安徽省安庆市第二中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

2025-2026学年安徽省安庆二中高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间两点，，向量满足，则实数m的值为(    ) A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在 【答案】A  【解析】解：因为，， 则， 又因为向量，满足， 所以， 解得 故选： 根据空间向量平行的坐标关系即可求解． 本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题． 2.经过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意将化为，可得圆心坐标为：， 直线的斜率为， 所以经过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为： ， 即 故选： 确定圆心坐标，由垂直关系确定斜率，再由点斜式方程即可求解． 本题考查了圆与圆的位置关系，是中档题． 3.如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题． 由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案． 【解答】 解：由题意 又，， 故选 4.若圆：与圆：有唯一公切线，则m的值为(    ) A. 或25 B. C. 25 D. 以上均不对 【答案】B  【解析】解：圆：，圆：， 两圆有唯一公切线，则两圆内切，即，解得 故选： 根据已知条件确定两圆内切，计算得到m的值． 本题主要考查圆与圆的位置关系，属于中档题． 5.已知离心率为的椭圆C的方程为，则(    ) A. 2 B. C. D. 3 【答案】C  【解析】解：由题意可知，即， 所以，所以 故选： 由离心率公式先得，从而解决问题． 本题考查椭圆的几何性质，属基础题． 6.已知点，若直线l：与线段AB相交，则k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意得：点，若直线l：与线段AB相交， 则， ， 故选 由题意知，将点的坐标代入直线的方程中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得k的取值范围． 本小题主要考查二元一次不等式组与平面区域、点与直线的位置关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7.已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆O的半径为2，点，A分别上、下底面圆周上，且，，则与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设圆台经过点的母线为，以、、为正交基底，建立空间直角坐标系， 则，，可得，， ， ，，即与所成角的余弦值 故选： 建立如图所示空间直角坐标系，求出、的坐标，运用空间向量的夹角公式加以计算，可得异面直线与所成角的余弦值． 本题主要考查圆台的结构特征、空间向量的夹角公式、运用空间坐标系求异面直线的所成角等知识，属于中档题． 8.已知P为椭圆的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足，，则椭圆离心率的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：P为椭圆的左顶点，可知，又知OPMN为平行四边形，则M、N关于y轴对称， 设，不妨设，将N点坐标代入椭圆方程可得， ，设为直线ON的倾斜角，则， ，， 椭圆离心率的取值范围为 故选： 根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线ON的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，离心率的求法，是中档题． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的有(    ) A. 已知向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. O，A，B，C为空间不共面的四点，若；若A，B，C，M四点共面，则 D. 已知空间中三点，，，则以AB，AC，为邻边的平行四边形的面积为 【答案】BC  【解析】解：对于A，由、的夹角为钝角，所以，且与不共线，由，解得， 由与共线，得，即，解得，所以t的取值范围是且，选项A错误； 对于B，由是空间一组基底，所以、、不共面，由， 设、、共面，则存在x、y，使，即，这与、、不共面矛盾， 所以、、不共面，即也是空间的一组基底，选项B正确； 对于C，因为A，B，C，M四点共面，所以，且， 由，得， 所以，解得，选项C正确； 对于D，因为，，， ，，， 所以， 所以平行四边形的面积为，选项D错误． 故选： 选项A，根据两向量夹角为钝角时，数量积小于0，且不共线，求解即可；选项B，由空间向量基底的定义，判断即可；选项C，根据四点共面的条件，判断即可；选项D，根据空间向量的数量积，求出模长与夹角，再计算平行四边形的面积． 本题考查了空间向量的综合应用，是中档题． 10.以下四个命题表述正确的是(    ) A. 直线恒过定点 B. 过两点的直线方程为 C. 已知直线l过点且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为 D. 若曲线与有两个交点，则实数m的取值范围是 【答案】AD  【解析】解：A：将直线化为，则， 可得，即直线过定点，A对； B：应用两点式直线方程， 注意前提是已知两点的横纵坐标均不相等，B错； C：显然截距为0时，直线l为，C错； D：由是圆的上半部分，如下图示， 若与半圆左上部相切时，且，可得， 若过点时，直线与圆有2个交点，则，可得， 如下图示， 当时，直线与恒有2个交点，D对． 故选： A将直线化为即可求定点，B注意两点式的使用前提，C注意截距为0的情况，D利用直线与圆的位置关系求出临界情况的参数值，再数形结合判断． 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 11.如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形包括边界底面内的一动点，则下列结论正确的有(    ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点在正方形ABCD内的运动轨迹长度为 D. 若点P为AD的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD  【解析】解：对于A：在正方体中，平面平面， 则点P到平面距离为定值，的面积为定值，为定值，A正确； 对于B：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设，，， 不垂直，因此不存在点P，使，B错误； 对于C：连接DB，侧棱平面ABCD，平面ABCD，则，而， 又，则平面，又平面，则 同理得，又，则平面， 由，得平面，又平面ABCD， 因此点P轨迹为平面与底面ABCD交线，即为线段AC，又，C正确； 对于D：取AB中点为，连接，，平面ABCD， 由平行于DB，平面ABCD，得，，又，则平面， 又取中点为，则，有P，，Q，四点共面，则平面平面 平面即为平面，设平面分别与，交于R，， 由平面平面，平面，平面， 则，又P，Q，都是中点，则是中点，同理R是中点， 于是平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则， 所以截面的面积等于6个边长为的全等的等边三角形组成， 所以截面面积为，D正确． 故选： 利用等体积法判断A； 建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积判断B； 确定轨迹并求出长度判断C； 作出符合要求的正方体的截面并求出面积判断 此题考查棱锥的体积，空间向量证明线线垂直，正方体截面面积，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.向量在向量上的投影向量的模为        . 【答案】  【解析】解：因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的模为 故答案为： 由投影向量的模的计算公式计算即可． 本题考查投影向量的求解，空间向量的坐标运算，属于基础题． 13.已知直线与直线平行，则两直线间的距离为        . 【答案】  【解析】解：直线与直线平行， 可得，解得舍去此时两条直线重合或 直线与直线化为：与，  则两直线间的距离为 故答案为： 利用平行线的关系求解a，然后求解距离即可． 本题考查平行线之间的距离的求法，是基础题． 14.椭圆的焦点分别为，，P为椭圆上动点， ①椭圆离心率为； ②若，则的最大值为5； ③的取值范围为； ④作直线l与椭圆相交于A，B两点，AB中点为，则 其中正确命题的序号是        写出所有正确命题的序号 【答案】②③④  【解析】解：设椭圆的半焦距为c，则由题意有且焦点在y轴上， 则，所以，故椭圆标准方程为， 所以，且，故①错； 由椭圆定义可得，所以， 因为，所以点H在椭圆内，所以， 而，所以，当且仅当P，，H共线且在P，H之间时取等号， 所以的最大值为5，故②对； 因为， 且，所以，故③对； 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消去y得，即， ， 设，，所以， 而H为AB的中点，则，所以，经验证满足，故④对． 故答案为：②③④． 根据已知得求离心率判断①，再由椭圆的定义及，数形结合判断②，由且求范围判断③，设，，显然直线l的斜率存在，l：，联立椭圆并应用韦达定理求参数判断④． 本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 根据下列条件分别写出直线方程或圆的方程. 求与直线l：的距离为的直线的方程； 已知圆C经过，，三点，求圆C的方程. 【答案】或    【解析】解：设所求直线的方程为， 由题意，得，解得或， 所以所求直线的方程为或 设圆C的方程为， 将三点，，分别代入得：， 解得，， 所以圆C的方程为： 设所求直线的方程为，根据平行直线间的距离公式列出方程求解即可； 设出圆C的方程，将给定三点坐标代入列出方程组求解即得． 本题主要考查直线方程和圆的方程求解，考查计算能力，属于中档题． 16.本小题15分 已知长方体中，，，E，F分别为，的中点，G在线段上，且 求证：平面EBF； 求直线BF与平面EBG所成的角的正弦值. 【答案】证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设是平面EBF的法向量， 则， 令，则，， 所以是平面EBF的一个法向量， 易知，所以也是平面EBF的一个法向量， 所以平面EBF    【解析】解：证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设是平面EBF的法向量， 则， 令，则，， 所以是平面EBF的一个法向量， 易知，所以也是平面EBF的一个法向量， 所以平面 同上建立的空间直角坐标系， 所以，， 设平面EBG的一个法向量为， 所以， 令，则，， 所以是平面EBG的一个法向量， 设直线BF与平面EBG所成的角为， 由， 则， 所以直线BF与平面EBG所成的角的正弦值为 建立空间直角坐标系，求出平面EBF的法向量，利用空间向量证明线面垂直即可； 求出直线和平面的方向向量和法向量，利用向量法计算线面角即可． 本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 17.本小题15分 已知圆O：的圆心O与圆C：的圆心C关于直线对称. 求圆C的标准方程； 若直线l：交圆O于A，B两点，点，证明：当k不断变化时，y轴始终平分 【答案】  设，，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 则， 所以当k不断变化时，y轴始终平分  【解析】解：由圆O：，可得圆O的圆心为，半径为， 又圆C：，可得圆心为，半径为， 因为圆心O与圆心C关于直线对称，得， 解得，，所以圆C的标准方程为； 证明：设，，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 则， 所以当k不断变化时，y轴始终平分 根据题意，分别求得圆O和圆C的圆心坐标和半径，结合圆心O与圆心C关于直线对称，列出方程组，求得a，b的值，即可求解； 联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证． 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 18.本小题17分 已知M，N分别为椭圆的左，右顶点，F为其右焦点，，且点在椭圆E上. 求椭圆E的标准方程； 若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：为定值. 【答案】解：由，可得，解得， 又，所以， 因为点在椭圆E上，所以， 解得，，，所以椭圆E的标准方程为 证明：当l与x轴重合时，，所以， 当l不与x轴重合时，设，，直线l的方程为， 由整理得， 则， 故 圆心O到直线l的距离为，则， 所以，即为定值．  【解析】由以及即可求解a，b，c的值， 联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解． 本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程的求解，直线与双曲线的位置关系，化归转化思想，属中档题． 19.本小题17分 如图甲，在梯形ABCD中，，，，E是CD的中点，将沿AE折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且 求证：平面平面ABCE； 求点E到平面PBC的距离； 设AE的中点为O，在平面POC内取点Q，使得直线平面PBC，问点Q是否在内？ 【答案】取AE的中点O，连结OP，OC， ，， 在中，，， 在中，， 在中，，，， ，由勾股定理的逆定理得， ，AE，平面ABCE， 平面ABCE， 又平面PAE，平面平面     Q点不在内  【解析】证明：取AE的中点O，连结OP，OC， ，， 在中，，， 在中，， 在中，，，， ，由勾股定理的逆定理得， ，AE，平面ABCE， 平面ABCE， 又平面PAE，平面平面 连结OB，BE，， ，， 且， 由可知平面ABCE， ，平面ABCE， ，，，OA，OB两两垂直， 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面PBC的法向量为， 则，取，得， 点E到平面PBC的距离为： 设，由Q在平面POC内可知， 即， ，即，， 平面PBC，是平面PBC的一个法向量，， 即，解得， ， ，点不在内． 取AE的中点O，通过证明和，证得平面ABCE，可证平面平面ABCE； 以O点为原点建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离； 设，由Q在平面POC内可知，再由平面PBC，求出Q点坐标，判断结论即可． 本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年安徽省安庆二中高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间两点，，向量满足，则实数m的值为(    ) A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在 2.经过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为(    ) A. B. C. D. 3.如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则(    ) A. B. C. D. 4.若圆：与圆：有唯一公切线，则m的值为(    ) A. 或25 B. C. 25 D. 以上均不对 5.已知离心率为的椭圆C的方程为，则(    ) A. 2 B. C. D. 3 6.已知点，若直线l：与线段AB相交，则k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆O的半径为2，点，A分别上、下底面圆周上，且，，则与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 8.已知P为椭圆的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足，，则椭圆离心率的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的有(    ) A. 已知向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. O，A，B，C为空间不共面的四点，若；若A，B，C，M四点共面，则 D. 已知空间中三点，，，则以AB，AC，为邻边的平行四边形的面积为 10.以下四个命题表述正确的是(    ) A. 直线恒过定点 B. 过两点的直线方程为 C. 已知直线l过点且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为 D. 若曲线与有两个交点，则实数m的取值范围是 11.如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形包括边界底面内的一动点，则下列结论正确的有(    ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点在正方形ABCD内的运动轨迹长度为 D. 若点P为AD的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.向量在向量上的投影向量的模为        . 13.已知直线与直线平行，则两直线间的距离为        . 14.椭圆的焦点分别为，，P为椭圆上动点， ①椭圆离心率为； ②若，则的最大值为5； ③的取值范围为； ④作直线l与椭圆相交于A，B两点，AB中点为，则 其中正确命题的序号是        写出所有正确命题的序号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 根据下列条件分别写出直线方程或圆的方程. 求与直线l：的距离为的直线的方程； 已知圆C经过，，三点，求圆C的方程. 16.本小题15分 已知长方体中，，，E，F分别为，的中点，G在线段上，且 求证：平面EBF； 求直线BF与平面EBG所成的角的正弦值. 17.本小题15分 已知圆O：的圆心O与圆C：的圆心C关于直线对称. 求圆C的标准方程； 若直线l：交圆O于A，B两点，点，证明：当k不断变化时，y轴始终平分 18.本小题17分 已知M，N分别为椭圆的左，右顶点，F为其右焦点，，且点在椭圆E上. 求椭圆E的标准方程； 若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：为定值. 19.本小题17分 如图甲，在梯形ABCD中，，，，E是CD的中点，将沿AE折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且 求证：平面平面ABCE； 求点E到平面PBC的距离； 设AE的中点为O，在平面POC内取点Q，使得直线平面PBC，问点Q是否在内？ 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $