课后分层练(三十四)　双曲线的标准方程及性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十四)]　双曲线的标准方程及性质的应用 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点． 2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2.若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　 ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 解析：选C．设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为y＝±x. 3．(2025·济南高二模拟)已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点．当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A．设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，∴kPA·kPB＝·＝＝＝＝. 4．设点F1，F2分别是双曲线C： －＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　 ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D．设F1(－c，0)，A(－c，y0)， 则 －＝1，所以＝ －1＝＝＝， 所以y＝，所以|AB|＝2|y0|＝.又S△ABF2＝2， 所以·2c·|AB|＝·2c·＝＝2，所以＝， 所以＝＝. 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 5．(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　 ) A．C的焦距为4 B．C的离心率为 C．C的渐近线方程为y＝±x D．直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 解析：选AC．由双曲线C：－＝1过点，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1，所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确； 将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝(－4)2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确． 6．(多选)下列直线方程中经过点(，2)且与双曲线4x2－y2＝1仅有一个公共点的是(　　 ) A．10x－4y＋3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．2x－1＝0 D．2x－y＋2＝0 解析：选ABC．当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则所求直线方程为y－2＝k(x－). 联立 将①代入②整理，得(4－k2)x2－2k(2－k)x－(k2－2k＋5)＝0　③. 当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点，所以有即[－2k(2－k)]2－4(4－k2)·[－(k2－2k＋5)]＝0，且k≠±2，解得k＝.故所求直线的方程为y＝x＋. 当k＝2时，方程③变为一次方程，且有唯一解，因而直线和双曲线仅有一个公共点，故所求直线的方程为y＝2x＋1. 当k＝－2时，同理可得所求直线的方程为y＝－2x＋3. 当直线的斜率不存在时，因为点(，2)在直线x＝上，且x＝与双曲线只有一个公共点，故所求直线方程为x＝. 综上所述，符合题意的直线有四条，直线方程分别为y＝x＋，y＝2x＋1，y＝－2x＋3和x＝.A，B，C满足，对D，2x－y＋2＝0不过点(，2). 7．双曲线x2－＝1的左、右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且kMA＝1，则△MAB的面积为____________． 解析：直线MA的方程为y＝x＋1，代入x2－＝1，解得M(2，3)，故S△MAB＝3. 答案：3 8．双曲线C： －＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点(，)，(2，－1)在双曲线C上． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l过点F2且与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点的横坐标为－2，求直线l的方程． 解：(1)由题意有 解得 因此，双曲线C的标准方程为－y2＝1. (2)由题意知，直线l的斜率存在， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2). 并设直线l的方程为y＝k(x－)， 联立方程 消去y整理得(1－4k2)x2＋8k2x－(20k2＋4)＝0，x1＋x2＝＝－4， 得k＝±，满足直线与双曲线相交， 因此，直线l的方程为y＝±(x－). 9．设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (1)直线AB的方程； (2)△OAB的面积(O为坐标原点). 解：(1)显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k. 由 消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1＝＝(2－k2≠0)，解得k＝1. 当k＝1时，满足Δ>0， ∴直线AB的方程为y＝x＋1. (2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3， ∴|AB|＝· ＝×＝4. 又点O到直线AB的距离d＝＝， ∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝2. 【综合运用】 10．(科技文化)3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体．如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的．已知该笔筒的上底直径为6 cm，下底直径为8 cm，高为8 cm(数据均以外壁即笔筒外侧表面计算)，则笔筒最细处(在上底、下底之间)的直径为(　　 ) A． cm B． cm C． cm D． cm 解析：选C．设笔筒的轴截面如图所示，以C为笔筒对应双曲线的实轴端点，O为实轴中点，OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A，B分别为上、下底面对应点．由题可知，xA＝3，xB＝4，yA－yB＝8，设A(3，t)，则B(4，t－8)， 设双曲线方程为 －＝1(a>0，b>0)， 所以两式相减可得 －＝0， 所以－16t＋64＝， 又e＝＝3， 所以＝8，所以－16t＋64＝56， 所以t＝，所以 －＝1， 又b2＝8a2， 所以 －＝1，解得a2＝，所以a＝， 所以2a＝，所以笔筒最细处的直径为2a＝ cm. 11．(多选)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则(　　 ) A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为y＝±x C．∠PAF2＝45° D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有2个交点 解析：选ABD．如图， 由题意知，△PF1F2是直角三角形，且＝2c tan 30°，又c2＝a2＋b2，得c2－a2＝ac·，即e－＝，得e＝(e＝－舍去)，A正确；由＝，得＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，B正确；|PF2|＝＝c，|AF2|＝a＋c＝c，则tan ∠PAF2＝＝－1，∠PAF2≠45°，C错误；直线x＋2y－2＝0与双曲线的渐近线不平行，其与双曲线有2个交点，D正确． 12．(生产实际)如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70 m，水平方向上塔身最窄处的半径为20 m，最高处塔口半径25 m，塔底部塔口半径为20 m，则该双曲线的离心率为________． 解析：如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知|CD|＝2a＝40， 所以a＝20，A(25，m)，F(20，－70＋m)， 所以 解得 所以c2＝a2＋b2＝2 000，所以e＝＝＝. 答案： 13．已知双曲线 －＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________． 解析：可得直线的斜率为，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，只要≥，故e2＝1＋≥4，e≥2. 答案：[2，＋∞) 14．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 解：(1)由题意知a＝2， 则一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0， 所以＝. 又c2＝a2＋b2＝12＋b2，得b2＝3， 故双曲线的方程为－＝1. (2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12， 所以得 由＋＝t， 得＝， 所以t＝4，点D的坐标为. 【创新探索】 15．(新背景)祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家，他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点，则双曲线的方程为________；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为________． 解析：由双曲线C的离心率e＝＝，得c＝a， 则c2＝a2＋b2＝a2，即b2＝a2， 因为双曲线的方程为－＝1过点(，2)， 即－＝1，a2＝3，b2＝1， 所以双曲线方程为－x2＝1，则渐近线方程为y＝±x， 取直线x＝m(0≤m≤1)， 代入－x2＝1，得y＝，代入y＝x，得y＝m， 则直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝(3＋3m2)π－3m2π＝3π. 又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π. 答案：－x2＝1　3π 16．方程＋＝－1的曲线即为函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)，有如下结论：①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点；③函数y＝f(x)的值域是R；④f(x)的图象不经过第一象限，其中正确结论的个数是________． 解析：根据题意画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形． 从图形中可以看出，关于函数y＝f(x)的下列说法：①f(x)在R上单调递减，正确． ②由于4f(x)＋3x＝0 即f(x)＝－，而从图形上看，函数f(x)的图象与直线y＝－没有交点，故函数F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点，正确． ③函数y＝f(x)的值域是R，正确． ④f(x)的图象不经过第一象限，正确． 其中正确结论的个数是4. 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $