第6章 图形的初步知识（知识清单）数学浙教版2024七年级上册

第6章 图形的初步知识 1.几何图形的分类 2.几何体是由点、线 、面构成的。点动成线，线与线相交成 ；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成。 3.直线，射线与线段的区别与联系 名称 类别 直线 射线 线段 图形 表示方法 ①两个大写字母； ②一个小写字母 ①两个大写字母(表示端点的字母在前); ②一个小写字母 ①表示两端点的两个大写字母； ②一个小写字母 端点个数 无 1个 2个 延伸性 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不可延伸 性质 两点 两点之间， 度量 不可以 不可以 可以 作图叙述 过A、B作直线AB 以A为端点作射线AB或连结AB并延长 连结AB 4.两点之间线段最短可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. 5.连接两点间的线段的长度，叫做两点的 . 6.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图： 7.线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法. 8.线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD. 9.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的 ．如下图，有：AM=MB=AB. ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有AM=AB，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 10.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有AM=MN= = = . 11.角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的 ，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点 而形成的图形. 12.角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 注意：当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 13.角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝360° 14.角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝ ′，1′＝ ″. 注意： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. 15.角的比较： ①度量法；②叠合法；③估算法. 16.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2= ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 17.余角、补角 （1）定义： 若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为 .其中∠1是∠2的 ，∠2是∠1的 . 若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为 .其中∠1是∠2的 ，∠2是∠1的 . （2）性质：同角(或等角)的余角 ；同角(或等角)的补角 . 注意： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”． 18.方位角:以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.比如下图中点A在点P的南偏东 方向；点B在点P的 方向. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做 方向，南偏东45 °通常叫做 方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 1.多条直线的交点数问题 错误：不能掌握平面内多条直线相交时交点的形成规律，就没法快速确定交点个数。 注意：多条直线相交得到最多交点个数的规律如下： ①两条直线相交就是一条直线与另1条直线有1个交点，一共只有1个交点； ②在①的基础上，增加一条直线与已知2条直线均相交，新增加2个交点，一共有1+2=3个交点。 ③在②的基础上，增加一条直线与已知3条直线均相交，新增加3个交点，一共有1+2+3=6个交点。 ...... 因此，如果有n条直线相交，可以看作是从第二条直线开始，根据①②③的规律推测，最终最多得到1+2+3+...+（n-1）=个交点。 例1 （24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有7条公路（假设公路是笔直的，并且可以足够长得延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有24名交警，要求每个岔口至少站一名交警，那么最多有多少个岔口有不止一个交警？． 2.多个点确定直线/线段的数量 错误：当遇到多个点在同一直线上时，无法确定构成直线的数量 注意：可以通过每个点与其他点构成的直线的数量，相加后得到总数。 例2 （24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，，，，为直线上的四个点，图中共有 条线段，以点为端点的射线有 条，它们分别是 和 ． 3.根据端点的位置分类讨论线段的和差结果 错误：当题干没有明确说明线段的端点的相对位置时，没有分类讨论不同情况。 注意：几何问题要注意数形结合。尤其当题目没有给出图形时，要注意通过画图，分析不同可能的情况，并分别分析解决问题。 例3 （25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 4.等分点相关的计算问题 错误：对中点、三等分点等相关的线段的计算问题，不能用倍分关系进行运算。 注意：线段长的运算，注意线段的数量关系，尤其是中点和等分点。 例4 如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 例5 已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是 ． 5.动点问题的分类讨论 错误：解决动点问题，常常忽略已知条件的限制。 注意：动点问题首先要清楚动点在直线上移动还是射线或者线段上移动，这决定了动点有可能存在的位置。其次要确定动点什么时候停下，是到线段端点停下还是向着射线方向继续下去。 例6 如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 6.设而不求解决线段长问题 错误：不能掌握设而不求的数学方法来解决线段长问题。 注意：利用主动设未知数的办法，通过数量关系列等式，再经过整式的运算消去未知数，得到所求线段的长，是设而不求的整个过程。通常适用于动点问题中，多条线段长随动点移动时长度变化，但是其相互关系不变的题型。如下图中最典型的，已知线段AB=m，点C在线段AB上移动，且点M与点N分别为AC和BC的中点。我们不妨设AC长为a，则BC长为m-a，可求出MC=a，NC=（m-a），可知MQ=a+（m-a）=m，即无论点C在线段AB的何处，线段MN长不变，为线段AB长的一半。 例7 （25-26七年级上·四川成都·期中）如图，数轴上点对应的数为，点对应的数为9， (1)线段的长为_____； (2)如图1，若点为的中点时，且，求点对应的数； (3)如图2，数轴上线段在点右侧移动，点在点的右侧，且，点为中点，为中点，试探究：线段的长度是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 7.角的度和度分秒的转化 错误：不清楚度分秒换算使用的是六十进制，或经常与百进制混淆。 注意：要注意度分秒换算使用的是六十进制。 （1）将度转化为度分秒，就是将度的小数部分乘以60，得到结果的单位为分，再将分的部分的小数部分乘以60，得到结果的单位是秒。 如：23.26°，0.26°×60=15.6′，0.6′×60=36″；因此23.26°就是23°15′36″。 （2）将度分秒转化成度，就是将度分秒中秒的数值部分除以3600，将分的数值部分除以60，并将三部分的结果相加即可。 如：103°54′27″，27÷3600=0.0075°,54÷60=0.9°。所以103°54′27″=103+0.0075+0.9=103.9075°。 例8 计算： ，用度分秒表示   ′ ″． 8.数线段或角的数量 错误：不会按照某种规律或顺序去数数，没有逻辑得想到一个数一个。 注意：在数线段或者数角时，可以通过某种顺序或某种规律数数。比如数线段时从最左边端点开始，一个端点先数完所有相关线段，再向右换第二个端点，...将所有数目相加，也可以先数完所有单个线段，再数所有两个单线段组合的线段，再数所有三个单线段组合的线段,...直到数到最大的线段，将所有数目相加。数角的时候也是类似的。 图形 按同边数 按角的组成数 ①与OA同边的角有：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB，共4个； ②与OC同边的角有：∠COD、∠COE、∠COB，共3个； ③与OD同边的角有：∠DOE、∠DOB共2个； ④与OE同边的角有：∠EOB共1个。 ①单个角有：∠AOC、∠COD、∠DOE、∠EOB，共4个； ②两个角组成的有：∠AOD、∠COE、∠DOB，共3个； ③三个角组成的有：∠AOE、∠COB，共2个； ④四个角组成的有：∠AOB共1个。 共有4+3+2+1=10个。 共有4+3+2+1=10个。 9.角平分线相关的求角问题 错误：看错角平分线是哪个角的角平分线，得到错误的等量关系。 注意：一定要明确是哪个角的角平分线，然后列出等量关系，或利用等量关系进行计算。 例9 （25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 10.认识两块直角三角板 错误：不认识数学中常见的两块直角三角板中角的特征。 注意：认识一下以下两块三角板的特征： 三角板1 内角度数 三角板2 内角度数 90° 45° 45° 90° 60° 30° 例10 （24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 11.图形折叠的求角问题 错误：不清楚折叠带来的等量关系，在求角时缺少折叠带来的条件。 注意：先折叠时，折叠前后重叠部分的图形一样，因此折叠前后重叠角的度数也一样。特别的，以折痕为边对称的两个角正好是折痕作为角平分线后平分出来的两个角。举例如下： 如图所示，将点D沿着折痕AE折叠到D’处，则AE是∠DAD’的角平分线，也是∠DED’的角平分线。 如图所示，将四边形C’EFD’沿着折痕EF折叠，则EF是∠CEC’的角平分线。 如图所示，将长方形顶点A和顶点E分别沿着折痕BC与BD折叠到A’B和E’B处，且A’B与E’B重合。则BC是∠ABA’与∠ACA’的角平分线；BD是∠EBE’与∠EDE’的角平分线.且可知∠CBD=90°。 例11 （24-25七年级上·广东广州·期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数是 ． 12.余角和补角的概念 错误：混淆余角和补角的概念 注意：从定义上比较：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角；若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. 同时需要明确：①任何一个锐角都有余角和补角，但直角和钝角只有补角没有余角；②一个角的余角一定是锐角，但一个角的补角可能是锐角、直角或钝角。 例12 （25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 13.利用同角/等角的余角的性质解决数学问题 错误：不能通过同角（或等角）的余角相等进行等量代换 注意：同角（或等角）的余角相等，可以实现等量代换： 数学语言 数学表达 具体案例 已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互余，那么∠1和∠3相等. ∵∠1+∠2=90° ∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 如左图所示，三角板ABC和三角板ADE的顶点A重合，且∠CAB=∠DAE=90°，则可知：∠CAE=∠BAD. 例13 （24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 14.旋转相关的角度问题 错误：不能通过角的速度求出旋转后角的度数，或用代数式表示角的度数。 注意：当角的边进行旋转运动时，角度发生变化，新的角度=原角度±旋转度数，要注意是顺时针旋转还是逆时针旋转。另外需要注意的是在时钟问题中，时针和分针分别各自旋转，时针速度为0.5度/分钟，分针速度为6度/分钟，时针和分针类似于行程问题中的追赶问题。 例14 （24-25七年级上·河北邯郸·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处． (1)将直角三角板的一边放在射线上，如图1所示，求的度数及其补角的度数； (2)将直角三角板绕点转动到如图2所示的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角板绕点转动，始终在的内部，试猜想和之间的数量关系，并说明理由． 1．（25-26七年级上·河北沧州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）下列说法： ①用两颗钉子固定一根木条，体现的数学基本事实是两点确定一条直线； ②射线与射线表示同一条射线； ③若，则B为线段的中点． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 5.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，点B在直线上，点M、N分别是线段的中点，点B在线段上，，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D． 6.（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，线段，点在线段上，，点是的中点，则线段长为 ． 8.（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 9.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点B，C，D，E在同一条直线上，图中共有线段 条，射线 条． 10.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 11.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    12.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 13.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 14.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 15.（2025七年级上·全国·专题练习）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 图形的初步知识 1.几何图形的分类 2.几何体是由点、线 、面构成的。点动成线，线与线相交成 点 ；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成。 3.直线，射线与线段的区别与联系 名称 类别 直线 射线 线段 图形 表示方法 ①两个大写字母； ②一个小写字母 ①两个大写字母(表示端点的字母在前); ②一个小写字母 ①表示两端点的两个大写字母； ②一个小写字母 端点个数 无 1个 2个 延伸性 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不可延伸 性质 两点 确定一条直线 两点之间， 线段最短 度量 不可以 不可以 可以 作图叙述 过A、B作直线AB 以A为端点作射线AB或连结AB并延长 连结AB 4.两点之间线段最短可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. 5.连接两点间的线段的长度，叫做两点的 距离 . 6.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图： 7.线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法. 8.线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD. 9.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的 中点 ．如下图，有：AM=MB=AB. ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有AM=AB，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 10.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有AM=MN= NP = PB = AB . 11.角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的 顶点 ，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点 旋转 而形成的图形. 12.角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 注意：当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 13.角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360° 14.角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝ 60 ′，1′＝ 60 ″. 注意： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. 15.角的比较： ①度量法；②叠合法；③估算法. 16.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2= ∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 17.余角、补角 （1）定义： 若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为 余角 .其中∠1是∠2的 余角 ，∠2是∠1的 余角 . 若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为 补角 .其中∠1是∠2的 补角 ，∠2是∠1的 补角 . （2）性质：同角(或等角)的余角 相等 ；同角(或等角)的补角 相等 . 注意： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”． 18.方位角:以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.比如下图中点A在点P的南偏东 65° 方向；点B在点P的 北偏东30° 方向. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做 西北 方向，南偏东45 °通常叫做 东南 方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 1.多条直线的交点数问题 错误：不能掌握平面内多条直线相交时交点的形成规律，就没法快速确定交点个数。 注意：多条直线相交得到最多交点个数的规律如下： ①两条直线相交就是一条直线与另1条直线有1个交点，一共只有1个交点； ②在①的基础上，增加一条直线与已知2条直线均相交，新增加2个交点，一共有1+2=3个交点。 ③在②的基础上，增加一条直线与已知3条直线均相交，新增加3个交点，一共有1+2+3=6个交点。 ...... 因此，如果有n条直线相交，可以看作是从第二条直线开始，根据①②③的规律推测，最终最多得到1+2+3+...+（n-1）=个交点。 例1 （24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有7条公路（假设公路是笔直的，并且可以足够长得延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有24名交警，要求每个岔口至少站一名交警，那么最多有多少个岔口有不止一个交警？． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把7条公路看作是7条直线，先求出7条直线两两相交时的交点的个数，再根据交警数量先每个岔口各分1名交警，再将多余的交警分散分配即可． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把7条公路看作是7条直线，则7条公路两两相交时交点的个数为：， ， 因此最多有3个岔口有不止一个交警。 2.多个点确定直线/线段的数量 错误：当遇到多个点在同一直线上时，无法确定构成直线的数量 注意：可以通过每个点与其他点构成的直线的数量，相加后得到总数。 例2 （24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，，，，为直线上的四个点，图中共有 条线段，以点为端点的射线有 条，它们分别是 和 ． 【答案】 射线 射线（或射线） 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的概念即可求解，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：图中线段为，，，，，，共条，以点为端点的射线有条，它们分别是射线，射线（或射线）， 故答案为：；；射线；射线（或射线）． 3.根据端点的位置分类讨论线段的和差结果 错误：当题干没有明确说明线段的端点的相对位置时，没有分类讨论不同情况。 注意：几何问题要注意数形结合。尤其当题目没有给出图形时，要注意通过画图，分析不同可能的情况，并分别分析解决问题。 例3 （25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差．由于点A，B，C在直线l上的相对位置不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，为与之和；当点A在点B和点C之间时，为与之差． 【详解】解：分两种情况： 当点B在点A和点C之间时，； 当点A在点B和点C之间时，， 故答案为：或． 4.等分点相关的计算问题 错误：对中点、三等分点等相关的线段的计算问题，不能用倍分关系进行运算。 注意：线段长的运算，注意线段的数量关系，尤其是中点和等分点。 例4 如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由中点可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N两点分别为的中点， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 例5 已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是掌握各线段间的关系．根据线段中点的定义可得，，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解：点是线段的中点， ， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5.动点问题的分类讨论 错误：解决动点问题，常常忽略已知条件的限制。 注意：动点问题首先要清楚动点在直线上移动还是射线或者线段上移动，这决定了动点有可能存在的位置。其次要确定动点什么时候停下，是到线段端点停下还是向着射线方向继续下去。 例6 如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 【答案】1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，进行分类讨论是解题关键．先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动t秒时两点表示的数，然后分P在Q的左边与P在Q的右边两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可． 【详解】解：∵点C表示的数为6，点A表示的数为， ∴点B表示的数是， 依题意可知，运动t秒时，P表示的数为：，Q表示的数为：， 点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分两种情况： ①P在Q的左边， ， ， 解得； ②P在Q的右边， ， ， 解得， 综上所述：当t为1或秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 故答案为：1或． 6.设而不求解决线段长问题 错误：不能掌握设而不求的数学方法来解决线段长问题。 注意：利用主动设未知数的办法，通过数量关系列等式，再经过整式的运算消去未知数，得到所求线段的长，是设而不求的整个过程。通常适用于动点问题中，多条线段长随动点移动时长度变化，但是其相互关系不变的题型。如下图中最典型的，已知线段AB=m，点C在线段AB上移动，且点M与点N分别为AC和BC的中点。我们不妨设AC长为a，则BC长为m-a，可求出MC=a，NC=（m-a），可知MQ=a+（m-a）=m，即无论点C在线段AB的何处，线段MN长不变，为线段AB长的一半。 例7 （25-26七年级上·四川成都·期中）如图，数轴上点对应的数为，点对应的数为9， (1)线段的长为_____； (2)如图1，若点为的中点时，且，求点对应的数； (3)如图2，数轴上线段在点右侧移动，点在点的右侧，且，点为中点，为中点，试探究：线段的长度是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，定值为 【分析】本题考查数轴上的线段长度与中点问题，涉及的知识点是数轴两点间距离公式、中点坐标公式．解题中用到的思想是参数思想，通过设未知数表示动点坐标，再推导线段长度；方法技巧是利用中点坐标公式简化计算．解题关键是准确表示数轴上点的坐标，避免中点计算时的数式错误．易错点是处理动点问题时，参数的符号或位置关系分析错误，导致坐标表示偏差． （1）利用数轴上两点间距离公式，直接计算的长度； （2）先求中点对应的数，再根据的距离列绝对值方程，求解点对应的数； （3）设点对应的数为参数，分别表示出对应的数，计算的长度，判断是否为定值． 【详解】（1）数轴上两点间的距离为右边点对应的数减去左边点对应的数，因此： （2）因为点是的中点，所以对应的数为． 已知，设点对应的数为x，则： 或 或． （3）设点对应的数为，因为且在右侧，所以对应的数为． 点是的中点，对应，对应，故对应的数为； 点是的中点，对应对应，故． 因此，线段的长度为： 7.角的度和度分秒的转化 错误：不清楚度分秒换算使用的是六十进制，或经常与百进制混淆。 注意：要注意度分秒换算使用的是六十进制。 （1）将度转化为度分秒，就是将度的小数部分乘以60，得到结果的单位为分，再将分的部分的小数部分乘以60，得到结果的单位是秒。 如：23.26°，0.26°×60=15.6′，0.6′×60=36″；因此23.26°就是23°15′36″。 （2）将度分秒转化成度，就是将度分秒中秒的数值部分除以3600，将分的数值部分除以60，并将三部分的结果相加即可。 如：103°54′27″，27÷3600=0.0075°,54÷60=0.9°。所以103°54′27″=103+0.0075+0.9=103.9075°。 例8 计算： ，用度分秒表示   ′ ″． 【答案】 16 25 12 【分析】本题考查了角的运算，解题的关键是掌握，．进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 【详解】解∶ ； 故答案为∶ ；16；25；12． 8.数线段或角的数量 错误：不会按照某种规律或顺序去数数，没有逻辑得想到一个数一个。 注意：在数线段或者数角时，可以通过某种顺序或某种规律数数。比如数线段时从最左边端点开始，一个端点先数完所有相关线段，再向右换第二个端点，...将所有数目相加，也可以先数完所有单个线段，再数所有两个单线段组合的线段，再数所有三个单线段组合的线段,...直到数到最大的线段，将所有数目相加。数角的时候也是类似的。 图形 按同边数 按角的组成数 ①与OA同边的角有：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB，共4个； ②与OC同边的角有：∠COD、∠COE、∠COB，共3个； ③与OD同边的角有：∠DOE、∠DOB共2个； ④与OE同边的角有：∠EOB共1个。 ①单个角有：∠AOC、∠COD、∠DOE、∠EOB，共4个； ②两个角组成的有：∠AOD、∠COE、∠DOB，共3个； ③三个角组成的有：∠AOE、∠COB，共2个； ④四个角组成的有：∠AOB共1个。 共有4+3+2+1=10个。 共有4+3+2+1=10个。 9.角平分线相关的求角问题 错误：看错角平分线是哪个角的角平分线，得到错误的等量关系。 注意：一定要明确是哪个角的角平分线，然后列出等量关系，或利用等量关系进行计算。 例9 （25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 10.认识两块直角三角板 错误：不认识数学中常见的两块直角三角板中角的特征。 注意：认识一下以下两块三角板的特征： 三角板1 内角度数 三角板2 内角度数 90° 45° 45° 90° 60° 30° 例10 （24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11.图形折叠的求角问题 错误：不清楚折叠带来的等量关系，在求角时缺少折叠带来的条件。 注意：先折叠时，折叠前后重叠部分的图形一样，因此折叠前后重叠角的度数也一样。特别的，以折痕为边对称的两个角正好是折痕作为角平分线后平分出来的两个角。举例如下： 如图所示，将点D沿着折痕AE折叠到D’处，则AE是∠DAD’的角平分线，也是∠DED’的角平分线。 如图所示，将四边形C’EFD’沿着折痕EF折叠，则EF是∠CEC’的角平分线。 如图所示，将长方形顶点A和顶点E分别沿着折痕BC与BD折叠到A’B和E’B处，且A’B与E’B重合。则BC是∠ABA’与∠ACA’的角平分线；BD是∠EBE’与∠EDE’的角平分线.且可知∠CBD=90°。 例11 （24-25七年级上·广东广州·期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的有关计算和折叠的性质，根据折叠得出，，根据，求出，代入求出即可． 【详解】解：由折叠的性质：，， 又， ， 又， ． 故答案为：． 12.余角和补角的概念 错误：混淆余角和补角的概念 注意：从定义上比较：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角；若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. 同时需要明确：①任何一个锐角都有余角和补角，但直角和钝角只有补角没有余角；②一个角的余角一定是锐角，但一个角的补角可能是锐角、直角或钝角。 例12 （25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． 13.利用同角/等角的余角的性质解决数学问题 错误：不能通过同角（或等角）的余角相等进行等量代换 注意：同角（或等角）的余角相等，可以实现等量代换： 数学语言 数学表达 具体案例 已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互余，那么∠1和∠3相等. ∵∠1+∠2=90° ∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 如左图所示，三角板ABC和三角板ADE的顶点A重合，且∠CAB=∠DAE=90°，则可知：∠CAE=∠BAD. 例13 （24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义． （1）根据题意得，结合，得，再把数值代入进行计算，求出答案即可； （2），故，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 14.旋转相关的角度问题 错误：不能通过角的速度求出旋转后角的度数，或用代数式表示角的度数。 注意：当角的边进行旋转运动时，角度发生变化，新的角度=原角度±旋转度数，要注意是顺时针旋转还是逆时针旋转。另外需要注意的是在时钟问题中，时针和分针分别各自旋转，时针速度为0.5度/分钟，分针速度为6度/分钟，时针和分针类似于行程问题中的追赶问题。 例14 （24-25七年级上·河北邯郸·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处． (1)将直角三角板的一边放在射线上，如图1所示，求的度数及其补角的度数； (2)将直角三角板绕点转动到如图2所示的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角板绕点转动，始终在的内部，试猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线、余角和补角、熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）根据图形得出，代入求出的度数，再利用补角的定义可求解； （2）根据角平分线定义求出的度数，进而求出的度数，即可求解； （3）根据图形得出，，相减即可求出答案； 【详解】（1）解：若直角三角板的一边放在射线上， 则， 其补角为， （2）解：平分，， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由是：， ， 1．（25-26七年级上·河北沧州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角度的换算，熟练掌握角度的换算是解题的关键；将角度的小数部分转换为分，使用的换算关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 2.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）下列说法： ①用两颗钉子固定一根木条，体现的数学基本事实是两点确定一条直线； ②射线与射线表示同一条射线； ③若，则B为线段的中点． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查直线的性质、射线的表示和线段中点的定义．根据两点确定一条直线可判断①正确；根据射线的表示方法可判断②错误；根据线段中点的定义可判断③错误． 【详解】解：用两颗钉子固定一根木条，体现的数学基本事实是两点确定一条直线；故①正确； 射线与射线，两条射线的端点不一样，不是同一条射线；故②错误； 若点在线段上且，则B为线段的中点；故③错误； 综上正确的只有①； 故选B． 3.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算；先求出，再根据角平分线的性质得到，再结合计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 4.（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用线段的中点定义可得，再根据已知易得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答 【详解】解：点M是的中点，， ， ， ， ， 的长为； 故选：D 5.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，点B在直线上，点M、N分别是线段的中点，点B在线段上，，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，由题意得：，求出； 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：B 6.（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 7.（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，线段，点在线段上，，点是的中点，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差计算和有关线段中点的计算．先由求出，再根据线段中点的意义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 8.（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【答案】/138度 【分析】本题考查了余角及补角，熟练掌握余角及补角的概念是解题关键． 根据余角的定义，两个角的和为，可求出锐角α的度数为；再根据补角的定义，两个角的和为180°，即可求出α的补角． 【详解】解：∵ 的余角是， ∴ ， ∴ 的补角为； 故答案为． 9.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点B，C，D，E在同一条直线上，图中共有线段 条，射线 条． 【答案】 10 12 【分析】此题主要考查了线段和射线的定义，掌握线段和射线的定义的解题的关键． 先确定一个端点，然后数线段，不遗漏不重复即可． 【详解】解：图中线段有10条： 线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段； 以点A为端点的射线有4条，以点B为端点的射线有2条，以点C为端点的射线有2条，以点D为端点的射线有2条，以点E为端点的射线有2条，故射线有12条； 故答案为：10，12． 10.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了钟面角，解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针转动的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵时针从上午的8时到10时共旋转了2个格，每相邻两个格之间的夹角是， ∴时针旋转的旋转角． 故答案为：60． 11.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 12.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，．   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在线段上时，； 当在线段外时，； 综上所述，的长为或． 13.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ()由角平分线的定义，得到的度数； ()根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； ()由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 14.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)50 (2)的度数为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角的平分线性质与角的和差运算，解题的关键是利用直角、平角的度数，结合角平分线定义，通过设未知数或直接计算推导角度关系． （1）先由和求出，再由角平分线得，最后用平角求 （2）设为，根据与的关系及角平分线，结合列方程求，进而求 （3）设为，利用角平分线、平角和直角的性质，分别表示出、、，从而推导与的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵、、共线， ∴． 故答案为：． （2）解：设，则， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 答：的度数为． （3）解：，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 15.（2025七年级上·全国·专题练习）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，根据点E是的中点，可得出，由可计算出长，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $