为 D. 椭圆C的一个顶点坐标为 11. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 三、填空题 12. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则__________. 13. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为________． 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____． 四、解答题 15. 在中，记角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角； （2）已知点在边上，且，，，求的面积． 16. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 17. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训. （1）已知该公司A，B两部门分别有2位领导，此次培训需要从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年（上学期）昭通市镇雄县芒部中学 高二年级期中考·数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题 1. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法和虚部的概念即可求解. 【详解】因为，所以的虚部为-1. 故选：C. 2. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 3. 若一圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为7，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算圆台的高，再利用圆台的体积公式计算即可. 【详解】因为圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为7， 所以圆台的高为， 所以该圆台的体积为. 故选：B 4. 已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（ ） A. 10 B. 13 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件利用椭圆的定义转化，结合三角形性质即可求出的最大值. 【详解】已知椭圆方程：， 故：，， 焦距：， 焦点为：， 已知，在椭圆上，求： 由椭圆的定义：，可得， 代入目标：， 问题转化为求：， 对于任意点，由三角形性质可得（三点共线时取等）：， 因此：，又， ， ，. 故选：C 5. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线为，利用点求得，进而确定正确答案. 【详解】由题可设双曲线方程为且， 又在双曲线上，所以， 则双曲线的方程是，即． 故选：B． 6. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和半圆的位置关系进行求解即可. 【详解】， 问题方程有两个不相等的实根，可以转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，如图所示： 半圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，或舍去， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 只需. 故选：D 7. 已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的性质得出，继而由周期公式得出. 【详解】解：设的最小正周期为，由函数（）的图象上相邻两 个对称中心之间的距离为，知，， 又因为，所以，即，则． 故选：B． 8. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以. 故选：C. 二、多选题 9. 已知直线与，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线恒过点 D. 若，则，之间的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两直线位置关系计算可得AB；令的系数为，计算可得C；借助平行线间距离公式计算可得D. 【详解】对A：若，则，解得或， 当时，两直线方程分别为，，符合题意； 当时，两直线方程分别为，， 此时两直线重合，不符合题意； 综上，，故A不正确； 对B：若，则， 解得或，故B正确； 对C：令，得，所以恒过点，故C正确； 对D：若，由A知，， 所以直线，的方程分别为，， 所以，之间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 10. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，且椭圆C的离心率为，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的短轴长为 C. 椭圆C的焦距为 D. 椭圆C的一个顶点坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的蒙日圆的定义结合已知条件得出，利用椭圆的性质和离心率得出，从而求出，进而判断各选项． 【详解】与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆，即为该椭圆的蒙日圆， 设椭圆的蒙日圆半径为，则， 椭圆C：的蒙日圆方程为， ， ，， ，解得， ，解得，即， ，即，， 椭圆方程为， 选项A：椭圆C的长轴长为，故A正确； 选项B：椭圆C的短轴长为，故B正确； 选项C：椭圆C的焦距为，故C错误； 选项D：椭圆C的一个顶点坐标为，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 【详解】因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则__________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据函数是周期函数，转化 ，再利用偶函数的性质，转化为，最后代入解析式求值. 【详解】因为的周期为2，且， 所以. 因为是偶函数，所以. 因为当时，， 所以. 故答案为： 13. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】判断两圆相交，再把两圆方程相减消去二次项即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，因此圆相交， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，即. 故答案为： 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立方程可求得，可求得，进而可得，利用余弦定理可求得. 【详解】如图，在中，，所以， 所以， 又因为轴，所以，因此， 故直线的方程为，联立，得， 设，，则，由抛物线的定义知， 而，所以，在中，，， 由余弦定理，得， 解得． 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，记角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角； （2）已知点在边上，且，，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）代入正弦定理和两角和的正弦公式即可； （2）先确定长度，再确定，即可判断三角形形状，确定面积． 【小问1详解】 ，由正弦定理可得 ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 设，，，或4， 当时，，，此时三角形为正三角形， 当时，，， 满足，此时三角形为直角三角形，． 16. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【小问1详解】 设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 17. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训. （1）已知该公司A，B两部门分别有2位领导，此次培训需要从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式可求解. 【小问1详解】 记部门的2名领导为，部门的2名领导为， 从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有： ，共12种， 这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：，共8种， 所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为. 【小问2详解】 记 “甲经过培训合格”， “甲第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以甲经过培训合格的概率为. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）在正方形中，. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的定理证明平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立恰当的空间直角坐标系，三棱柱的体积转化为，可求结果； （3）根据两平面夹角的计算方法，可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则. 因为，，且， 所以，即. 因为，所以. 设平面的法向量为. 因为，， 所以，令，则. 易得平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，， 所以. 【小问3详解】 解：设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 设平面与平面的夹角为. 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程； (2)①以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点；②假设存在点，利用点在双曲线上，再结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 ①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $