精品解析：江西省抚州市东乡区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025年秋季东乡区 九年级数学期中复习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 2. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 5. 如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G ，且 DG＝2 ，DF＝10 ， ＝ ，则 AG 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为________． 8. 如图，某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后，紧接着绿灯开启42秒，再紧接着黄灯开启3秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是_________. 9. 《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为________． 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为____________． 11. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______． 12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G．当△ADG为等腰三角形时，AD＝_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）已知：，，求代数式的值． 14. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，，求的长． 15. 如图，在菱形中，是对角线，，，是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在上找一点，使的周长最短． （2）如图2，在上找一点，作线段，使得． 16. 素数（质数）仿佛是宇宙深处传来的神秘音乐，拨动着一代代数学家的心弦．不断追求知识和真理的执着精神，驱使着数学家在看似无序的素数中寻找其内在规律．历史上，欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润等数学家都对素数的规律有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用1幅或2幅． （1）“若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是______事件． A．不可能 B．必然 C．随机 （2）若从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，请用画树状图法或列表法求出被抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 17. 已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 19. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合与实践： 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； （1）【初步探究】如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是___________；与的位置关系为__________；三者的数量关系为_________； （2）【探索发现】当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，连接，若，，则的长为_________． 22. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点M的坐标为________； （2）已知关于x的方程． ①求该方程衍生点M的坐标； ②已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，求b，c的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季东乡区 九年级数学期中复习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般形式为，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为5，一次项系数为，常数项为1； 故选B 2. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项B：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由可得，平行四边形是矩形，所以该选项正确． 选项D：因为四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，又因为，所以，再根据等角对等边可知，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形是菱形，所以该选项错误． 故选：C． 3. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 4. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 5. 如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G ，且 DG＝2 ，DF＝10 ， ＝ ，则 AG 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，依此构建关于AG方程求解即可． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ ， ∴ , 即, ∴ , 解得AG=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．解题的关键是根据题意列出比例式． 6. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义，分类讨论． 8. 如图，某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后，紧接着绿灯开启42秒，再紧接着黄灯开启3秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查概率的求法： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 【详解】详解: 红灯亮秒，黄灯亮秒，绿灯亮秒， 红灯亮， 故答案为 9. 《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：原图经过平移转化为图1． 根据题意，得． 故答案为：． 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为18， ． 为的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 11. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意可得，再由一元二次方程根的判别式，可得，再把代入，解出即可． 【详解】解：∵是“凤凰”方程， ∴，即， ∵有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G．当△ADG为等腰三角形时，AD＝_______． 【答案】1或或． 【解析】 【分析】分类考虑△ADG为等腰三角形当DG=AG时，利用矩形性质可得IG＝AE＝AB＝，根据折叠性质可得AG＝AB＝1，结合勾股定理可求AI＝； 当AG=DG时利用折叠性质AD＝AG＝AB＝1；当AD=AG时； 由勾股定理EG＝，设AD＝DG＝x，可得FG＝x﹣，再利用勾股定理DG2＝DF2+GF2，构造方程x2＝+（x﹣）2，可求AD＝即可． 【详解】解：①AG＝DG， 作GI⊥AD， ∴I为AD中点，AD＝2AI， ∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB＝1， ∴在矩形ABCD中， EF∥AD∥BC， 即∠DAE＝∠AEF＝∠EFD＝∠ADF＝90°， 四边形AEFD为矩形， ∴IG＝AE＝AB＝， ∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成， ∴AG＝AB＝1， ∴AI＝， ∴AD＝2AI＝， ②AD＝AG， ∴AD＝AG＝AB＝1， ③AD＝DG， EG＝， 设AD＝DG＝x， ∴FG＝x﹣， 连接DG， ∵DG2＝DF2+GF2， ∴x2＝+（x﹣）2， 化简得1﹣x＝0， 解得x＝， ∴AD＝， 故答案为：1或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理，掌握等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理是解题关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）已知：，，求代数式的值． 【答案】（1），；（2）8 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，比例的性质： （1）利用因式分解法解答即可； （2）设，可得，，，再由，可得到k的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原方程可变形为， ∴，或． ∴，． （2）解：设， ∴，，， 把，，代入，得： ， 解得， ∴，，， 把，，代入， 原式． 14. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，再证明，得到，进而求出，然后证明四边形是平行四边形，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 15. 如图，在菱形中，是对角线，，，是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在上找一点，使的周长最短． （2）如图2，在上找一点，作线段，使得． 【答案】（1） 如图1，点P为所作； （2） 如图2，为所作． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质可得到点A、C关于对称，则，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，从而得到此时的周长最短； （2）连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，则F点为的中点，所以． 【小问1详解】 解：如图1，连接交于P点，则点P为所作； 【小问2详解】 解：如图2，连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，则为所作． ∵菱形中，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴，则， ∵点O是的中点，是边的中点， 由菱形的对称性质，点M是边的中点， ∴点N是的重心， ∴点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了作图-——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、重心的知识和最短路径问题． 16. 素数（质数）仿佛是宇宙深处传来的神秘音乐，拨动着一代代数学家的心弦．不断追求知识和真理的执着精神，驱使着数学家在看似无序的素数中寻找其内在规律．历史上，欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润等数学家都对素数的规律有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用1幅或2幅． （1）“若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是______事件． A．不可能 B．必然 C．随机 （2）若从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，请用画树状图法或列表法求出被抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类、概率的计算，熟练掌握事件的分类，列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）根据事件的分类即可解答； （2）依据题意，列表得出所有等可能的结果数，以及符合题意的结果数，再利用概率的计算公式即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，4位数学家的画像分别为欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润， “若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是不可能事件． 故答案为：A． 【小问2详解】 解：将欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润四位数学家分别记为甲、乙、丙、丁， 列表如下： 由列表可得，共有12种等可能的情况，抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的有8种结果， 抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 答：抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率为． 17. 已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 【答案】（1）且 （2），或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到，且，然后解不等式即可得到m的范围； （2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程，然后把它的解代入可计算出n的值． 【小问1详解】 解：根据题意得，且， 解得且； 【小问2详解】 解：∵且， ∴m的最大整数为，此时方程变形为， 解得，， 把代入，得：， 解得； 把代入，得：， 解得． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 19. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 【答案】（1） ∵， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴， ∴， ∴△ABD的周长． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合与实践： 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； （1）【初步探究】如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是___________；与的位置关系为__________；三者的数量关系为_________； （2）【探索发现】当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，连接，若，，则的长为_________． 【答案】（1） ， ， （2） ， 理由：∵四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又，， ∴． （3）3 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，得出，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形、都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在正方形ABCD中，， ∴． 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 22. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点M的坐标为________； （2）已知关于x的方程． ①求该方程衍生点M的坐标； ②已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，求b，c的值． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点M的坐标； （2）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，， ∴方程的衍生点M的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：关于x的方程， ，，， ∴， ∴， ∴，， ∴方程的衍生点M为； ②∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点M始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，求一次函数解析式，写出直角坐标系中点的坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长。 【答案】（1）45； （2）①证明：∵， ， ∵矩形中， ， ， 平分； ②4； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①略 ②过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：4； （3）过点F作交于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （4）过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $