3.2.2 双曲线的简单几何性质（思维导图+6大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

3．2．2 双曲线的简单几何性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、双曲线的简单几何性质 4 知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较 6 知识点三、双曲线的渐近线 6 知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征： 7 知识点五、直线与双曲线的位置关系判断 8 知识点六、弦长公式 8 04 题型归纳，举一反三 10 题型一：双曲线的简单几何性质 10 题型二：渐近线问题 11 题型三：求离心率的值 12 题型四：求离心率的范围 12 题型五：直线与双曲线的位置关系 13 题型六：弦长、面积问题 14 题型七：中点弦问题 15 题型八：定点定值问题 17 题型九：最值问题 18 题型十：实际应用问题 20 知识点一、双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 范围 ，即 或 双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或． 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三、双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 知识点五、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 知识点六、弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 【方法技巧与总结】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 题型一：双曲线的简单几何性质 【例题1】（多选题）（2025·高二·江苏常州·期中）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的焦点坐标为 D．双曲线的渐近线方程为 【例题2】（多选题）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围为 B．双曲线的焦点坐标为 C．当时，双曲线的两条渐近线的夹角为 D．当双曲线为等轴双曲线时， 【变式1】（多选题）（2025·高二·福建厦门·月考）已知双曲线，给出以下4个命题，真命题的是（    ） A．双曲线的焦点坐标为 B．双曲线C与有相同的渐近线 C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为 D．直线与双曲线只有一个交点 【变式2】（多选题）（2025·高二·江苏无锡·期中）已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（　　） A．的渐近线方程为 B．的焦距为 C． D．四边形的面积为 【变式3】（多选题）（2025·高二·广东深圳·期中）已知双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 题型二：渐近线问题 【例题3】（2025·高二·重庆·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高二·重庆渝北·期中）已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（   ） A．3 B．1 C． D．2 【变式4】（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高二·海南·期末）已知是双曲线的右顶点，则该双曲线的一条渐近线被以为圆心且过原点的圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 题型三：求离心率的值 【例题5】（2025·高二·安徽亳州·期末）已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【例题6】（2025·高二·贵州六盘水·月考）设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·高三·浙江·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式8】（2025·陕西咸阳·三模）已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【变式9】已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 题型四：求离心率的范围 【例题7】（2025·高三·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【例题8】（2025·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10】（2025·高二·北京房山·期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·高二·湖南邵阳·期末）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12】（2025·高二·湖南邵阳·期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：直线与双曲线的位置关系 【例题9】（2025·高二·安徽亳州·期中）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于两点，中点在曲线上，探究直线与双曲线的位置关系． 【例题10】（2025·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【变式13】讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【变式14】过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程. 【变式15】已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 题型六：弦长、面积问题 【例题11】（2025·高二·浙江·期中）已知双曲线：的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为1的直线且与双曲线交于，两点，求的面积． 【例题12】（2025·高二·云南昭通·月考）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【变式16】（2025·高二·河北衡水·期末）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 【变式17】已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【变式18】（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 题型七：中点弦问题 【例题13】（2025·高二·江苏盐城·期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【例题14】过点作直线与双曲线相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程. 【变式19】（2025·高二·重庆沙坪坝·月考）双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程. 【变式20】（2025·高二·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【变式21】（2025·高三·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 题型八：定点定值问题 【例题15】（2025·高二·福建漳州·月考）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【例题16】已知双曲线和点，作直线与的两支分别交于点，，使得．若，斜率均存在，求证：直线过定点． 【变式22】（2025·高二·河南·月考）已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，判断轴负半轴上是否存在一定点，使得.若存在，请求出；若不存在，请说明理由. 【变式23】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【变式24】（2025·高二·江西上饶·期中）已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 题型九：最值问题 【例题17】（2025·高二·江苏南通·月考）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线标准方程， (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【例题18】（2025·高二·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【变式25】（2025·高二·福建厦门·期中）已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2， (1)求曲线的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点，求的最小值． 【变式26】（2025·高二·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【变式27】（2025·高二·辽宁沈阳·期末）双曲线：，已知为坐标原点，为双曲线上一动点，过作、分别垂直于两条渐近线，垂足为、，设，， (1)求证： (2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过分别作、平行于渐近线且与渐近线交于、两点，设的面积为，的面积为，求的范围． 题型十：实际应用问题 【例题19】（2025·高二·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题20】（2025·高二·云南丽江·月考）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式28】（2025·高三·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式29】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 【变式30】（2025·高三·河南·月考）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（    ） A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．2．2 双曲线的简单几何性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、双曲线的简单几何性质 4 知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较 6 知识点三、双曲线的渐近线 6 知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征： 7 知识点五、直线与双曲线的位置关系判断 8 知识点六、弦长公式 8 04 题型归纳，举一反三 10 题型一：双曲线的简单几何性质 10 题型二：渐近线问题 13 题型三：求离心率的值 16 题型四：求离心率的范围 19 题型五：直线与双曲线的位置关系 21 题型六：弦长、面积问题 25 题型七：中点弦问题 29 题型八：定点定值问题 32 题型九：最值问题 38 题型十：实际应用问题 43 知识点一、双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 范围 ，即 或 双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或． 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三、双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 知识点五、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 知识点六、弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 【方法技巧与总结】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 题型一：双曲线的简单几何性质 【例题1】（多选题）（2025·高二·江苏常州·期中）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的焦点坐标为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】双曲线，则， 双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的虚轴长为，故B错误； 双曲线的焦点坐标为，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，故D正确. 故选：ACD 【例题2】（多选题）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围为 B．双曲线的焦点坐标为 C．当时，双曲线的两条渐近线的夹角为 D．当双曲线为等轴双曲线时， 【答案】AD 【解析】选项A：令，解得，A正确； 选项B：由于，，故该双曲线的焦点在轴上， 而，得，所以焦点坐标为，B错误； 选项C：当时，的标准方程为，易知渐近线方程为． 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则渐近线的斜率为或，C错误； 选项D：当双曲线为等轴双曲线时，，解得，D正确． 故选：AD 【变式1】（多选题）（2025·高二·福建厦门·月考）已知双曲线，给出以下4个命题，真命题的是（    ） A．双曲线的焦点坐标为 B．双曲线C与有相同的渐近线 C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为 D．直线与双曲线只有一个交点 【答案】BCD 【解析】对A，由题知，，所以， 所以双曲线的焦点坐标为，A错误； 对B，双曲线的渐近线方程为， 双曲线C与的渐近线方程为，B正确； 对C，由于对称性，双曲线C的焦点到渐近线的距离都相等， 双曲线的一渐近线方程为，即， 右焦点到渐近线的距离等于，C正确； 对D，因为直线与双曲线的渐近线平行， 所以直线与双曲线只有一个交点，D正确； 故选:BCD. 【变式2】（多选题）（2025·高二·江苏无锡·期中）已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（　　） A．的渐近线方程为 B．的焦距为 C． D．四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 由等轴双曲线，可知渐近线方程为，故A正确； 由等轴双曲线方程可化为：， 以实轴长为半径的圆方程：， 两方程消去可得：， 因为，所以，即， 则的焦距为,故B错误； 由等轴双曲线方程可化为：， 以实轴长为半径的圆方程：， 两方程消去可得：， 因为，所以，即，故C正确； 根据双曲线和圆的中心对称性和轴对称性，可知四边形是矩形， 即其面积为，故D正确； 故选:ACD 【变式3】（多选题）（2025·高二·广东深圳·期中）已知双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 【答案】AB 【解析】由双曲线过点，可得， 则双曲线的标准方程为：； 所以，因为双曲线的焦距为，所以选项A正确； 因为双曲线的渐近线方程为，所以选项B正确； 因为双曲线的离心率为，所以选项C不正确； 将直线与双曲线联立消可得：， 化简可得 ，此时 ，所以直线与双曲线只有一个公共点 ，所以选项D不正确； 故选：AB. 题型二：渐近线问题 【例题3】（2025·高二·重庆·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆的左焦点为， 所以双曲线的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线为. 故选：D 【例题4】（2025·高二·重庆渝北·期中）已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（   ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由题意得， 所以，双曲线渐近线方程为， 圆的圆心为半径， 所以圆心到直线的距离为， 则直线被圆截得的弦长为解得或（舍去）， 故选：C． 【变式4】（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 【变式5】（2025·高二·海南·期末）已知是双曲线的右顶点，则该双曲线的一条渐近线被以为圆心且过原点的圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 且圆的半径为， 可得双曲线的一条渐近线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 所以截得的弦长为. 故选：D. 【变式6】（2025·高二·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对称性，不妨设，另一个焦点为，连接， 也不妨设l与渐近线垂直，垂足为点A，与交于点B， 因为A是线段FB的中点，且l与垂直， 所以，因此三角形是等腰三角形，因此， 则由对称性可知，，又， 所以有， 因此由对称性可知渐近线的斜率， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 题型三：求离心率的值 【例题5】（2025·高二·安徽亳州·期末）已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，， 设，，则由渐近线的对称性可知，， 因，则， ， 因，则，，， 则在中，则，化简得， 则离心率. 故选：A 【例题6】（2025·高二·贵州六盘水·月考）设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知：过作轴的垂线交双曲线于两点，所以. 又因为是正三角形，所以为直角三角形且；所以. 根据双曲线定义可知：，即，解得. 所以. 故选：. 【变式7】（2025·高三·浙江·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，则， 所以，则，即， 所以的离心率为. 故选：A. 【变式8】（2025·陕西咸阳·三模）已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不妨取在的上方， 则，，双曲线的渐近线方程为：. 由得： 又为等边三角形，所以， 则，即， 整理得，即， 解得或（舍）， 所以. 故选A. 【变式9】已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当点在渐近线上时，联立，可得，解得， 则， 故，从而， 即，解得，负值舍去，故． 当点在渐近线上时，同理可得， 故， 从而，即， 解得，负值舍去，即． 所以或． 故选：C． 题型四：求离心率的范围 【例题7】（2025·高三·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中， 由． 因为，所以， 所以，所以． 故选:A. 【例题8】（2025·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，设，则，所以， 又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有， 消去得：，则要使方程有根，需使. 故选：D 【变式10】（2025·高二·北京房山·期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，其中， 设直线方程为，则. 因点到直线的距离为，则 则， 则. 故选：D 【变式11】（2025·高二·湖南邵阳·期末）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，，，解得：，，因为，所以，即，亦即，所以． 故选：A． 【变式12】（2025·高二·湖南邵阳·期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的标准方程为，， 则有已知， 两式相减得，即， ， 因为 ，解得 故选：A. 题型五：直线与双曲线的位置关系 【例题9】（2025·高二·安徽亳州·期中）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于两点，中点在曲线上，探究直线与双曲线的位置关系． 【解析】（1）由于椭圆的离心率为，故， 又，得，设所求椭圆方程为， 把点代入，得， 椭圆方程为． （2）设，若直线l斜率存在，设， 因为得， 所以， 所以，， 设，所以，，所以，， 所以， 同理， 因为W在曲线上， 所以，解得， 又因为得， 所以，直线AB与相切， 若直线l斜率不存在，由对称性知W在x轴上，W在曲线， 所以，此时也有直线AB与相切， 综上知直线AB与相切． 【例题10】（2025·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【解析】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即且时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 【变式13】讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【解析】联立直线和双曲线方程，消去y得． 整理得， 若，则方程①变为，无解，此时直线与双曲线无公共点． 事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点． 若，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解， 原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点． 综上可知，时，无公共点；时，有一个公共点． 【变式14】过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程. 【解析】若直线的斜率不存在， 则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，代入到双曲线方程，得， 所以， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 化简后知方程无解，所以不满足条件. 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和. 【变式15】已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 【解析】由方程组， 消去，可得（*）， （i）当，即时， 方程（*）为， 此时直线与双曲线仅有一个交点． （ii）当，即时， ， ①若， 即且时，直线与双曲线有两个交点． ②若， 即时，直线与双曲线只有一个交点． ③若， 即或时，直线与双曲线没有交点． 由以上讨论可知，当且时，直线与双曲线有两个交点； 当或时，直线与双曲线只有一个交点； 当或时，直线与双曲线没有交点． 题型六：弦长、面积问题 【例题11】（2025·高二·浙江·期中）已知双曲线：的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为1的直线且与双曲线交于，两点，求的面积． 【解析】（1）由于双曲线：的渐近线方程为， 且一条渐近线的倾斜角的正切值为，所以， 又因为一个焦点坐标为，所以， 联立上两式解得：， 故双曲线的方程为； （2） 设过点作斜率为1的直线的方程为：， 与双曲线联立，消元得：， 设，则 所以， 焦点到直线的距离为， 所以的面积为. 【例题12】（2025·高二·云南昭通·月考）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【解析】（1）因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得， 即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线． （2）根据已知作图如下． 由已知得直线，联立，消去y，整理得，． 设点，点，则，， 所以． 故的值为． 【变式16】（2025·高二·河北衡水·期末）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 【解析】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为. （2）设直线的方程为，， 因为斜率大于的直线与的右支交于两点， 所以，即，故，联立方程， 消去得，则，， 所以， 解得，即，故直线的方程为. 【变式17】已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【解析】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 【变式18】（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 题型七：中点弦问题 【例题13】（2025·高二·江苏盐城·期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【解析】（1）令，所以， 又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离， 所以双曲线的标准方程为：； （2）假设存在， 由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为， 则，， 又有，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 联立直线与双曲线方程得： ， 即直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以存在直线，其方程为. 【例题14】过点作直线与双曲线相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程. 【解析】若过点的直线的斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾， 当过点的直线的斜率存在时，设该直线方程为，，， 联立方程，消去可得， ， 当时，， 整理为恒成立， 有，， 因为点是的中点，所以，得，成立， 所以所求直线方程为，即. 【变式19】（2025·高二·重庆沙坪坝·月考）双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程. 【解析】（1）∵椭圆的焦点为，  ∴ ∵一条准线方程为，，解得，∴， ∴双曲线的方程为． （2）设弦的两端分别为，．则有： ． 弦中点为，． 故直线的斜率． 则所求直线方程为：． 【变式20】（2025·高二·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【解析】（1）因为，，得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. 【变式21】（2025·高三·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 题型八：定点定值问题 【例题15】（2025·高二·福建漳州·月考）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【解析】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以直线恒过轴上的定点. 【例题16】已知双曲线和点，作直线与的两支分别交于点，，使得．若，斜率均存在，求证：直线过定点． 【解析】解法一： 设直线． 将双曲线方程写为． 化简展开得． 即， 将代入上式，可得： 整理得：． 两边同时除以可得关于的一元二次方程： （*）. 设，且的斜率分别为，则， 故即方程(*)的两个根，则，因，则， 故得，即，可得， 代入整理得：， 由，解得即直线过定点． 解法二： 将整个图形平移至点与原点重合，则原坐标系中的点变为新坐标系中的点，记为， 所以双曲线方程变为. 展开得． 设新坐标系中直线平移后的直线. 将直线方程代入双曲线得， 整理得． 方程两边同时除以得到关于的一元二次方程． 则平移之后的与的斜率恰好可以用与表示，也就是上述一元二次方程的两个解，设为，． 因为平移不改变直线的斜率，所以，即． 由韦达定理得，，即， 而直线，即直线过定点． 还原到原来的状态，即向右平移2个单位，再向上平移1个单位． 因为直线过定点，所以直线过定点． 【变式22】（2025·高二·河南·月考）已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，判断轴负半轴上是否存在一定点，使得.若存在，请求出；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设， 则，作差可得， 因为线段的中点坐标为， 所以， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）设存在， 焦点， 因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以，代入上式可得，整理可得 ， 因为对于恒成立，所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得， 显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 【变式23】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【解析】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为； （2）依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以； （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，. 【变式24】（2025·高二·江西上饶·期中）已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【解析】（1）双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 题型九：最值问题 【例题17】（2025·高二·江苏南通·月考）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线标准方程， (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【解析】（1）由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为， 由点在双曲线上，可得，即， 所以双曲线标准方程为. （2）由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标， 可设双曲线右支上任意一点，且，则， 所以， 又因为满足双曲线方程，则， 所以， 由于二次函数的对称轴是， 所以当，单调递增， 即当时，二次函数有最小值， 所以的最小值是. 【例题18】（2025·高二·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 【变式25】（2025·高二·福建厦门·期中）已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2， (1)求曲线的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点，求的最小值． 【解析】（1）设，由动点到定点的距离和它到直线距离之比为2， 可得，化简得，即， 故点的轨迹C的方程为； （2）双曲线的方程为，． 由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为． 联立消去并整理，得． 方程的判别式 设，，则，， ∴． 又∵， ∴线段的中点的坐标为， ∴线段的垂直平分线的方程为． 令，得， ∴点的坐标为，∴，∴， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为． 【变式26】（2025·高二·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【解析】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 【变式27】（2025·高二·辽宁沈阳·期末）双曲线：，已知为坐标原点，为双曲线上一动点，过作、分别垂直于两条渐近线，垂足为、，设，， (1)求证： (2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过分别作、平行于渐近线且与渐近线交于、两点，设的面积为，的面积为，求的范围． 【解析】（1）设，渐近线方程为，且， 则， ∴． （2）由题意可知，双曲线方程为， 设，则， ∴， 由题可知：，， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴，当且仅当时等号成立， 综上所述，． 题型十：实际应用问题 【例题19】（2025·高二·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 【例题20】（2025·高二·云南丽江·月考）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 【变式28】（2025·高三·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 【变式29】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 【答案】A 【解析】如图， 以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则 设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故， 由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上， 依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A. 【变式30】（2025·高三·河南·月考）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（    ） A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 【答案】D 【解析】由已知求出、焦距，利用可得可得答案.设两耳所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为， 则，，由题意， 所以，所以． 故选：D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $