精品解析：吉林省长春市长春南湖实验中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷（数学综合三）

吉林省长春市长春南湖实验中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷（数学综合三） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 已知：在锐角中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据特殊角的正切函数值解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 3. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法运算，乘除运算和二次根式的性质分别计算即可判断． 【详解】解：A．，故错误，不符合题意． B．，故正确，符合题意； C．，故错误，不符合题意． D．，故错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相应的运算法则是解决问题的关键． 4. 如果将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位， 平移后的新抛物线的解析式为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变化，要熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 200 400 600 800 1000 频率 0.21 0.29 0.30 0.32 0.33 A. 三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5 B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数 C. 在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 D. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】求出各选项中事件的概率再进行判断即可． 【详解】解：A．三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5，此事件的概率为，故选项属于符合这一结果的试验，不符合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数，此事件概率为，故选项属于接近这一结果的试验，不符合题意； C．在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀，此事件概率为，故选项属于符合这一结果的试验，不符合题意； D．掷一枚一元的硬币，正面朝上，此事件的概率为，故选项属于不符合这一结果的试验，符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查了概率，熟练掌握用频率估计概率的知识是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 利用位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】解：点的对应点为，即，， 点的对应点的坐标为 故答案为：A． 7. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 8. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系、抛物线的性质等知识点，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向上可得，对称轴为可得通时判定②；与y轴交于负半轴可得，即可判定①；根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；由图象可知，当时，可推出③错误；根据函数图象即可判断④；当时，函数有最小值，进而判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为直线，故②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知，当时，， ∴当时，，故③错误； 由图象可知，当时，y的值随x值的增大而增大，故④错误； ∵且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴当m为任意实数时，， ∴，故⑤正确． 综上所述，说法正确的是②⑤，共2个． 故选B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 体育教练对小红推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是___________m． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，铅球推出的距离即铅球落地时的水平距离，需令高度，解方程求出x的值，并取正值． 【详解】解：令，则， ∴，，由于距离不能为负，舍去， ∴铅球推出的距离为． 故答案为：11． 11. 计算__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值作答． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 12. 如图，在中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求得，． 【详解】解： ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 13. 2025年8月19日，以“追光吧⋅少年”为主题的全国新时代好少年先进事迹发布仪式在浙江宁波举行．如图是某校制作的校级“新时代好少年”优秀事迹展示板，该展示板的长为，宽为，十位同学的优秀事迹展牌是10张全等，面积均为的矩形，这10张展牌按两行五列的方式粘贴在展示板上，且相邻展牌之间以及展牌粘贴区域与展示板边缘的距离均相等，则相邻展牌间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】设相邻展牌间的距离为，利用x表示出10张全等的、面积为的矩形贴纸的总面积，并据此列方程求解即可．本题考查一元二次方程的实际运用，找准等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设相邻展牌间的距离为，根据题意得 ， 解得：，（舍去）． ∴相邻展牌间的距离为． 故答案为：． 14. 如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③若的面积为6，则的面积为2； ④当长为时，则的长为15． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 根据三角形的重心及平行线所截线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐个分析判断，即可解答． 【详解】解：①∵G是的重心，重心是三角形三条中线的交点，且的延长线交于D， ∴是边上的中线， ∴D是的中点， ∴． 故①正确； ②∵G是的重心，重心将中线分成2∶1的两段（靠近顶点的部分占）， ∵是边上的中线（E是中点）， ∴， ∴． 故②正确； ③∵E是中点（是中线），与同高，且， ∴； ∵与同高，且， ∴． 故③错误； ④为重心， 直线经过中点， 为重心， 直线经过中点， 直线和直线交于中点处， 连结，并延长，交于一点，连结，如图所示， 是的重心， ， ， P，Q分别是和的重心， ， ∴ ， ， ， ，， ， ． 故④正确． 最终正确结论：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共78分） 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式加减运算法则是解题的关键． 先根据分式减法法则计算即可化简，再把m值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式. 16. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于根据题意灵活选用合适的方法求解． （1）利用直接开平方法求解，即可解题； （2）利用公式法求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 17. 小李和小张是羽毛球爱好者，某天他们相约一起去羽毛球比赛现场为喜爱的球员助威加油，比赛现场的观赛区分为如图所示的三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．用画树状图（或列表）的方法求小李和小张在相邻区域观看比赛的概率． A B C 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，解题关键是正确画出树状图或列表．先画出树状图，分别得出所有事件的种数与符合条件的种数，再求出概率． 【详解】解：画树状图如下：列表如下： 所以（小李和小张在相邻区域观看比赛）． 18. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【小问1详解】 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 19. 图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝； （2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1； （3）在图③中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝． 【答案】 （1）如图①，点C即为所求作的点； （2）如图②，点D即为所求作的点； （3）如图③，点E即为所求作的点； 【解析】 【分析】（1）在图①中，根据正切的定义和tan∠CAB＝即可得到点C位置； （2）在图②中，根据tan∠DAB＝1知Rt△ABD为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得出点D的位置； （3）在图③中，根据正切定义和tan∠AEB＝即可得出点E的位置． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查基本作图与设计、正切、等腰直角三角形的性质、勾股定理，理解正切的定义，熟悉网格特点，弄清问题中所作图形的要求，结合几何图形的性质和基本作图方法是解答的关键． 20. 如图，航拍无人机从点处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为米，求该建筑物的高度（精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键，根据正切的定义分别求出，的长，结合图形即可得到该建筑物的高度的长． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴（米）． 故该建筑物的高度约为米． 21. 根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 【答案】（1），；（2）①，当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元；②乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内 【解析】 【分析】（1）分别设一次函数解析式与二次函数解析式的一般式，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据，利用配方法求得二次函数的最值即可解题； ②令①中千元，解析式化为一般式，求得与轴的两个交点，结合二次函数图象与性质解题，从中选择符合题意的范围即可． 【详解】（1）由题意得，设 ， 根据题意得，设，由图知，抛物线经过点，代入得， ； （2）①设乙种蔬菜的进货量为吨， 当，利润之和最大 （元） 答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元． ② 当时，即， 令 解得，， 因为抛物线开口向下，所以， 答：乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、二次函数与一元二次方程综合，涉及一次函数解析式、二次函数解析式、配方法求最值、二次函数与轴的交点，一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 22. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在中，，小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线AP，则AP垂直平分BC． （1）根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是______； （2）如图②，已知在四边形ABCD中，，，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由． （3）请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：不写作法及证明，仅保留画图痕迹） ①如图③，与是全等的两个等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，请作出边AC的中点F； ②如图④，的四个顶点均在格点上，请作出对角线BD的一个三等分点E． （4）如图⑤Rt中，，，，DE垂直平分AB，交边AB，AC于点D，E，将绕点A自由旋转，在旋转过程中，点D、E的对应点分别记为、，当点为线段的三等分点时，请直接写出BE的长． 【答案】（1）等腰三角形的三线合一 （2） 解：理由如下：∵， ∴． ∵， ∴， 即． ∴． ∴C点在BD的垂直平分线上， 又∵A点在BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分对角线BD． （3）①如图，点F即为所求； ②如图，点E即为所求， （4）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一，即可求解； （2）根据，可得．再由，可得．继而得到，即可求证； （3）①连接BE交AC于点F，点F即为所求；理由：根据等边三角形的性质可得AB=BC=CE，∠ABC=∠DCE=60°，从而得到∠CBE=∠BEC，再由三角形外角的性质可得∠ABF=∠CBE，即可求证；②取AG=2，连接CG交BD于点E，证得△DEG∽△BEC，可得，即可求证； （4）根据点为线段的三等分点，可得点三点共线，根据， DE垂直平分AB，可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：“AP垂直平分BC”的依据是等腰三角形的三线合一； 故答案为∶ 等腰三角形的三线合一 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①理由：∵与是全等的两个等边三角形， ∴AB=BC=CE，∠ABC=∠DCE=60°， ∴∠CBE=∠BEC， ∵∠DCE=∠CBE+∠BEC， ∴∠CBE=30°， ∴∠ABF=30°， ∴∠ABF=∠CBE， ∵AB=BC， ∴AF=CF，即点F为AC的中点； ②理由：根据题意得：AD=BC=4， ∴DG=AG=2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△DEG∽△BEC， ∴， ∴，即点E为BD的三等分点； 【小问4详解】 解：如图，连接BE， 根据题意得：， ∵点为线段的三等分点， ∴点三点共线， ∵， DE垂直平分AB， ∴， 在中，，， ∴， 当时，； ∴； 当时，； ∴； 综上所述，当点为线段的三等分点时， BE的长为或． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形和等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 如图，在中，．点从点出发，沿折线运动，在边上以每秒个单位的速度运动，在边上以每秒个单位的速度向终点运动．当点与的顶点不重合时，过点作其所在直角边的垂线，交边于点，以为底边作等腰三角形，使，设点的运动时间为． （1）当点在边上运动时，求的长（用含的代数式表示）； （2）用含的代数式表示点到边PQ的距离； （3）当的一条直角边平分的腰时，求的值； （4）当点到两直角边所在直线的距离相等时，直接写出的值． 【答案】（1）当时， （2）当时，点到边的距离为；当时，点到边的距离为 （3）当或时，的一条直角边平分的腰． （4）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，角平分线的性质等等，正确画出图形，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）当点在上运动时，此时，利用相似三角形的性质与判定进行求解即可； （2）分当点在上运动时，此时 和当在上运动时，此时，两种情况利用相似三角形的性质与判定进行求解即可； （3）分当平分时，和当当平分时，利用相似三角形的性质与判定进行求解即可； （4）分当点在上运动时和当点在上运动时，利用角平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，当点在上运动时，此时 由题意得， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2所示，当在上运动时，此时， 同理可证， ， ； ∴综上所述，当时，；当时，； 如图3所示，当点在上时，过点作于， 是以为底边的等腰三角形， ， ， ， 又， ， ∴， ∴； 如图4所示，当点在上时，过点作于， 同理可得， 同理可证 ， ； 当时，点到边的距离为；当时，点到边的距离为； 【小问3详解】 解：如图5所示，当平分时， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图6所示，当平分时，即，过点作，交于，交于， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 同理可证四边形是矩形， ， 又， ， 解得， 综上所述，当或时，的一条直角边平分的腰． 【小问4详解】 解：如图所示，当点在上时，过点作于，于，延长交于 点落在的平分线上， ， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， 由（）得 ，， ， 解得； 如图8所示，当点在上时，过点作于，于， 同理可以求得， 如图，当点在上，且点在左侧时，过点作于，，交的延长线于，则， 同理可求， 当点落在的平分线上时，即点到两直角边所在直线的距离相等时，或或． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点（点不与点重合），点的横坐标为． （1）求出抛物线的解析式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，若，求的值； （3）抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．当时，图象的最大值与最小值的差为，求出与的函数关系式，并写出的取值范围； （4）过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，；当时， （4）或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想，分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质，矩形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求得直线的解析式，进而题意可得，得出解析式，进而联立抛物线与解析式即可求解； （3）根据的取值范围，结合图象分类讨论即可； （4）分两种情况：当时，分点在点上方和下方分别讨论，结合图象求出或，当 时，分点在点上方和下方分别讨论，结合图象求出． 【小问1详解】 将，代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 ∵点在直线下方的抛物线上时，， ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得： ∵点的横坐标为． ∴ 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴； 当 时，图象的最大值为，最小值为，， 综上可知：时，；当时，；当时，； 【小问4详解】 ①当，点为轴上的一点，纵坐标为，则在轴的正半轴上 当重合时，，即，符合题意， 当时，不符合题意，如图所示 当在的上方时，如图所示 则 解得：或（舍去） ∴ 当重合时， 解得：或 当，如图所示，符合题意 当， 在点上方时，如图所示， ∴ 解得：（舍去）或 综上所述，或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市长春南湖实验中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷（数学综合三） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知：在锐角中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 200 400 600 800 1000 频率 0.21 0.29 0.30 0.32 0.33 A. 三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5 B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数 C. 在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 D. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是_______． 10. 体育教练对小红推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是___________m． 11. 计算__________. 12. 如图，在中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，则______． 13. 2025年8月19日，以“追光吧⋅少年”为主题的全国新时代好少年先进事迹发布仪式在浙江宁波举行．如图是某校制作的校级“新时代好少年”优秀事迹展示板，该展示板的长为，宽为，十位同学的优秀事迹展牌是10张全等，面积均为的矩形，这10张展牌按两行五列的方式粘贴在展示板上，且相邻展牌之间以及展牌粘贴区域与展示板边缘的距离均相等，则相邻展牌间的距离为________． 14. 如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③若的面积为6，则的面积为2； ④当长为时，则的长为15． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题（共78分） 15. 先化简再求值：，其中． 16. 计算 （1）． （2）． 17. 小李和小张是羽毛球爱好者，某天他们相约一起去羽毛球比赛现场为喜爱的球员助威加油，比赛现场的观赛区分为如图所示的三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．用画树状图（或列表）的方法求小李和小张在相邻区域观看比赛的概率． A B C 18. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 19. 图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝； （2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1； （3）在图③中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝． 20. 如图，航拍无人机从点处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为米，求该建筑物的高度（精确到米，参考数据：，，，，，） 21. 根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 22. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在中，，小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线AP，则AP垂直平分BC． （1）根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是______； （2）如图②，已知在四边形ABCD中，，，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由． （3）请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：不写作法及证明，仅保留画图痕迹） ①如图③，与是全等的两个等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，请作出边AC的中点F； ②如图④，的四个顶点均在格点上，请作出对角线BD的一个三等分点E． （4）如图⑤Rt中，，，，DE垂直平分AB，交边AB，AC于点D，E，将绕点A自由旋转，在旋转过程中，点D、E的对应点分别记为、，当点为线段的三等分点时，请直接写出BE的长． 23. 如图，在中，．点从点出发，沿折线运动，在边上以每秒个单位的速度运动，在边上以每秒个单位的速度向终点运动．当点与的顶点不重合时，过点作其所在直角边的垂线，交边于点，以为底边作等腰三角形，使，设点的运动时间为． （1）当点在边上运动时，求的长（用含的代数式表示）； （2）用含的代数式表示点到边PQ的距离； （3）当的一条直角边平分的腰时，求的值； （4）当点到两直角边所在直线的距离相等时，直接写出的值． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点（点不与点重合），点的横坐标为． （1）求出抛物线的解析式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，若，求的值； （3）抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．当时，图象的最大值与最小值的差为，求出与的函数关系式，并写出的取值范围； （4）过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $