精品解析：云南省曲靖市曲靖一中沾益清源高级中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

6学科网列组卷网 曲靖一中沾益清源高级中学第三次月考 数学试卷 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求) 1.已知集合0={x是小于啪正整数}，A=红，3,5，则G,A中元素个数为《) A.0 B.3 C.5 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出 【详解】因 为0=123,45,6,7,8，所以A=2,46,7,8},G4中的元素个数为5， 故选：C 2x+321 2.不等式x-1的解集为() B.{xx≥4 c.{xx≤-4} D.{xx>1或x≤4} 【答案】D 【解析】 【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解 (x+4)(x-1)≥0 2+3≥1，则2+8-1204≥0，价于10 【详解】x-1 x-1 x-11 ,解得x>1或x≤4： 故选：D 3.已知a=lo8:3,h=log,4,c=0.32,则4.b,c的大小关系为() 第1页/共21页 命学科网命组卷网 b>c>a B.c>a>b c.e>b>a D.b>a>c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数，对数函数的单调性得出a<0,b>l,0<c<1,由此得出选项 【详解1由盟意，得a=log:3<1og21=0,h=6g,4>oe,3=1,0<c=0.32<0.3”-1,所以 b>c>a 故选：A. 【点睛】方法点睛：比较指数式、对数式、幂的大小的常用方法为：(1)化为同底数、同指数或同真数 的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，(2)借助于中间值0和1进行比较 4.如图，由边长为I的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C,D, 则cos∠ADC的值为() B D 2V13 3W13 2 5 A.13 B.13 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】由格点构造直角三角形，由圆周角定理以及直角三角形的边角关系可得答案. 【详解】连接AC和BC,如图所示： 第2页/共21页 6学科网6组卷网 B ,AB为直径，.∠ACB=90° 又有点A,B,C,D都在圆上，所以∠ADC=∠ABC, 在RIAABC中，cos∠ABC-BC=3-3g ΓABV32+2213, 则cos∠ADC=3V13 13, 故选：B, 5.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风 风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速 对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员 在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位： s),则该时刻的真风为() 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 3 轻风 1.63.3 3 微风 3.45.4 4 和风 5.57.9 劲风 8.010.7 第3页/共21页 6学科网命组卷网 3视风凤速 船速 2 3 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量， 得出真风风速的大小，即可由图得出结论 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：n=(0,2)-(3,3)=(-3,-1) 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为？，船行风速对应的向量为乃， :n=%+%,船行风速：元=-[【3,3)-(2,0]=(-1，-3) n=n-%=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2) =V-2}+2=22≈2.828， ·由表得，真风风速为轻风， 故选：A 6.已知{a}是公差不为季的等差数列，4=-2，若4,0,4成等比数列，则40=(） -20 A. B18 C.16 D.18 【答案】C 【解析】 第4页/共21页 6学科网6组卷网 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解 【详解】设等差数列a}的公差为d4,(d≠0) 因为，0,4成等比数列，且4=-2 所以d=aa,即(-2+3d°=(-2+2-2+5d）,解得d=2或d=0(合去)， 所以40=4+9d=-2+9x2=16 故选：C 7函数/)-e+小eosr e*-1 的部分图象大致为() 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，特殊值，奇偶性，即可判断选项， 【详解1f)=(e+小eosx e-1一的定义域为(-o,0)U(0,+oo),排除D; 因为(2)<0，所以排除C: 因为/八)©川eo（用=山心x因.出足奇通数：图象关原点对珍推 e*-1 B. 第5页/共21页 6学科网6组卷网 故选：A in(man(() 8.已知 > 1 7 A.9 B.9 c.9 D.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 sin(+B) 再利用二倍角的余弦公式计算作答 1 cosasin B= 【详解】因为 sin(aB)=sin a cos B-cosasin sina cosB-1 6,因此 , sin(a+=sin a cos +cos a sin B 所uo2a+20=cos2a+川=1-2sina+月=1-2xr=g .2 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系。 解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数， (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角 相同或具有某种关系， (3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含己知角的式子表示，由所得 的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.） 9.己知i为虚数单位，则下列结论正确的是() 第6页/共21页 6学科网命组卷网 A若复数清足，则宁=分 B.若2-(2+)>0 则2>2+i C.若复数，2，满足212=0，则名=0或2=0 D.若复数2满足，12112-2i训」 ,则 最大值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的概念、几何意义、运算法则一一判定选项即可 【详解】对于A,显然若=1+i,2=1+i,则==V2 但子=21号=-21，故A错误 对于B举例2=3+1，则满足2-2+①>0 ,但是复数不能直接比较大小，即2>2+i不成立，故B错 误： 对于C,由3=0，得=0，即3=0，因此=0或3=0，名=0或3=0，C正确： 对于D,设2=x+万ⅵ 则x2+y2-1h∴y∈[-1，，k-2=V2+(y-2}=V1-y2+(y-2}=5-4y∈[1,3]，则刚z-2i训最 大值为3，故D正确， 故选：CD 10,己知向量a=(2,1）,6=(（,),则() 1 x= A.当a/6时，x=2 B.当la+2b=5时，x=1 第7页/共21页 6学科网列组卷网 36 C.当x=1时，ā在b方向上的投影向量 D.当ā与b夹角为锐角时.x>-2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标公式判断A；由向量模的坐标公式计算判断B:根据投影向量的定义判断 C,根据a-6>0,且a与b不同向判断D即可 1 X三 【详解】对于A,由/b，则2x-1=0,解得2，故A正确： 对于B,“ā+26=(2，)+2(1，)=(4,1+2x),a+26=5, 16+(1+2x)2=5,解得x=1或x=-2,故B错误： 对于C,当x=1时，6=(（1，) a-b.6-36 则由投影向量公式得，在，方向上的投影向量为 2，故C正确： a b 对于D,当a与5夹角为锐角时，则ab>0,且a与5不同向， 2+x>0 2x-1≠0，解得x3-21x 2,故D错误 故选：AC 1L.已知函数f)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f儿因=e(x-).测则下列结论正确的是（) A当x<0时，f()=-e(x+) B函数（田有三个零点 第8页/共21页 6学科网6组卷网 c.若方程f()=m有三个解，则实数m的取值范围是-3e2<m<e2 D.x,∈R,f(x)f(x<2 【答案】BD 【解析】 【分析】对A:借助奇函数的性质计算即可得；对B:计算出x>0时的单调性后，结合奇函数的性质， 可得该函数其它部分的单调性，结合零点的存在性定理即可得零点个数：对C:借助B选项所得，可画出 该函数大致图象，结合图象即可判断；对D:利用所得图象，结合函数的值域计算即可得解。 【详解】对于A选项，设x<0,则x>0,所以f()=e(-x-) 又函数f的是定义在R上的奇面数，所以代-)=-f四 所以f=e(-x-),即f)=c(x+),放A错误： 对FB造项当x>0时，因-，所以f闭--2 (e)2 e*, 令f()= 0,解得x=2,当0<x<2时，f)>0.当>2时，f)<0 时， 所以西数f四在0,2)上 (2,+o) 单调递增，在 上单调递减， 赦当=2时，函数f 取得极小值®2>0 当0<x<2时.0-f0<0,又f0=0.故两数f四在0,2)仅有-个零点1， 当x>2时.f6)=二0 ,所以函数f(x)在(2，+0)没有零点， 所以函数f(四在0+四)上仅有一个零点，图数f田是定义在R上的奇函数， 故函数在-0,0)上仅有-个等点1，又f0)=0 第9页/共21页 学科网命组卷网 故函数 四在R上有3个零点.故B正确： f(x) 对于C选项，结合B中所得函数单调性，作出函数 的大致图象： 3-2-1 123x 由图可知：若关于“的方程 f(x)=m 有三个解， 则实数m的取值范围是(-2)<m<f(2),即。2<m<e2,故C错误： 对于D选项，由图可知，对x,x∈R,(x)f(:<-(=2,故D正确」 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数的单调性，得到函数大致图象，数形结合帮助判断 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 3+i 12.已知i是虚数单位，则i V10 【答案】 【解析】 3+i 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解 【详解】先由题得ⅰ 故答案为： V10 第10页/供21页 6学科网 命组卷网 1B已知数)=8，画0+A)-f0 x,则Ax0 △x 【答案】8 【解析】 f(x) 【分析】求出函数 的导数，再利用导数的定义求出极限值。 【详解1两数)=至，求号行网是。 lim f0+△)-f0=f0=8 所以Ar △x 故答案为：8 14已知函数f()=cos(or+p(@>0)是奇函数，且存在正数a使得函数f()在[0，a上单调递增若 [ππ 函数f(x)在区间3’6 上取得最小值时的，值有且仅有一个，则@的取值范围是 【答案】 【解析】 【分析】将题目所给条件进行转化，通过画图法绘制关键点判断取得最小值时的x值有且仅有一个情况时 的范围，最终得到答案 【详解】解：根据题意，函数)=c0s(@x+p)(@>0)是奇函数，则该函数过坐标原点 存在正数a使得函数f(y在[0，ad上单调递增，则可将f)=cos(or+p(@>0等效转化为 f(x)=sinox 如图所示： 第11页/共21页 6学科网命组卷网 0, 夏察36区间，可将其分为30和 6, 在图象中前者宽度为后者的二倍则条件可转化为： 函数s血x在区间2乐，上取得最小值时的x值有且仅有个，中？ 60), 5 画出/()-sin xp图象，通过绘制关锭点发现，当2<-2B<0时 时，满足题意，如图所示： 5π 2 即2<-2<0 5 15 0<0< 60,可得 2 15 故答案为： 0, 2 [ππ 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键，是将f(x)=sinx随着o变化而伸缩与区间3'6相比较 的问匙，转化为在f(x)=sx图象中变化【-2B月]x何来确定最小值的问慰减轻了绘图和计算压力，本 题考查了学生的三角函数转化能力、绘图能力和计算能力，属于中档题， 四、解答题（本大题共5个小题，其中15题13分，16题跟17题15分，18题跟19题17分， 共77分) 第12页/共21页 6学科网列组卷网 15.已知函数f(冈=2V5 inrco-2cos'x+1 （山求函数(x)的周期和其图像的对称轴方程； (2当x0, π 12时，求f(x)的值域. 元+kπ(keZ） x= 【答案】(1)最小正周期为π，对称轴为32 2)[-1,2] 【解析】 【分10油箱助公式可有儿)=2m2x-君) 2π 根据 0得周期，正弦函数的对称轴为 +kπ(k∈Z) x=- 2 整体代入可求对称轴方程. s2x-”≤2π (2)代入x的取值得到6 63,整体代入可得函数值域. 【小问1详解】 f(x)=3sin2x-cos2x=2 o-n 2 所以T-2=元： 2 令2r-名及+kz(ke 62 π+kπ(keZ） ,解-3十2 【小问2详解】 h05x5 5I -12,所以6 2x-6527 因为 3 第13页/共21页 学科网组卷网 因t1≤f(国≤2.故所求值球为【-山2习 16已知函数()=-nx+2x+1 (1)求函数f()的单调区间以及极值， (2)求函数f(y在[L,e]上的最值 【答案】（山单调递增区间为(0，），单调递减区间为(e,+）,极大值为©+1，无极小值 (2)f(x)w=e+l f(x)=1 【解析】 【分析】()先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函 数的极值 ②根据第小问的单调性，确定西数在区间[L,]上的单调性，即可求出最大值，而西数的最小值是 min{f(),f(e》,比较f(e)和f()的大小，求得函数的最小值 【小问1详解】 函数f()=-血x+2x+l的定义城是（0，+切) 又f()=l-lnx,令f()>0,得0<x<e,令f'()<0,得x>e, 故函数f(的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为c,+∞）， 所以函数f(冈的极大值为（⊙）=c+1,无极小值 【小问2详解】 由4)可知，f()在山，©]上单调递增，在e,e]上单调递减， 第14页/供21页 6学科网列组卷网 所以f(x)x=f(e)=-elne+2e+1=e+l 所以f()在[l,e]上的最小值为min{f(),f(e2》 又因为f0=3f(e)=1.所以f(e)<f0 所以函数(，在L,e]上的最小值为l,即f(y)= 17.设等差数列a,}的前n项和为S,且4=5，=99 （4)求{a}的通项公式： （2)设=2+a,求数列.}的前n项和. 【答案】(1)a,=2n+1 22m+3+3n2+6n-8 (2), 3 【解析】 【分析】(1)由{a,}为等差数列，将4，=5，S=99代入解出4=3，d=2,从而求出a}的通项 公式 (2)由（1)间，写出，}的通项公式，然后利用分组求和求出又. 【小问1详解】 设等差数列a}的公差为d, a1+d=5, 由题意可得 4+2经1=% 解得4=3.d=2 第15页/供21页 命学科网命组卷网 则a,=a+m-0d=3+2(n-1)=2+1 【小问2详解】 由(1)可知0，=2n+1,则6=2+2m+1, 故T,=么+6+6，+…+b,=(2°+3)+(23+5)+(22+7）+…+(221+2n+1） =(23+2+2+…+22m+）+(3+5+7+…+2n+1) 2×1-49）,3+2n+1n 1-4 2 =2m13+3n2+6m-8 3 18记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知(2h+c)sinC=2 csin AcosC (1)求A: (2)若BC边上的高为2，且∠BAC的平分线交BC边于D,CD=4BD,求AD 2π A= 【答案】(1)3： (2)ADs4V分 5 【解析】 【分析】(1)先由题意结合正弦定理得2sinB+sinC=2 sin AcosC,再转化sinB即可求得 cos 4=-1 2,进而可得解 ②先由高表示面积和正弦定理形式表示的面积得2a=2©0，接者在A4BD和44C0中由正弦定 2 第16页/供21页 命学科网组卷网 理结 CD=46D有b=4Cg,得接者由杂达定理即家求aAc,再市5m+m-或m和正 ，再由 弦定理形式面积公式即可计算求解AD, 【小问1详解】 因为(2b+c)sinC=2 esin AcosC 所以由正弦定理得(2sinB+sinC)sinC=2 sin Csin AcosC 又C∈(0，m),所以sinC≠0，所以2sinB+sinC=2 sin AcosC, sinB=sin(4+C)=sindcosC+cosdsinc 所以26sin1cosC+cos4sinC)+sinC=2sin4cosC,故2 siC+simC=0, cos A=- 2π 所以 2,又Ae(0,,所以1= 【小问2详解】 1 由题可得2ax2= 2 202a= bcsin bc①， 2 BD AD CD AD 又因为A= F3’AD是∠BAC的平分线，所以sin sinB 2 πsinC sin 3 3 4BD BD →sinB=4sinC 因为CD=4BD,所以sin B sinC ,所以由正弦定理得b=4C②， 又由余弦定理得=6+c-2 becos 4=-+c+hc@. 所以由①@③计算可得a=7V5,6=47,c=V 所以由Sm+ao=3即2c4Dsin子+Dsin要- 1 2元 bcsin 32 32 3得 第17页/供21页 6学科网命组卷网 AD=be4x4 b+c47+75 19已知西数f(✉)=e“-x(a∈R,c为自然对数的底数)，8()-r+x+1 （4)若a=1,求曲线y=f()在点(0，f(0》处的切线方程 (2)若f()有两个零点，求实数0的取值范围： (3)若不等武x[f(x)+x灯≥8(，)对x∈(0，+切)，a∈，+o)恒成立，求实数b的取值范围 【答案】(1)y=1 ( (3)（0,1 【解析】 【分析】(1)由导数的几何意义求出直线的斜率，再用点斜式即可求出切线方程； ②分离希最，求✉)零点，转化成两霜激=G)- x的交点； B)通过放缩心“之心，将原命题等价丁e≥nx+hc+1对一切r∈(0，+D)恒成立，再通过分离常豆， 构造函数 ()=e-hx>0）,州导数求出F()的录小值，围可求出结果 xx 【小问1详解】 a=1,f(x)=e-x,f'(x)=e-1、f'(o)=0 又：f(0)=L,÷在(0，f(0》处的切线方程为y=1 第18页/供21页 6学科网6组卷网 【小问2详解】 :f(四)有两个零点，“关于x的方程©“=x有两个相异实根， Inx :e“>0,x>0,f(x)有两个零点即x有两个相异实根 Q= 今-- x2, G(>0得0<x<e,G()<0得x>e. :.G(x)在区何(0，c)上单调递增，在区间(e,+o)上单调递减， ÷ce=6e-. 又：G(0=0,当0<x<1时，G()<0 o. 当x>1时，G(x)>0,当x→+o时，G(x)→0，f(x)有两个零点时，实数a的取值范围为e 【小问3详解】 :a≥1，x>0,所以e“≥e :原命思等价于e≥hx+bx+1对一切x∈(0，+切)恒成立 bse'_hnz_1 xx对一切x∈(0，+o)恒成立， 令P-=e-0.bsr xx r(x)=e'+x-e+Ix x2 x2 第19页/供21页 命学科网命组卷网 今h(x)=re+lnx.x∈(0，+o) 则国到-2c+r女+士之0，A以因在区阳0四上年两建. 又0=8>0.4日e2-1e-10 :3x∈e使Al)=0,即+lax=0@. 当x∈(0,6)时，h()大0.即F(y在区同(0，)上单调递减， 当x∈（名，+o)时，h()>0,即F(四在区间，+切）上单调递增， 2F(x)in =F(o)=x1 @知e=-n6 令p(=c,p(x)=(x+0e>0在xe0,+o)恒成立. 所以函数（冈=心在区间(0，+o）上单调递蹈。 %o=InI x,即x,=-lnx,, F()=em--=1+1-1=1 0x0,b≤1， ·实数b的取值范围为0，刂 【点睛】方法点睛：不等式恒（能）成立问题常通过分离参数，构造新的函数来解决问题， 第20页/共21页 6学科网命组卷网 分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参 数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式： 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解： 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论 第21页/共21页 曲靖一中沾益清源高级中学第三次月考 数学试卷 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　） A. B. C. D. 5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 6. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若，则 C. 若复数，满足，则或 D. 若复数z满足，，则最大值为3 10. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时， 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（  ） A. 当时， B. 函数有三个零点 C. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 13. 已知函数，则______． 14. 已知函数是奇函数，且存在正数使得函数在上单调递增.若函数在区间上取得最小值时的值有且仅有一个，则的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5个小题，其中15题13分，16题跟17题15分，18题跟19题17分，共77分.） 15. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 17. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若边上的高为2，且的平分线交边于，，求. 19. 已知函数（，为自然对数的底数），. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $