专题6.6 角的比较与运算（八大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题6.6 角的比较与运算（八大题型总结） 【题型一：角的度分秒转化】 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）将用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·山东东营·期中） ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ＇ ． 【题型二：角的度数大小比较】 5．（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·河北保定·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，，，则，，的大小关系是 ． 8．（23-24七年级下·山东淄博·期末）比较大小： （填“>”或“<”号）． 【题型三：角度的四则运算】 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． （1）； （2）； （3）； （4）． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1） （2） 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【题型四：角的比较】 13．（23-24七年级上·全国·课堂例题）比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，如图所示，则 ． 14．（23-24七年级上·北京海淀·期末）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 15．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【题型五：与方向角有关的计算】 17．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的度数为 ． 18．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，O分别表示一个景点．经测量，景点B在景点O的北偏东方向，则景点A相对于景点O的方向是（    ） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏东方向 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知轮船在灯塔的北偏西的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上． （1）求从灯塔看两轮船的视角（即）的度数； （2）轮船在的平分线上，则轮船在灯塔的什么方向上？ 【题型六：三角板中的角度计算】 21．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，若，求的度数 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 【题型七：角平分线的有关计算】 25．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 27．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 （写序号）．    28．（24-25七年级上·河北沧州·期中）点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． （1）如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； （2）如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； （3）过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 【题型八：三等分角的有关计算】 29．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 31．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 32．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． （1）如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； （2）如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.6 角的比较与运算（八大题型总结） 【题型一：角的度分秒转化】 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）将用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 根据大单位化小单位除以进率，可得答案． 【解题过程】 解：， 故选：C． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查度、分、秒的换算：，．先将先化成，再将化成，进而得出答案． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∴将用度分秒表示为． 故选：A． 3．（23-24六年级下·山东东营·期中） ． 【思路点拨】 本题考查了度分秒的换算．熟练掌握度分秒的换算是解题的关键． 由题意知，，，根据，计算求解即可． 【解题过程】 解：由题意知，，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ＇ ． 【思路点拨】 本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． （1）将转化为即可得到答案； （2）将转化为，转化为即可得到答案； （3）将转化为，将转化为即可得到答案． 【解题过程】 解：（1）． （2）． （3）． 故答案为： 12 18 36 【题型二：角的度数大小比较】 5．（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【解题过程】 解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 6．（23-24七年级上·河北保定·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了角度的比较大小．将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【解题过程】 解：， ∵． ∴， 故选：A． 7．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，，，则，，的大小关系是 ． 【思路点拨】 先根据，将单位统一，再比较大小即可． 【解题过程】 解：，， ，， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·山东淄博·期末）比较大小： （填“>”或“<”号）． 【思路点拨】 本题主要考查了角度的大小比较；根据角度的换算求出，然后再进行比较即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型三：角度的四则运算】 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）根据同单位的相加，满60时向上一单位进1，可得答案； （2）根据同单位的相减，不够减时先向上一单位借1转为60，可得答案； （3）根据满60时向上一单位进1，可得答案； （4）根据不能整除的部分可化成下一级单位，可得答案． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【解题过程】 （1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）根据角度的单位换算从左往右计算，即可求解； （2）先计算乘法，再计算加减，即可求解． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查角度的计算，掌握度、分、秒的计算方法和它们之间的进率是解题的关键． （1）根据度、分、秒是60进制，度与度相加，分与分相加，分大于60，向度进计算即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型四：角的比较】 13．（23-24七年级上·全国·课堂例题）比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，如图所示，则 ． 【思路点拨】 如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法直接填空即可． 【解题过程】 解：比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧， 则， 故答案为：>． 14．（23-24七年级上·北京海淀·期末）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【思路点拨】 本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得，，利用中间角比较角的大小是解题的关键． 【解题过程】 解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：A． 15．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【思路点拨】 本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【解题过程】 解：将平移，让与两个角的顶点重合， 如图： 可得： 在的内部， 所以． 故选：A． 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【思路点拨】 本题主要考查了角的大小比较，取点E，连接，由网格可知，根据可得． 【解题过程】 解：如图，取点E，连接， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 【题型五：与方向角有关的计算】 17．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的度数为 ． 【思路点拨】 本题考查了方向角，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，然后利用平角定义可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：如图： 由题意得：，， ， ， 故答案为：． 18．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【思路点拨】 本题主要考查方向角的计算，熟练掌握方向角的计算是解题的关键．根据题意，求出，即可得到答案． 【解题过程】 解：依题意可得，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若， ， 故的方向是北偏东． 故选C． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，O分别表示一个景点．经测量，景点B在景点O的北偏东方向，则景点A相对于景点O的方向是（    ） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏东方向 【思路点拨】 本题主要考查了方位角，平角，角的和差求角度，理解方位角是解题的关键． 记正北方为，由题意得出，根据算出，即可解题． 【解题过程】 解：记正北方为，如图所示： ∵景点B在景点O的北偏东方向， ∴， ∵， ∴， ∴景点A相对于景点O的方向为北偏西方向． 故选：C． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知轮船在灯塔的北偏西的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上． （1）求从灯塔看两轮船的视角（即）的度数； （2）轮船在的平分线上，则轮船在灯塔的什么方向上？ 【思路点拨】 （1）根据即可求出； （2）根据平分求出，然后根据即可解答． 本题主要考查方向角的知识点，解答本题的关键是搞懂方向角的概念和利用好角平分线的知识点． 【解题过程】 （1）解：如图所示，因为轮船在灯塔的北偏西的方向上， 轮船在灯塔的南偏东的方向上， 所以 ． （2）解：因为平分， 所以， 所以 ， 所以轮船在灯塔的北偏东方向上． 【题型六：三角板中的角度计算】 21．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中的度数，即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【解题过程】 解：、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项符合题意； 故选：． 22．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用及角的和差计算；关键是设出未知数找出等量关系列方程． 设，则，根据角的和差关系列出方程，解方程即可． 【解题过程】 解：∵比大 ∴设，则 根据题意得：， 解得：， ∴ 故答案为：． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，若，求的度数 【思路点拨】 本题主要考查了几何图形中角的计算，三角尺中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形板中角的度数． （1）根据，，求出．根据，得出． （2）根据，，求出，根据，求出，最后求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：由题图可知，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 【思路点拨】 本题考查了角的运算，熟练掌握角的和、差的计算方法是解题的关键． （1）只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出； （2）先利用周角及，求出，再利用，求出，，可得，结合即可求解． 【解题过程】 解：（1）因为三角板自带，，，的角， 所以只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出， 如：，，，，等， 所以用三角板除了画出自带的角外，还能作出、、的角等（不唯一）； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 【题型七：角平分线的有关计算】 25．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查几何图形中角度的计算，设，则，根据角之间的等量关系求出、、的大小，然后根据平角的定义建立关于的方程，求解即可．掌握角平分线的定义是解答的关键． 【解题过程】 解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 26．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【思路点拨】 本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【解题过程】 解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 27．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 （写序号）．    【思路点拨】 根据，，得到，进而得到，根据是的平分线，得到，再根据角之间的和差，倍数关系，逐一进行判断即可． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴；故④正确； 故答案为：①②④． 28．（24-25七年级上·河北沧州·期中）点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． （1）如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； （2）如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； （3）过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 【思路点拨】 本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或． 【题型八：三等分角的有关计算】 29．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 【解题过程】 解： 是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 30．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【思路点拨】 本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【解题过程】 解：如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 31．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【思路点拨】 本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【解题过程】 解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 32．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． （1）如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； （2）如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【思路点拨】 本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$