第六章 几何图形初步（ 全章复习）（知识回顾+4重难点题型+好题必刷）讲义-2025-2026学年人教版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

该初中数学讲义以“几何图形初步”为单元，通过知识清单系统梳理立体图形、线段、角等核心内容。采用分类描述（如正方体11种展开图）、性质归纳（两点确定一条直线等）呈现知识脉络，突出空间观念与几何直观，构建重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型方法+分层练习”设计，如立体图形展开与折叠例题配变式题，角平分线计算培养推理意识。好题必刷含选择、填空、解答题，支持分层教学，助力学生自主复习，教师精准提升学生运算能力与空间观念。

第六章 几何图形初步 题型梳理 题型方法 题型一 立体图形的认识 题型二 几何图形的展开与折叠 题型三 线段及计算 题型四 角的相关概念和计算 知识清单 知识点01柱、锥、球 立体图形：有些几何图形（圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等）各部分不在一个平面内，这样的图形叫立体图形。棱柱、棱锥是常见的立体图形。生活中常见的物体都是立体图形. 知识点02从正面、左面、上面看立体图形 能力要求： ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 注意： ①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线； ②圆锥从上面看不要丢了圆心点. 知识点03正方体的表面展开图 正方形展开图的知识要点： 1. 正方体的表面展开图一共有11种可能。 第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型” 第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型” 第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型” 第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型” 注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图： 2. 正方体展开图找相对面的方法： （1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面； （2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面； （3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。 知识点04其他立体图形的展开图 常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 知识点05点、线、面、体之间的转化 1. 几何体是由点、线 、面构成的. 2. 线分为直线和曲线，面分为平面和曲面. 3. 点、线、面之间的关系： 点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 知识点06直线、射线、线段的联系与区别 注意：表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置. 知识点07计数问题 1. 平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：． 2. 若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为. 用到类似知识点问题：单循环比赛场数问题、双循环比赛场数问题、握手次数问题、多边形对角线条数问题、车站设计票价问题等. 知识点08基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点归纳： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 知识点09画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 知识点10线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点归纳： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点11角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. （2）. 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． (3)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点归纳： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （4）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点归纳： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （5）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （6）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 知识点12角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 知识点13角的互余互补关系 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点归纳： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 知识点14钟面角 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°. 技巧：钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题. 知识点15方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点归纳： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 题型方法 【题型一】立体图形的认识 【例1】（25-26七年级上·四川·期中）下列立体图形是棱柱的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了认识几何体，能识别常见的柱体、锥体、球体是解题的关键．根据棱柱的定义判断即可． 【详解】解：A．是球体，故不符合题意； B．是圆柱，故不符合题意； C．是圆锥，故不符合题意； D．是四棱柱，故符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）下列图形属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是立体图形的认识，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥是解题的关键． 根据棱柱的概念、结合图形解得即可． 【详解】解：第一、二、六个几何体是棱柱，共3个， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 【变式3】（21-22七年级上·江西抚州·阶段练习）把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 【答案】A 【分析】把每一层的面积求出，相加即可得出答案． 【详解】棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米， 最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米， 总面积为（平方分米）， 中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， 最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， （平方分米）， 被涂上颜色的部分面积为33平方分米． 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的表面积，分别把每层的面积求出来是解题的关键． 【题型二】几何图形的展开与折叠 【例2】（25-26七年级上·四川·期中）一个小立方块的六个面分别标有“我”“是”“嘉”“祥”“学”“生”文字，从三个不同方向看到的情形如图所示，则“我”与“是”字的对面文字分别是（　 ） A．“嘉”“生” B．“祥”“嘉” C．“嘉”“祥” D．“是”“祥” 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．根据与“我”相邻的面的有“是”“祥”“学”“生”，判断出“我”的对面文字是“嘉”； 与“是”相邻的面的有“我”“嘉”“学”“生”，判断出“是”的对面文字是“祥”． 【详解】解：由图可知，∵与“我”相邻的面的有“是”“祥”“学”“生”， ∴“我”的对面文字是“嘉”； ∵与“是”相邻的面的有“我”“嘉”“学”“生”， ∴“是”的对面文字是“祥”， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列图形折叠成立体图形后不是所有面都是平的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的认识，先根据每个选项的展开图得出对应的几何体，再结合几何体的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：A、观察展开图，得出该立体图形是长方体，所有面都是平，故该选项不符合题意； B、观察展开图，得出该立体图形是三棱柱，所有面都是平，故该选项不符合题意； C、观察展开图，得出该立体图形是圆柱，不是所有面都是平，故该选项符合题意； D、观察展开图，得出该立体图形是四棱柱，所有面都是平，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，1 (2)该几何体的侧面积为，体积为 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为； 故答案为：圆柱；1； （2）解：该几何体的侧面积； 几何体的体积． 【题型三】线段及计算 【例3】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 【详解】解：①∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）交通部门把A，B两地之间的一段弯曲的公路改成直道后，缩短了A，B两地之间的路程，这是因为 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，掌握两点之间所有连线中线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】解：两点之间所有连线中，线段最短．弯曲的公路是曲线，其长度大于连接两点的直线段长度，因此改成直道后路程缩短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式2】（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，已知三点在同一直线上，，点是的中点，点是的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差和线段中点的定义，正确求出的长是关键； 先根据线段的和差求出，再根据线段中点的定义求出，进而求解． 【详解】解：因为三点在同一直线上，， 所以， 所以， 因为点是的中点，点是的中点， 所以， 所以． 【变式3】（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，、、三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置； (2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)= (3)15 【分析】此题考查线段作图，线段的定义，线段的和差关系， （1）根据线段定义作图即可； （2）利用，等式两边都加上，即可得到； （3）设，则，根据求出x，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，以长为半径画弧，交线段的延长线于点 （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：设，则 因为 所以 解得 所以， ． 【题型四】角的相关概念和计算 【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：∵图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，O是直线上一点，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差． （1）根据角平分线的定义得到，从而，； （2）同（1）思路即可求解． 【详解】（1）解：∵O是直线上一点， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵O是直线上一点， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 好题必刷 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西晋中·期中）下列物体可以近似的看成长方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的几何体，掌握常见的几何体的概念是解题的关键． 先分别确定各选项的几何体的形状即可解答． 【详解】解：A． 该物体可以近似的看成六棱柱，故不符合题意； B． 该物体可以近似的看成圆柱，故不符合题意； C． 该物体可以近似的看成球体，故不符合题意； D． 该物体可以近似的看成长方体，故符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的表面展开后，侧面是三个长方形，上、下底面各是一个三角形即可判断求解，熟悉常见几何体的展开图是解题的关键． 【详解】解：将三棱柱的表面展开后，侧面是三个长方形，上、下底面各是一个三角形，由选项可知，只有是三棱柱的表面展开图， 故选：． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，C，B是线段上的两点，若，，那么与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差运算是解题关键．先求出，再根据和求解即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一副含及的三角板拼成如图所示的图案，点B、C、D在同一直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度的和差计算，平角的意义，解题的关键是熟练掌握三角板中的角度信息．根据平角得到，再由，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1到6六个数字，从三个不同的方向看到的情形如下左图所示，下右图为这个正方体的展开图，则图中的x表示的数字是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，根据题意，与1相邻的面的数字有：2，5，4，6，判断出1的对面数字是3，与4相邻的面的数字有：2，3，1，6，判断出4的对面数字是5，从而确定出2的对面数字是6，再根据展开图可得6的对面是，即可得出答案，根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，∵与1相邻的面的数字有：2，5，4，6， ∴1的对面数字是3， ∵与4相邻的面的数字有：2，3，1，6， ∴4的对面数字是5， ∴2的对面数字是6， 从展开图，可以知道6的对面是，那么， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 【答案】> 【分析】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小。 【详解】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 7．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，点在线段上，点是线段的中点．若，，则的长是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查线段中点和差关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据题意得，结合即可求得． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 8．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【答案】3 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 9．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角板中的角的和差计算． 根据三角板得到，由角平分线得到，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键． 由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵与互为余角， ， ∵， ， ， ∵平分， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）（1）如图，已知三点． ①画直线；②画射线；③画线段． （2）画，反向延长到，画射线使平分． 【答案】（1）①见详解②见详解③见详解（2）见详解 【分析】本题考查了用量角器画角，角平分线有关的计算，画线段，射线，直线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据直线的定义进行作图即可； ②根据射线的定义进行作图即可； ③根据线段的定义进行作图即可； （2）画射线，以为顶点，为一边，用量角器量出角，画出射线，得到，则；以为顶点，为一边，用量角器量出角，画出射线，得到；即为的平分线． 【详解】解：（1）①直线如图所示： ②射线如图所示： ③线段如图所示： （2），射线如图所示． 12．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请计算出修正后所折叠而成的长方体的体积是多少？ 【答案】(1)存在问题，多了一块，涂色见解析 (2) 【分析】本题主要考查了长方体展开图的识别，长方体的体积计算，熟知长方体的展开图是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征求解即可； （2）根据长方体的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵长方体一共有6个面， ∴长方体的展开图中正方形和长方形的个数之和为6（单独的长方形和正方形）， ∴图中多了一个正方形， 涂色如下所示： （2）解：由题意得，修正后的长方体的长为，宽为，高为， ∴该长方体的体积为． 13．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，点C在线段上，D，E分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变的前提下，若C为线段上任意一点（不与点A，B重合），且满足，请直接写出线段的长（结果中可以含有字母m）； (3)若点C在线段的延长线上（不与点B重合），且满足，点D，E分别是的中点，猜想线段的长（结果中可以含有字母n），并说明理由． 【答案】(1)13 (2)；理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差等知识点，能熟练利用线段的中点及线段的和差进行求解是解题的关键． （1）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可； （2）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可； （3）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可． 【详解】（1）解：∵D，E分别是的中点， ，， ． （2）解：；理由如下： ∵D，E分别是的中点， ∴、， ． （3）解：，理由如下： 如图：∵D，E分别是的中点， ∴、， ． 14．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算． ()根据角的和差关系进行计算即可； ()角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可， ()由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵恰好平分 ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 题型梳理 题型方法 题型一 立体图形的认识 题型二 几何图形的展开与折叠 题型三 线段及计算 题型四 角的相关概念和计算 知识清单 知识点01柱、锥、球 立体图形：有些几何图形（圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等）各部分不在一个平面内，这样的图形叫立体图形。棱柱、棱锥是常见的立体图形。生活中常见的物体都是立体图形. 知识点02从正面、左面、上面看立体图形 能力要求： ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 注意： ①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线； ②圆锥从上面看不要丢了圆心点. 知识点03正方体的表面展开图 正方形展开图的知识要点： 1. 正方体的表面展开图一共有11种可能。 第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型” 第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型” 第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型” 第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型” 注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图： 2. 正方体展开图找相对面的方法： （1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面； （2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面； （3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。 知识点04其他立体图形的展开图 常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 知识点05点、线、面、体之间的转化 1. 几何体是由点、线 、面构成的. 2. 线分为直线和曲线，面分为平面和曲面. 3. 点、线、面之间的关系： 点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 知识点06直线、射线、线段的联系与区别 注意：表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置. 知识点07计数问题 1. 平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：． 2. 若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为. 用到类似知识点问题：单循环比赛场数问题、双循环比赛场数问题、握手次数问题、多边形对角线条数问题、车站设计票价问题等. 知识点08基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点归纳： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 知识点09画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 知识点10线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点归纳： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点11角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. （2）. 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． (3)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点归纳： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （4）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点归纳： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （5）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （6）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 知识点12角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 知识点13角的互余互补关系 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点归纳： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 知识点14钟面角 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°. 技巧：钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题. 知识点15方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点归纳： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 题型方法 【题型一】立体图形的认识 【例1】（25-26七年级上·四川·期中）下列立体图形是棱柱的是（ 　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）下列图形属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（21-22七年级上·江西抚州·阶段练习）把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 【题型二】几何图形的展开与折叠 【例2】（25-26七年级上·四川·期中）一个小立方块的六个面分别标有“我”“是”“嘉”“祥”“学”“生”文字，从三个不同方向看到的情形如图所示，则“我”与“是”字的对面文字分别是（　 ） A．“嘉”“生” B．“祥”“嘉” C．“嘉”“祥” D．“是”“祥” 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列图形折叠成立体图形后不是所有面都是平的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【题型三】线段及计算 【例3】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）交通部门把A，B两地之间的一段弯曲的公路改成直道后，缩短了A，B两地之间的路程，这是因为 ． 【变式2】（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，已知三点在同一直线上，，点是的中点，点是的中点，求的长． 【变式3】（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，、、三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置； (2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 【题型四】角的相关概念和计算 【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，O是直线上一点，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西晋中·期中）下列物体可以近似的看成长方体的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，C，B是线段上的两点，若，，那么与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一副含及的三角板拼成如图所示的图案，点B、C、D在同一直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1到6六个数字，从三个不同的方向看到的情形如下左图所示，下右图为这个正方体的展开图，则图中的x表示的数字是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 7．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，点在线段上，点是线段的中点．若，，则的长是 ． 8．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 9．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）（1）如图，已知三点． ①画直线；②画射线；③画线段． （2）画，反向延长到，画射线使平分． 12．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请计算出修正后所折叠而成的长方体的体积是多少？ 13．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，点C在线段上，D，E分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变的前提下，若C为线段上任意一点（不与点A，B重合），且满足，请直接写出线段的长（结果中可以含有字母m）； (3)若点C在线段的延长线上（不与点B重合），且满足，点D，E分别是的中点，猜想线段的长（结果中可以含有字母n），并说明理由． 14．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $