3.2.2双曲线的简单几何性质【十大考点+十大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理标准方程、范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质，衔接椭圆知识，延伸至等轴双曲线、直线与双曲线位置关系等内容，构建完整学习支架。 资料特色为知识结构化与题型分层设计，通过10类题型（如几何性质、离心率问题等）培养数学思维，结合实例与变式提升数学语言表达能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与问题解决。

3.2.2双曲线的简单几何性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点二：等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 知识点三:直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 知识点四：弦长公式 |P1P2|＝· 重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质 【例1】．（22-23高二下·新疆塔城）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2， (1)求双曲线标准方程； (2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据已知条件列方程求出a，b，c，然后可得标准方程； （2）根据（1）中a，b，c，的值直接写出所求即可. 【详解】（1）由题知，，解得，所以， 所以双曲线标准方程为：. （2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上， 所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即. 【变式1】．（24-25高二上·全国）已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 【详解】解：双曲线的方程可化为， 可得，所以，可得， 所以实轴长为，虚轴长为，焦距为， 顶点坐标为，焦点坐标为， 离心率，渐近线方程为． 【变式2】．（23-24高二上·全国·课后作业）分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程． (1)； (2)． 【详解】（1）将双曲线方程化为标准方程得， 则，故， 所以实半轴长为，虚半轴长为，焦点坐标为， 顶点坐标为，渐近线方程为； （2）由，得， 则， 所以实半轴长为，虚半轴长为，焦点坐标为， 顶点坐标为，渐近线方程为. 题型二：双曲线的范围或最值问题 【例10】．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用离心率得出的等量关系，结合点在双曲线上，消元化简计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 又在双曲线上，即，则， 所以① 易知，即， 结合二次函数的性质可知①式的取值范围为. 故选：A 【变式1】．（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 【变式2】．（23-24高二上·江苏南通·月考）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出再由两点间的距离公式，配方法，即可得解． 【详解】圆，所以圆心，半径为1． 设,，在双曲线右支上一个动点，且， 所以, 对称轴为,开口向上， 因为， 所以当时，取最小值为． 故选：D． 题型三：等轴双曲线 【例3】．（22-23高二上·江西景德镇·期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中且即可求解. 【详解】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上， 故令得，即. 又因为且，所以， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 【变式1】．（25-26高二上·上海·期中）已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 【变式2】．（22-23高二上·北京海淀·月考）已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据定义得到，再结合勾股定理求出，最后平方即可求解. 【详解】双曲线化为标准方程为， 由定义知①， 又因为，由勾股定理可知，②， ①式平方得③， 联立②③得，则， 则. 故答案为： 题型四：双曲线的齐次式求渐近线问题 【例4】．（25-26高二上·浙江·期中）已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求渐近线方程. 【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，如图，    设点在上，则，故， 所以，则， 故， 所以，故， 所以C的渐近线方程为 故答案为： 【变式1】．（25-26高二上·北京·期中）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设双曲线的右焦点，根据题意求出的坐标，利用中点坐标公式列式计算得的关系，进而可得渐近线方程. 【详解】设双曲线的右焦点，如图所示： 过第一象限的渐近线方程为， 所以直线与直线交于点， 联立，解得：， 由是线段的中点， 所以’ 所以双曲线的渐近线方程为：， 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知双曲线为双曲线的左，右顶点，若点在双曲线上，且，则双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由题意可得点的坐标为，代入双曲线可求得渐近线方程. 【详解】由题意知，双曲线的左、右顶点为双曲线的左、右顶点为，则， 因为，所以， 由三角函数关系可得点的坐标为，代入双曲线方程可得，， 化简得，所以，所以渐近线方程为. 故答案为：. 题型五：双曲线的的离心率问题 【例5】．（25-26高二上·河南新乡·月考）过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】取线段的中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，取线段的中点， 因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是即，， 在中，，整理得， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：. 【变式1】．（25-26高二上·天津·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】. 【分析】由题意可知，所以得到和都为直角三角形，可利用勾股定理计算三边的关系，结合和的勾股定理，可计算得出，再 结合和的勾股定理，即可计算出离心率. 【详解】由题意得： 因为，所以，即，如图所示， 假设，因为，所以， 由双曲线的定义得：，， 所以，， 在中：，所以，化简得，因为，所以，即， 在中：，所以，将代入得：，所以，，即离心率为. 故答案为： 【变式2】．（25-26高二上·湖南·期中）已知A，B为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线AC，AB的斜率之积为，设直线BC与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【分析】先利用点差法得到，结合，可得.再设，利用和三点共线，可得的关系，进而求双曲线的离心率. 【详解】如图：    设，，则. 由， 所以. 又，，所以. 又，所以． 设，由，得． 又三点共线，故． 代入，得，故． 离心率. 故答案为：2 题型六：直线与双曲线的位置关系 【例6】．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】曲线表示双曲线的右支，联立，结合题意与右支交于两个不等的正根，结合判别式和两个正根求解即可． 【详解】曲线，则， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立， 得， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以，即，， 解得且， 又因为直线l：与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为， 所以， 所以，解得或， 综上：或， 故选：B. 【变式1】．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【详解】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得的坐标和渐近线方程，得到，进而得到直线与双曲线的交点个数. 【详解】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 题型七：双曲线的中点弦问题 【例7】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·月考）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【答案】 【分析】利用点差法设，，代入椭圆方程可得可得，计算可得． 【详解】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，，， 解得，． 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二上·江西景德镇·期末）离心率为的双曲线与直线交于两点，已知双曲线的焦点为，且与的周长之差的绝对值为2.若线段的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的方程，再利用点差法求出直线的方程. 【详解】由的周长为，的周长为， 依题意，，即，由的离心率为，得的半焦距， 则，双曲线，设，则， 又，两式相减得， 于是，直线的斜率为1，方程为，即， 经验证直线与双曲线交于两点，所以直线的方程为. 故答案为： 题型八：双曲线的向量问题 【例8】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点是双曲线的一个焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，且，则 ． 【答案】 【分析】不妨设为右焦点，写出弦所在直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，利用可得，联立即可求得答案；另解：可利用相关结论求解. 【详解】根据双曲线的对称性，不妨设为右焦点，由双曲线方程得， 过且斜率为1的直线交于两点， 则弦所在直线方程为，与双曲线方程联立， 消去得．设，， 由根与系数关系得，， 由知， 则，由知，联立， 解得或（舍去）． 另解：由题意得，，则，所以． 因为直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则， 又双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线一支交于两点． ，故令， 因为，则． 由，得，所以． 故答案为： 【变式1】．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【答案】 【分析】设，得到，且，根据题意和双曲线的定义，得到，结合双曲线的对称性，得到，求得，同理得出，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 【变式2】．（24-25高三上·广西河池·期末）已知双曲线，过坐标原点的直线交于，两点（在第一象限），过点作与直线垂直的直线交于点，直线分别与轴，轴交于，两点，若，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法得到，再利用向量线性运算的坐标表示得到，结合求得，从而得解. 【详解】由题意，设点，其中 由题意得，则， 即，又，    因为，所以，即，则， 所以， 所以，则， 即，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用点差法与向量的坐标表示得到之间的关系，从而得解. 题型九：双曲线的弦长、焦点弦问题 【例9】．（25-26高二上·云南昆明·期中）双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）设，得到，结合即可求解； （2）根据直线的倾斜角求得斜率，进而根据点斜式写出直线的方程，与双曲线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，则，即或， ， 又或，所以时，取得最小值1； （2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以， 则直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，得，设，则，则． 【变式1】．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，则， 易知双曲线的一条渐近线的方程为， ， 将的方程中得，解得， ∴双曲线的方程为. （2）由（1）得，显然直线的斜率存在且不为0， 设，直线的方程为， ， ，即， 联立，得， 则， ， 则， 消去整理得，即， ∴直线的方程为. （3）不妨设，由（2）知， 则， 点到直线的距离， . 题型十：双曲线中的定值、定点问题 【例10】．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为. (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线交于、两点（异于点）.设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据斜率之和求出，再将点坐标代入方程中求出； （2）直线，，联立方程组根据韦达定理得出，再利用其求出点的坐标，进而化简直线的斜率. 【详解】（1）双曲线的两顶点为，所以＋＝＝4，即， 将代入的方程可得，，得，故的方程为； （2）依题意，可设直线，， 联立，得， 所以，得， ，则(*)， 又， 令，则 ，所以，则点的纵坐标为 将(*)代入得，点的纵坐标为，即，所以＝， 将(*)式代入上式，得 故直线的斜率为定值. 【变式1】．（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)(2)过定点， 【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. (1)求证：； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值； (3)若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标. 【详解】（1）由双曲线的离心率，可知，即， 所以双曲线， 设，，， ， ， 所以； （2）设，， ，即， 所以为定值； （3）根据双曲线的对称性，不妨设点在右支第一象限上，双曲线方程为， 则的最大内角为最大，此时，则， 设直线，联立双曲线方程， ，得，得或（舍）， 时，，即， 根据对称性可知，点在第二象限的坐标为，点在第三象限的坐标为，点在第四象限的坐标为， 所以满足条件的点坐标为，，，. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程可以写出渐近线方程和顶点坐标，再用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由双曲线可得渐近线方程为，上顶点坐标为， 所以顶点到渐近线的距离为. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由离心率的定义得到，再利用关系求出，然后可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，即， 由， 所以渐近线方程为. 故选：A 3．（25-26高三上·江苏南通·期中）设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的对称性得到，然后根据双曲线的定义列方程，得到，，最后利用余弦定理列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线的对称性得到，， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以. 故选：D. 4．（25-26高二上·河北·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【详解】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 5．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线之间关系及离心率的定义可构造方程求得，由此可得渐近线斜率和倾斜角，根据两直线夹角的范围可确定最终结果. 【详解】椭圆的离心率，双曲线的离心率， ，，， 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，即渐近线的倾斜角分别为和， 又两条直线夹角的范围为：， 双曲线两条渐近线的夹角大小为. 故选：B. 6．（25-26高二上·重庆·期中）已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：. 故选：B. 7．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求得左焦点，设，利用点差法，求得点的坐标满足；由是以为底边的等腰三角形，得，得到点的坐标满足，两式联立，求出中点坐标.由，即可求出直线的斜率. 【详解】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得，化简得，即（*）.依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. 8．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，令，，，应用斜率的两点式及已知得，进而求离心率. 【详解】由题设，如下图所示，，， 所以，则， 所以双曲线离心率. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】CD 【分析】根据焦点及实轴于虚轴长度关系求得，判断A选项；求出双曲线中的值，即可得到顶点坐标，判断B选项；即可求得离心率，判断C选项；即可写出双曲线的渐近线方程，判断D选项. 【详解】由题意可知，，，，即 ∴，即，∴，A选项错误； ∴， ∴顶点坐标为，B选项错误； ∴，C选项正确； ∵，且双曲线的焦点在轴上，∴渐近线方程为，D选项正确. 故选：CD. 10．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（　　） A．的渐近线方程为 B．的焦距为 C． D．四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用等轴双曲线可判断A，利用方程组结合已知的线段长可求参数，从而可判断B，再通过计算交点坐标和长度可判断CD． 【详解】 由等轴双曲线，可知渐近线方程为，故A正确； 由等轴双曲线方程可化为：， 以实轴长为半径的圆方程：， 两方程消去可得：， 因为，所以，即， 则的焦距为,故B错误； 由等轴双曲线方程可化为：， 以实轴长为半径的圆方程：， 两方程消去可得：， 因为，所以，即，故C正确； 根据双曲线和圆的中心对称性和轴对称性，可知四边形是矩形， 即其面积为，故D正确； 故选:ACD 11．（25-26高二上·广西河池·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．双曲线C的渐近线方程为 C．过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：根据双曲线方程求得，即可求解渐近线方程；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断. 【详解】由双曲线C的方程可知：，且焦点在x轴上， 则，双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项C：当过M的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过M的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过M点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当M，P，三点共线时，取得等号，故D正确.    故选：ABD. 12．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线仅有一个交点 【答案】AD 【分析】将点的坐标代入双曲线方程，可求出的值，可判断A选项；求出、、的值，结合双曲线的离心率公式可判断B选项；根据双曲线的方程可求出渐近线方程，可判断C选项；将直线方程与双曲线方程联立，结合判别式可判断D选项. 【详解】双曲线的标准方程为， 对于A选项，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，A对； 对于B选项，由A选项可知，双曲线的标准方程为，则，，， 双曲线的离心率为，B错； 对于C选项，双曲线的渐近线方程为，C错； 对于D选项，联立可得，则， 所以直线与双曲线仅有一个交点，D对. 故选：AD. 13．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【分析】对A：借助双曲线定义与焦距长度计算即可得；对B：设出点，表示出、后，利用余弦定理计算即可得；对C：结合B中所得计算即可得；对D：利用内切圆中切线长性质结合双曲线定义与焦距长度计算即可得. 【详解】对A：由双曲线定义可得，则， 则，又， 则，故A正确； 对B：设，则，即， 双曲线的渐近线为，则， 由对称性，不妨设在上，在， 则，， 有， 由，则， 则， 故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、， 又，， 即， 则， 则， 又，故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（25-26高二上·重庆·期中）请写出满足下列两个条件的一个双曲线的标准方程 ．①实轴长为；②渐近线方程为. 【答案】（或） 【分析】对双曲线的焦点位置进行讨论，设出双曲线的标准方程，根据双曲线的几何性质可得出相应参数的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，可得， 该双曲线的渐近线方程为，所以，故， 此时该双曲线的标准方程为； 若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，可得， 该双曲线的渐近线方程为，则，故， 此时该双曲线的标准方程为. 故答案为：（或）. 15．（25-26高二上·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，找到临界值，即可求解. 【详解】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 16．（25-26高二上·天津·期中）双曲线的两个焦点分别为、，焦距为10． （1）该双曲线的两条渐近线为 ． （2）M是双曲线上的一点，且，则 ． 【答案】 9 【分析】先根据焦距等于，根据渐近线方程计算求解，再应用双曲线定义计算. 【详解】因为双曲线的两个焦点分别为、，焦距为， 所以且， 所以，解得， 所以双曲线的两条渐近线为． M是双曲线上的一点，则且，则或， 又因为，舍去，所以， 故答案为：；9. 17．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为 ． 【答案】 【分析】依题设点，，利用，代入坐标计算可得，再由，化简后将结论代入可得，利用点是E的右支上的一点，建立关于的方程，求解即得离心率. 【详解】如图： 设点，则，，因 ，则， 由可得，解得（*）， 又，可得， 将（*）代入整理得，即. 又点是E的右支上的一点，故，将以上结论代入可得， 因代入可得，化简得， 两边同除以，可得，解得或，因，故，则. 故答案为： 18．（25-26高二上·天津·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率 . 【答案】 【分析】根据题意作出图形，延长交于点，由题可得为等腰直角三角形，结合双曲线的定义可得，根据离心率公式求解即可. 【详解】    不妨设在右支上，则， 因为，故，故， 取的中点为，则，而，在直线上， 而，故在的延长线上， 由，可得，而为角平分线， 所以，故， 故，故， 所以，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题 19．（25-26高二上·内蒙古赤峰·月考）已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据与轴垂直时得，结合得到，由此可得双曲线的标准方程； （2）设，与双曲线方程联立，表示点坐标，借助韦达定理可求最小值即可． 【详解】（1）对双曲线，令，得， ∴当与轴垂直时，． 由得，即，故， ∵，∴，∴的方程为． （2）①不合题意． ②设， 联立得，， ∴， ，解得， ∵，∴直线方程为， 故，同理， ∴ ． ∴当时，． 20．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【详解】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 21．（25-26高二上·河北邢台·期中）设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可． （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程. 【详解】（1）可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 22．（2025高二上·江苏·专题练习）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 【答案】(1) (2)定点，定值1 【分析】（1）根据题意，利用点到直线的距离公式，求得，再由，求得，即可求得双曲线的方程； （2）法一、假设存在点满足条件，当直线方程为时，求得；再设直线，联立方程组，由，得到，且和，求得，结合，求得的值，得到答案； 法二：设，联立方程组，得到，且和，求得，结合，求得的值；当轴时，求得的坐标，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：由原点到直线的距离， 因为以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切，所以， 又因为双曲线的焦距为4，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）解：法一：假设存在点满足条件， ①当直线方程为时，则， 所以； ②当直线方程不是时，可设直线， 联立方程组，整理得， 由，即，可得， 设，则， 所以， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 法二：当直线不垂直轴时，设， 联立方程组，整理得， 由，可得， 设，可得， 则， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 当直线轴时，，联立方程组，解得， 可得，且， 所以； 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 23．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得，即可求出的范围，从而得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2双曲线的简单几何性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点二：等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 知识点三:直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 知识点四：弦长公式 |P1P2|＝· 重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质 【例1】．（22-23高二下·新疆塔城）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2， (1)求双曲线标准方程； (2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. 【变式1】．（24-25高二上·全国）已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 【变式2】．（23-24高二上·全国·课后作业）分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程． (1)； (2)． 题型二：双曲线的范围或最值问题 【例10】．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高二上·江苏南通·月考）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 题型三：等轴双曲线 【例3】．（22-23高二上·江西景德镇·期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·上海·期中）已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高二上·北京海淀·月考）已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为 ． 题型四：双曲线的齐次式求渐近线问题 【例4】．（25-26高二上·浙江·期中）已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 【变式1】．（25-26高二上·北京·期中）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为 . 【变式2】．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知双曲线为双曲线的左，右顶点，若点在双曲线上，且，则双曲线的渐近线方程是 . 题型五：双曲线的的离心率问题 【例5】．（25-26高二上·河南新乡·月考）过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是 ． 【变式1】．（25-26高二上·天津·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为 . 【变式2】．（25-26高二上·湖南·期中）已知A，B为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线AC，AB的斜率之积为，设直线BC与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为 ． 题型六：直线与双曲线的位置关系 【例6】．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 题型七：双曲线的中点弦问题 【例7】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·月考）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 【变式1】．（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【变式2】．（24-25高二上·江西景德镇·期末）离心率为的双曲线与直线交于两点，已知双曲线的焦点为，且与的周长之差的绝对值为2.若线段的中点为，则直线的方程为 . 题型八：双曲线的向量问题 【例8】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点是双曲线的一个焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，且，则 ． 【变式1】．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【变式2】．（24-25高三上·广西河池·期末）已知双曲线，过坐标原点的直线交于，两点（在第一象限），过点作与直线垂直的直线交于点，直线分别与轴，轴交于，两点，若，则的渐近线方程为 . 题型九：双曲线的弦长、焦点弦问题 【例9】．（25-26高二上·云南昆明·期中）双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【变式1】．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【变式2】．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的面积. 题型十：双曲线中的定值、定点问题 【例10】．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为. (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线交于、两点（异于点）.设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值． 【变式1】．（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. (1)求证：； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值； (3)若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏南通·期中）设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 4．（25-26高二上·河北·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 5．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆·期中）已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 10．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（　　） A．的渐近线方程为 B．的焦距为 C． D．四边形的面积为 11．（25-26高二上·广西河池·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．双曲线C的渐近线方程为 C．过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D．的最小值为 12．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线仅有一个交点 13．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 三、填空题 14．（25-26高二上·重庆·期中）请写出满足下列两个条件的一个双曲线的标准方程 ．①实轴长为；②渐近线方程为. 15．（25-26高二上·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 16．（25-26高二上·天津·期中）双曲线的两个焦点分别为、，焦距为10． （1）该双曲线的两条渐近线为 ． （2）M是双曲线上的一点，且，则 ． 17．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为 ． 18．（25-26高二上·天津·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率 . 四、解答题 19．（25-26高二上·内蒙古赤峰·月考）已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 20．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 21．（25-26高二上·河北邢台·期中）设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 22．（2025高二上·江苏·专题练习）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 23．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $