22.1 直角三角形 同步i练习 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

沪教版八年级上册数学直角三角形练习卷 考查范围：22.1直角三角形 1． 选择题 1.下列命题正确的有（ ） 直角三角形的两个锐角相等； 直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半； 直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分； 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 2.如图，已知在△ABC中，AB=AC,点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC=100°，则∠D=（ ） （A）40° （B）50° （C）60° （D）80° (第2题） （第3题） （第4题） 3.如图，已知D为线段AB的中点，EA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A、B，AE=AB=2BC，那么下列结论中不正确的是（ ） A. DE=AC B.∠E+∠C=90° C.∠CAB=30° D. ∠EAF=∠ADE 4.如图，是直角三角形，，CD是AB的中线， CE是AB上的高，下列判断错误的是（ ）。 （A）∠B=∠3 （B）∠1=∠3 （C）∠2=∠3 （D）∠A+∠3=90° 5.如图，在中，，CDAB,点E是AB的中点，,则 ∠ECD=（ ） （A）20° （B）55° （C）35° （D）40° （第5题） （第6题） 6.如图，在中，，,,E是AC的中点，那么 ∠EDB=（ ） （A）120° （B）145° （C）135° （D）115° 7.在直角三角形中，两锐角的平分线相交成的锐角的度数是________度。 8.已知面积为6的直角三角形斜边上的高为3，则斜边上的中线长为___________. 9.已知：如图，EF⊥AD，BC⊥AD，AG=DH，AF=DC，那么图中全等的三角形共有______对． A B C D E A B C D E （第9题） （第10题） （第12题） 10.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为__________． 11.直角△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，点E是AB的中点，∠ACD=25°，则∠ECB=__________； 12.如图，中，，，，，，则=____________． 13.如图，是等边三角形，AD//BC,CDBC于C,交AD于D，若AD=10,则的 周长为_______. （第13题） （第14题） 14.如图，OF平分,FC//OB交OA于C,FDOB,如果,FD=3,则OC的长 为_________. 15.如图，在中，AB=AC，ADBC于D，DEAB于E，AD=，AD=8，则 BE=_____. （第15题） （第16题） （第17题） 16.如图，在中，,,CDAB于 D，则AD:BD的值为 17.如图，把一块含角的三角尺，绕顶点C顺时针旋转，使点A、B分别落在点、 处，联接，则_________° 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交AB于E、AC于D，BD、CE交于F，设∠A=y，∠DFC=x，则用x的代数式表示y A B C D E 三．解答题 19.已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F， 求证：CE=DF． E A B C D F 20.如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE． A B C D E 21.如图，已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD中点．求证：MN⊥BD．A B C D M N 22.如图，在中，CD是高，CE是中线，DGCE于G，2CD=AB. 求证：（1）G是CE的中点；（2） 23.如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，D是边BC的中点，连接DF、EF、DE．A C B E F D （1） 求证：ED=DF； （2） 若△DEF是等边三角形，则△ABC应满足什么条件? 24.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E． （1） 若BC在DE的同侧（如图1），且AD=CE，求证：AB⊥AC． （2） 若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由． 25.如图1，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为 EC的中点． （1）求证：△BMD为等腰直角三角形； （2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）将△ADE绕点A逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．图1 A B C D E M A B C D E 图2 M 沪教版八年级数学直角三角形练习卷参考答案 考查范围：22.1直角三角形 2． 选择题 1.下列命题正确的有（ A ） 直角三角形的两个锐角相等； 直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半； 直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分； 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 解析：命题直角三角形的两个锐角互余，但不一定相等。只有等腰直角三角形的两个锐角相等 命题直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半而不是一条边上的中线等于斜边的一半。 命题正确 命题直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，只有在等腰直角三角形中才成立 故答案选A 2.如图，已知在△ABC中，AB=AC,点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC=100°，则∠D=（ B ） （A）40° （B）50° （C）60° （D）80° 解析：设DE与AB相交于F，因为AB=AC。所以∠B=∠C(等边对等角)，又因为DE⊥BC。所以∠B+ ∠BFE=90°∠,C+∠D=90，又因为∠C=∠B，所以 ∠BFE=∠D，又因为∠BFE=∠DFA(对顶角相等)，所以∠DFA=∠D，又因为∠BAC=∠DFA+∠D=100°,所以∠DFA=∠D=100÷2=50°故选B. 3.如图，已知D为线段AB的中点，EA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A、B，AE=AB=2BC，那么下列结论中不正确的是（ C ） A. DE=AC B.∠E+∠C=90° C.∠CAB=30° D. ∠EAF=∠ADE 解析： ∴△EAD≌△ABC ∴ED=AC，∠E=∠BAC ∴∠E+∠C=90° ∴∠EAF=90°-∠CAB=∠C=∠ADE 故选择C，ABD正确 4.如图，是直角三角形，，CD是AB的中线， CE是AB上的高，下列判断错误的是（ C ）。 （A）∠B=∠3 （B）∠1=∠3 （C）∠2=∠3 （D）∠A+∠3=90° 解析： A选项：是AB的中线∴CD=BD,∠B=∠3，故正确； B选项∠ACB=90,CE⊥AB,∠1+∠A=90°,∠ B+∠A=90°, ∴∠1=∠B,.∠1=∠3，故正确； C选项没条件可证明∠2=∠3，故错误； D选项:∠A+∠B=90°,∠B=∠3,∠A+∠3=90°，故正确 故选：C. 5.如图，在中，，CDAB,点E是AB的中点，,则 ∠ECD=（ A ） （A）20° （B）55° （C）35° （D）40° （第5题） 解析： ∵CD⊥AB∠ADC=90°∠ACD=35° ∴∠A=55°△ABC是直角三角形， 点E是AB的中点 CE=AE∠ECA=∠A=55° ∠ECD=∠ECD -∠ACD=55°-35°=20°故答案是20° 6.如图，在中，，,,E是AC的中点，那么 ∠EDB=（ B ） （A）120° （B）145° （C）135° （D）115° 解析： ∠ACB=90°∠ A+∠B=90又：∠ACD=∠B ∠ACD+∠A=90° 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 AE=DE ∠A=∠ADE=35° ∠EDB=180-∠ADE ∠EDB=180°-35°=145° 7. 在直角三角形中，两锐角的平分线相交成的锐角的度数是____45____度。 解析：直角三角形内角和+角平分线性质+三角形内角和定理 已知直角三角形的两个锐角和为90(直角三角形两锐角互余).设直角三角形的两个锐角为∠A和∠B，则∠A+∠B=90°.角平分线将这两个锐角分别平分，所以平分后的角为∠A和B，二者之和为：(A+B)=x90=45°在直角三角形中，两锐角的平分线相交成的锐角的度数是45° 8.已知面积为6的直角三角形斜边上的高为3，则斜边上的中线长为_____2______. 解：设斜边的长为X，根据题意得 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半..斜边上的中线长为2故答案为：2. 9.已知：如图，EF⊥AD，BC⊥AD，AG=DH，AF=DC，那么图中全等的三角形共有___3___对． （第9题） 解析：根据直角三角形的全等的判定结合之前学习的有关三角形的全等的判定可知是3对 10.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为____15°______． A B C D E 解：作EF⊥AB于F，则EF=BC, 又：AB=2BC,AE=AB, :.AE=2EF, ∠EAF=30, AE=AB ∠ABE=∠AEB=75, ∠EBC=90°-75°=15° 11.直角△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，点E是AB的中点，∠ACD=25°，则∠ECB=__________； 解：（先画出示意图） CD⊥AB ∠ADC=90° ∠ACD+∠A=90° ∠ACD=25° ∠A=90°-25°=65° ∠ACB=90°，点E是AB的中点 CE=AE=AB ∠ACE=∠A=65 ∠ECB=∠ACB-∠ACE=90°-65°=25°故答案为：25° 12.如图，中，，，，，，则=______2______．A B C D E 解析： 13.如图，是等边三角形，AD//BC,CDBC于C,交AD于D，若AD=10,则的 周长为____60___. 解析：首先，因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB = 60°，AB = BC = AC。 又因为AD∥BC，CD⊥BC，所以CD⊥AD，且∠ACD = 90° - 60° = 30°。 在Rt△ACD中，∠ACD = 30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，可得AC = 2AD。 已知AD = 10，所以AC = 2×10 = 20。 因为△ABC是等边三角形，其周长为3×边长，即3×20 = 60。答案：60 14.如图，OF平分,FC//OB交OA于C,FDOB,如果,FD=3,则OC的长 为____6_____. E 解析：过点F作FE⊥OA于点E， OF平分AOB,FD⊥OB,∠AOB=30°,F D=3, :FE=FD=3,∠ AOF=∠BOF, FC//OB, :.∠FCE=∠AOB=30°, ∠CFO=∠BOF,:.∠CFO=∠AOF,:OC=CF, 在Rt△FCE中，∠FCE=30°,FE=CF, ∴OC=CF=2FE=6 备注：直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半（大题不能直接用要去证明才能用） 15.如图，在中，AB=AC，ADBC于D，DEAB于E，AD=，AD=8，则 BE=___12__. 解析：∵AD=8则AB=AC=2AD=16，易知∠C=∠B= ∠ADE=30° ∴AE=AD=4，所以BE=16-4=12故答案为：12 16.如图，在中，,,CDAB于 D，则AD:BD的值为 1:3 解析：直角三角形性质应用设AD=x. 在Rt△ACD中，∠A=60，所以 ∠ACD=30°，则AC=2AD=2x. 在Rt△ABC中，∠A=60，所以∠B=30°, 则AB=2AC=4x. 因此BD=AB-AD=4x-x=3x.所以AD:BD=x:3x=1:3. 答案：1:3 17.如图，把一块含角的三角尺，绕顶点C顺时针旋转，使点A、B分别落在点、 处，联接，则___15______° 解析： 故答案是15° 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交AB于E、AC于D，BD、CE交于F，设∠A=y，∠DFC=x，则用x的代数式表示y=180-3x A B C D E 解析： ∵∠A=y, ∠DFC=x ∠A=∠ACE ∠A=∠ABD ∵ ∠CDB=∠A+∠ABD ∠CDB=2x ∠ACE=x ∵∠ACE+∠CDB+∠DFC=180° ∴2x+x+y=180°y=180-3x 19.已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F， 求证：CE=DF．E A B C D F 解AC⊥BC，AD⊥BD， 在和中， ≌ （） （全等三角形对应角相等），（全等三角形对应边相等） CE⊥AB，DF⊥AB 在和中 ， ≌ （） （全等三角形对应边相等） 20.如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE．A B C D E 解，． 在和中， ，≌ （） （全等三角形对应边相等） 在的垂直平分线上（垂直平分线逆定理） 又（已知），也在的垂直平分线上（垂直平分线逆定理） 垂直平分（两点确定一条直线），即CD⊥BE． 21.如图，已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD中点．求证：MN⊥BD． 解析： 联结MD,MB ∠ABC=∠ADC=90°,M是AC中点 ∴BMAC,DM=AC(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半) ∴BM=DM又∵N是BD中点 ∴MN⊥BD(等腰三角形三线合一). 22.如图，在中，CD是高，CE是中线，DGCE于G，2CD=AB. 求证：（1）G是CE的中点；（2） 证明： (1)连接DE，因为AD是ABC的高， 所以ABD是直角三角形。又因为CE是△ABC的中线， 所以E为AB的中点，AE=BE=AB. 所以DE为ABD的中线。 所以DE=AB。又因为2CD=AB, 所以CD=AB。所以 DE=CD. 所以△CDE为等腰三角形。 又因为DG⊥CE，所以G是CE的中点。 (2)因为CDE为等腰三角形，所以∠DEC=∠DCE. 又因为DE=AB,AE=BE=AB,所以 DE=BE。 所以△BDE为等腰三角形。所以∠B=∠EDB. 又因为∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE=2∠BCE，所以∠B=2∠BCE. 23.如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，D是边BC的中点，连接DF、EF、 （3） 求证：ED=DF； （4） 若△DEF是等边三角形，则△ABC应满足什么条件? A C B E F D 证明： ∵BE⊥AC于，CF⊥AB, ∴∠BEC=90,BFC=90，又D是BC的中点， ∵DF=BC,DE=BC, ∴DE=DF; (2)∵△DEF是等边三角形，∠FDE=60, ∠FDB+∠EDC=120°, DF=DB, ∴∠DBF=∠DFB, 同理，∠DEC=∠DCE, :∠DBF+∠DFB+∠DEC+∠DCE=360° -120°=240°, ∠ABC+∠ACB=120°, ∠A=60, 则△DEF是等边三角形时，△ABC的A=60°. （证明方法不唯一） 24.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E． （3） 若BC在DE的同侧（如图1），且AD=CE，求证：AB⊥AC． （4） 若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．图1 A B C D E 图2 A B C D E 解析：（1）证明：BD⊥DE，CE⊥DE ． 在和中， ， ≌ （）， ．， ， ， ， AB⊥AC ． （2）AB⊥AC． 同理可证： ≌ ，则可证， 即AB⊥AC． 25.如图1，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为 EC的中点． （1）求证：△BMD为等腰直角三角形； （2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）将△ADE绕点A逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 解析：（1）联结DM图1 A B C D E M A B C D E 图2 M N ∵，点M为EC的中点． ∴， ∵，点M为EC的中点． ∴，，∴ ∴ ∴△BMD为等腰直角三角形； （2） 延长DM与BC交于点N ∵， ∴，∴ ∵， ∴，∴， ∵，∴ ∵，∴ ∵，∴， ∴△BMD为等腰直角三角形； （3） 过C作CN∥ED交DM的延长线于N ∵CN∥ED，∴ ∵，， ∴，∴， ∵，∴ ∵，， ∴，∴， ∵，∴，即 ∵，∴，∴△BMD为等腰直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $