专题01 直角三角形 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题01直角三角形 压轴题 题型一：“HL”的综合应用 题型二：传统解答证明题 题型三：特殊三角形的分类讨论 题型四：根据已知数量关系求解 题型五：动点问题 题型六：平移问题 题型七：旋转问题 题型八：翻折问题 题型九：新定义题 题型十：勾股定理的证明 题型一：“HL”的综合应用 1．已知，． (1)将和按图①方式摆放，使经过点C，延长交线段于点F．试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将和按图②方式摆放，延交线段于点F．请直接写出之间的数量关系______． (3)将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点F．若，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的数量关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行解题． （1）由全等三角形的判定和性质，得到，，再证明，即可得到结论成立； （2）连接，与（1）的证明过程一样，即可得到答案； （3）连接，与（1）的证明过程一样，得到，即可得到答案． 【详解】（1）． 证明：如图，连接， ∵， ∴，． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴； （2）； 证明：如图，连接， 与（1）同理，可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）；解：如图，连接， 与（1）同理，则有， ∴； ，， 则． 故答案为：6． 2．已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析，②，证明见解析； (2)结论成立，证明见解析 (3)②的结论不成立，结论为：，证明见解析 【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明，证明，可得，从而可得结论； （2）证明，再证明，可得．证明，可得，从而可得结论； （3）证明，，可得，证明，可得．再证明，可得，结合，而，从而可得结论． 【详解】（1）证明：①∵平分，， ∴，． ②∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （2）∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （3）②的结论不成立，结论为：，理由如下： ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键． 题型二：传统解答证明题 3．已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，设与相交于点，由等腰直角三角形的性质可得，设，，则，，由可求得，进而可得，由直角三角形的性质即可求证； （）连接，由直角三角形的性质可得，进而可得，，，得到，，可得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 4．如图所示，已知：在中，，，是边上的中线，点是直线上任意一点，，交直线于点．点是中点，延长交直线于点． (1)若点在边上， ①证明：； ②证明：； (2)若，，直接写出边的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或 【分析】（1）①连接，推出，，，证即可； ②连接，根据直角三角形斜边上中线求出，推出，推出，推出即可； （2）求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）①证明：连接，，是边上的中线，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ； ②证明：连接， ，为的中点， ， ，为的中点， ， ， ． 又， ， ，， ， ， ； （2）如图，当在线段上时， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； 如图，当E在线段CA延长线时， ， 综合上述：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 5．已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵，， ； （2）解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键． 题型三：特殊三角形的分类讨论 6．如图所示，在中，，，，是的角平分线． (1)求的长； (2)若点在线段上，是直角三角形，求的长； (3)若点在射线上，是等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)当或时，是直角三角形； (3)的长为或或． 【分析】如下图所示，过点作，，根据是的角平分线，可知，根据可得，根据等腰直角三角形的性质可得； 是直角三角形，有两种情况，一种情况是时，另一种情况是，分情况求出线段的长度即可； 是等腰三角形，有三种情况，第一种情况是当点在线段上，；第二种情况是；第三种情况是当点在线段的延长线上时，． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作，， 是的角平分线， ，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 解得：， ∵，， ， 在中，； （2）解：如下图所示，当时， 是的角平分线， ， ； 如下图所示，当时，， 由可知， ， 在中，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，(舍去)， ， ， ， 综上所述，当或时，是直角三角形； （3）解：如下图所示，当点在线段上，时， 由可知， 则， ； 如下图所示，当点在线段上，时，过点作， 则有， 设，则， 在中，， ， 解得：，(舍去)， ， 则； 如下图所示，当点在线段的延长线上时，， 则． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据分类讨论的思想，分情况讨论． 7．已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 题型四：根据已知数量关系求解 8．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出，得到，再利用三角内角和可得到，求出，最后由，即可得到答案； （2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，从而推出，再由，推出，从而得到，得证； （3）①当在边上时，作于，由，推出，设，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接，先证明，同①，设，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：的垂直平分线经过点 又 又， （2）证明：如图1，取的中点，连接 又 （3）解：如图2，当在边上时，作于， 由（2）可知， 设， ， ， 在中， 在中， 解得：，即 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意， 又 设， ． 在中， 在中， 解得：，即 综上，的长为或． 故答案为：的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 9．在中，，，点D为边上一点，连结，过点C作于点F，交于点E，点G是线段上一点．    (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)如图2，连结交于点P，如果点P恰为的中点，求证：； (3)已知等腰直角三角形的腰长和底边长之比为，在（1）的基础上，连结、，当时，求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质易证，根据证明，进而可证； （2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，即可得出结论； （3）延长交于点P，连接，由题意易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一易得，，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，由，求出，由（1）知，得到，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：延长至，使，连接，   则， ∴， ∴，， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：延长交于点P，连接，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积为， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段__________，__________； ②猜想：，，三者之间的数量关系为__________； (2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点满足，求的值． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)的值为或 【分析】（1）①在中，利用勾股定理可求得，由可求得的长；②过作于点，则可求得，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可得到三者之间的数量关系； （2）过作于点，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可证得结论； （3）分点在线段上和线段的延长线上，分别利用得到和的关系，从而可得到和的关系，在和中，利用勾股定理可分别得到和的关系，从而可求得的值． 【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形，， ， ， ； ②， 证明：如图1，过作于点， ∵为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理可得， ， ∵为等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图 2，过作于点， ∵为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ∵为等腰直角三角形，且， ， ． （3）解：过点作于点， ， ∴点只能在线段上或在线段的延长线上， 如图3，当点在线段上时， ， ， 在 中，由勾股定理可得， 在 中，由勾股定理可得， ； 如图4，当点  P   在线段 的延长线上时， ， ， 在 中，由勾股定理可得， 在 中，由勾股定理可得， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，直角三角形的性质，并涉及分类讨论的思想．在（2）中注意分别用和表示出和是解题的关键，在（3）中确定出点的位置，再结合条件找到与的关系是解题的关键．本题涉及内容不多，但综合性很强． 题型五：动点问题 11．已知在中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点． (1)如图，当在线段上时． ①设，那么_____．（用含的代数式表示）． ②求证：； (2)设点到直线的距离为，当的面积为4时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据等边对等角可求出，根据余角的性质可得出，然后在中，根据三角形内角和定理求解即可； ②在上取点R，使，联结，根据证明，即可得证； （2）分P在线段上，在点的右侧，在点的左侧讨论，根据的面积为4列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）①解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②在上取点R，使，联结， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 由①知：， ∴， ∴； （2）解：当P在线段上，过P作于Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， 又的面积为4， ∴，即， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴在线段上，不存在点P，使的面积为4； 点P在点的右侧，过P作于Q，在的延长线上取点R，使，联结， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 点P在点的左侧，过P作于Q，在的延长线上取点R，使，联结， 同理可证， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当m的值为或时，的面积为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解一元二次方程，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造全等三角形是解题的关键． 12．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．    (1)如图①当　 　时，的面积等于； (2)如图①，当是等腰三角形时，则符合条件的P有　 　个，并求出t的值；（求出3个即可） (3)如图②，点D在边上，点E在边上，，在的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)3或10 (2)4个，的值为或或18或19 (3)，，， 【分析】（1）由题意知，，分当在上，点在上，两种情况求解：情况一、当在上时，则，计算求解即可；情况二、当点在上，，则，计算求解即可； （2）由是等腰三角形，可知分当，，，三种情况求解：情况1：当，且点在上时，，则，计算求解即可；当，且点在上时，，如图①，作于，则，由，求得，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可；情况2：当，则，计算求解即可；情况3：当时，如图②，过作于，则，，由，，可得，则，，根据，计算求解即可； （3）设点Q的运动速度为，，，勾股定理得，，由题意知，分，，两种情况求解：情况①：当且在上，在上时，，，则，，即，，计算求解即可；当且在上，在上时，，，则，，即，，计算求解即可；情况②：当且在上，在上时，，，则，，即，，计算求解即可；当且在上，在上时，，，则，，即，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，分当在上，点在上，两种情况求解： 情况一、当在上时， ∴， 解得，； 情况二、当点在上，， ∴， 解得，； 综上所述，的值为3或10， 故答案为：3或10； （2）解：∵是等腰三角形， ∴分当，，，三种情况求解： 情况1： 当，且点在上时，， ∴， 解得，； 当，且点在上时，， 如图①，作于，    ∴， ∵， ∴，解得， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得，； ∴当时，的值为或； 情况2： 当，则，解得，； 情况3： 当时，如图②，过作于，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，符合条件的P有4个，的值为或或18或19； （3）解：设点Q的运动速度为， ∵，，， ∴，， 由勾股定理得，， 由题意知，分，，两种情况求解： 情况①： 当且在上，在上时，，， ∴，，即，， 解得，， 当且在上，在上时，，， ∴，，即，， 解得，， ∴当时， 点Q的运动速度为或； 情况②： 当且在上，在上时，，， ∴，，即，， 解得，， 当且在上，在上时，，， ∴，，即，， 解得，， ∴当时， 点Q的运动速度为或； 综上所述，点Q的运动速度为或或或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用．解的关键在于分类讨论． 题型六：平移问题 13．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用相关性质解题即可． （1）因为，，所以，又因为，，，所以，连接，设，则可求证，故的长可求； （2）设，则，再分情况讨论∶为斜边；为斜边；为斜边，综合分析即可求得的长； （3）假设，因为，作的平分线，交于点P，则，所以，，则的值大于边长12，故不存在． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵中，，， ∴， 如图1，连接， 当时， ， ∴ ∴ ∴ ∴当时，． （2）设，在中， 当为斜边时， 由得， 解得：， 当为斜边时，由 得， 解得： ∵ ∴， ∴（不合题意舍去） 当为斜边时，由 得， ， 整理得出∶ ∵ ∴此方程无解， 综上所述：当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形． （3）不存在这样的位置，使得 理由如下∶ 假设（如上图2） ∵ 作的平分线，交于点P， 则，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴不存在这样的位置，使得． 【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，平行的性质等等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程． 题型七：旋转问题 14．等腰直角三角形中，，，点为中点，，垂足为，连接，点为线段中点，连接，，如图①．    (1)求证：； (2)将图①中的绕点逆时针旋转，连接，点为线段中点，连接，，，如图②． ①求证：，； ②若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； （2）①根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质可得是等腰直角三角形，如图所示，延长交于，连接，可证，，可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解；②根据上述证明，分别求出的值，如图所示，过点作于，根据勾股定理可求出的值，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． （2）解：①根据题意可知，在图①中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 如图所示，延长交于，连接，    由旋转知，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，； ②在中，， ∴，， 在图①中，点是的中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由①知，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴， 如图所示，过点作于，    ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形中斜边中线等于斜边一半等知识的综合运用，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 15．如图1，在等腰三角形中， ，点 D 是直线上一点，连接，将线段绕点A 顺时针旋转得到线段，连接，． (1)当，且点 D 在线段上时，线段与之间的数量关系是 ． (2)如图2，当，且点 D 在线段上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)当，，时，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）将线段绕点A 顺时针旋转得到线段，那么，，然后可证，推出，得到； （2）同理可证，那么，，得到，然后根据勾股定理即可得到结论； （3）由勾股定理求出，然后分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，当点在线段的延长线上时三种情况进行分类讨论． 【详解】（1）解：， 理由如下： 将线段绕点A 顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 由题意可知，，， ∴ ∴，． ∴． 在中， （3）解：∵，， ∴． ∴在中，由勾股定理，得 ①当点在线段上时， 由(2)，得在中，由勾股定理，得， ②当点在线段的延长线上时，如图． ∵， ∴． 又，， ∴． ∴，． 又， ． ∴在中， ， 即 ， ③当点在线段的延长线上时，，不满足条件． 综上所述， 的长为或 ． 题型八：翻折问题 16．如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点G，连接，，点E在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，，可得都得等腰直角三角形，由此可求出的值，由此即可求解； （2）如图2中，过点作交的延长线于点，根据直角三角形的性质可证，，由此将转换为，再证明是等腰直角三角形，由此即可求解； （3）根据含特殊角的直角三角形的性质可证是等边三角形，设，则，可求出，如图所示，连接，可得是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． （2）证明：如图2中，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （3）解：如图所示， ∵， ∴， 当时，， ∵将沿折叠，得到， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， 在中， ， 如图所示，连接，    ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含特殊角的直角三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，等腰三角形、等边三角形的判定和性质等知识的综合，掌握勾股定理，添加合适的辅助线，是解题的关键． 17．如图，在中，，点是边上的动点（不与点、重合），把沿过点的直线折叠，点的对应点是点，折痕为．    (1)若点恰好在边上． ①如图1，当时，连接，求证：． ②如图2，当，且，，求与的周长差． (2)如图3，点在边上运动时，若直线始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)定值，理由见解析 【分析】（1）①如图1中，连接，．交于．证明点是的中点，即可解决问题．②设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题． （2）如图3中，连接，证明，利用等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图1中，连接，．交于．   是由翻折得到， 垂直平分线段， ，， ， ，， ， ， ， ， ． ②如图2中，设，则 ， ，   ，， ， ， ， 解得， ， 的周长的周长． （2）解：如图3中，结论：定值． 理由：连接，   与关于直线对称， ， ， ， 定值． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，翻折变换，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握轴对称的性质． 题型九：新定义题 18．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 　 　（填“真”或“假”）命题． （2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数． （3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A． ①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由． ②请证明△ABC为“类勾股三角形”． 【答案】（1）假；（2）；（3）①两个等腰三角形的顶角的度数分别为和．②证明见解析部分． 【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出，再由勾股定理得，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形； （2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论； ②先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，假设是类勾股三角形， ， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 等腰直角三角形是类勾股三角形， 即：原命题是假命题， 故答案为：假； （2），， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （3）①在中，，， ， 根据三角形的内角和定理得，， 把这个三角形分成两个等腰三角形， Ⅰ、分割线分， （Ⅰ）、当时， ， ， ， 不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅱ）、当时， ， ， 是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅲ）、当时， ． 是等腰三角形， 图形如图2所示：两个等腰三角形的顶角的度数分别为和． Ⅱ、分割线分，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立； Ⅲ、分割线分，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立； ②如图，在边上取点，连接，使，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，“类勾股三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 19．新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻补四边形． (1)如图1，用分别含有和的直角三角形纸板拼出的4个四边形，其中邻补四边形的是______； (2)如图2，已知四边形是邻补四边形，，，，，求边的长； (3)如图3，已知在中，，，，点、分别在、上，连接，如果四边形是邻补四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2) (3)的长为或或 【分析】（1）根据邻补四边形的定义判断即可； （2）延长至点E，使，连接，根据邻补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，再过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）根据四边形是邻补四边形，，得出，分为①如图1：当时，②如图2：当时，③如图3：当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补， 图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻补四边形， 故答案为：②④； （2）解：延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得； （3）解：∵四边形是邻补四边形，， ， ①如图1：当时，连接， 则， ， ， ， 为等边三角形， ； ②如图2：当时， ，，， ， 过点N作， ， ，， ， ； ③如图3：当时，设， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， 综上：的长为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，分类讨论是解题的关键． 题型十：勾股定理的证明 20．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答； （2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）①证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简得． ②在图1中：，， 图2中大正方形的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴图2中大正方形的面积为29． （2）根据题意得：， 如图4： 即有：，，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： 下面推导正三角形的面积公式： 正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图， 在正中，有，， ∵， ∴，， ∴在中，有， ∴正的面积为：， ∴，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （3）关系：，理由如下： 以a为直径的半圆面积为：， 以b为直径的半圆面积为：， 以c为直径的半圆面积为：， 三角形的面积为：， ∴， 即：， 结合（1）的结论： ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 21．阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． (5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 【答案】(1)5：9 (2)28 (3)24 (4) (5)，见解析 【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可； （3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）∵，b＝2a， ∴c＝a， ∴小正方形面积：大正方形面积＝(a)2：(3a)2＝5：9， 故答案为：5：9； （2）根据题意可求， ∵空白部分的面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为=52-2××4×6＝28． 故答案为：28； （3）根据题意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3． 设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6-x． 在中，，即， 解得x＝1， ∴OA=4， ∴该风车状图案的面积=； （4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y＝， ∴S2＝x+4y＝． 故答案为：； （5）结论：． 由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01直角三角形 压轴题 题型一：“HL”的综合应用 题型二：传统解答证明题 题型三：特殊三角形的分类讨论 题型四：根据已知数量关系求解 题型五：动点问题 题型六：平移问题 题型七：旋转问题 题型八：翻折问题 题型九：新定义题 题型十：勾股定理的证明 题型一：“HL”的综合应用 1．已知，． (1)将和按图①方式摆放，使经过点C，延长交线段于点F．试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将和按图②方式摆放，延交线段于点F．请直接写出之间的数量关系______． (3)将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点F．若，，则______． 2．已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 题型二：传统解答证明题 3．已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 4．如图所示，已知：在中，，，是边上的中线，点是直线上任意一点，，交直线于点．点是中点，延长交直线于点． (1)若点在边上， ①证明：； ②证明：； (2)若，，直接写出边的长． 5．已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 题型三：特殊三角形的分类讨论 6．如图所示，在中，，，，是的角平分线． (1)求的长； (2)若点在线段上，是直角三角形，求的长； (3)若点在射线上，是等腰三角形，直接写出的长． 7．已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 题型四：根据已知数量关系求解 8．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 9．在中，，，点D为边上一点，连结，过点C作于点F，交于点E，点G是线段上一点．    (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)如图2，连结交于点P，如果点P恰为的中点，求证：； (3)已知等腰直角三角形的腰长和底边长之比为，在（1）的基础上，连结、，当时，求四边形的面积 10．已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段__________，__________； ②猜想：，，三者之间的数量关系为__________； (2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点满足，求的值． 题型五：动点问题 11．已知在中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点． (1)如图，当在线段上时． ①设，那么_____．（用含的代数式表示）． ②求证：； (2)设点到直线的距离为，当的面积为4时，请直接写出的值． 12．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．    (1)如图①当　 　时，的面积等于； (2)如图①，当是等腰三角形时，则符合条件的P有　 　个，并求出t的值；（求出3个即可） (3)如图②，点D在边上，点E在边上，，在的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 题型六：平移问题 13．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 题型七：旋转问题 14．等腰直角三角形中，，，点为中点，，垂足为，连接，点为线段中点，连接，，如图①．    (1)求证：； (2)将图①中的绕点逆时针旋转，连接，点为线段中点，连接，，，如图②． ①求证：，； ②若，求的面积． 15．如图1，在等腰三角形中， ，点 D 是直线上一点，连接，将线段绕点A 顺时针旋转得到线段，连接，． (1)当，且点 D 在线段上时，线段与之间的数量关系是 ． (2)如图2，当，且点 D 在线段上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)当，，时，求的长． 题型八：翻折问题 16．如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点G，连接，，点E在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 17．如图，在中，，点是边上的动点（不与点、重合），把沿过点的直线折叠，点的对应点是点，折痕为．    (1)若点恰好在边上． ①如图1，当时，连接，求证：． ②如图2，当，且，，求与的周长差． (2)如图3，点在边上运动时，若直线始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由． 题型九：新定义题 18．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 　 　（填“真”或“假”）命题． （2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数． （3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A． ①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由． ②请证明△ABC为“类勾股三角形”． 19．新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻补四边形． (1)如图1，用分别含有和的直角三角形纸板拼出的4个四边形，其中邻补四边形的是______； (2)如图2，已知四边形是邻补四边形，，，，，求边的长； (3)如图3，已知在中，，，，点、分别在、上，连接，如果四边形是邻补四边形，请直接写出的长． 题型十：勾股定理的证明 20．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 21．阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． (5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $