第03讲 椭圆（3大知识点+8种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第03讲 椭圆 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义. 2.会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题. 3.会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长. 知识点01．椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 知识点02．椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 知识点03．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 考点01．椭圆定义及辨析 1．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 2．（22-23高二下·上海静安·期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解. 【详解】椭圆，则，所以， 因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为. 故选：D 3．（22-23高二上·上海嘉定·期末）方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、利用椭圆定义求方程 【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得. 【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12， 即， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为， 则，， 所以，， 故方程为. 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 . 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【详解】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案为：36 考点02．椭圆上点到焦点的距离及最值 1．（24-25高二上·上海·单元测试）已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 【答案】25 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆的定义结合基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 因为点在C上，所以， 所以， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为25. 故答案为：25    2．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设圆和圆的圆心分别为，则根据椭圆的性质可知为定值，再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和可得答案. 【详解】由题设圆和圆的圆心分别为， 半径分别为，则椭圆的焦点为， ， 又，，故， 当且仅当分别在的延长线上时取等号， 此时最大值为. 故答案为：. 3．（21-22高二下·上海宝山·期中）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆的定义，化简得，进而得到，结合椭圆的焦点弦的性质，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，即， 根据椭圆的定义，可得， 则， 所以， 当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值， 此时，所以的最大值为. 故答案为：. 考点03．判断方程是否表示椭圆并求其参数范围 1．（23-24高二上·上海·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断方程是否表示椭圆 【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案. 【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C 2．（22-23高二上·上海·阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆的定义且焦点在轴，列出相应方程组，从而可求解. 【详解】由题知表示焦点在y轴上的椭圆， 则有：，解得或，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高二上·上海·期末）“方程表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】由方程表示椭圆，列出不等式求解，再根据充分必要条件与集合的关系得出答案. 【详解】方程表示椭圆，则，解得且， 因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（21-22高二·上海·课后作业）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 【答案】必要不充分 【难度】0.85 【知识点】判断方程是否表示椭圆、根据方程表示椭圆求参数的范围、既不充分也不必要条件 【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案. 【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立； 当为椭圆，则，可得且，必要性成立； 综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】利用二元二次方程与椭圆标准方程的关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意，方程表示椭圆， 则满足，解得且， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 考点04．根据椭圆方程求a、b、c 1．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据题意求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意可知：，即，则， 且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为. 故答案为：. 2．（21-22高二上·上海闵行·期末）若为椭圆上的点，为椭圆的左右焦点，则的周长 ． 【答案】18 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析 【分析】由椭圆的定义可知周长为，进而得解. 【详解】椭圆中，， 由椭圆的定义可知周长为， 的周长为， 故答案为：18. 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，，，即. 故答案为：4． 4．（21-22高二下·上海杨浦·期中）设､分别是椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义得到，由，得到，结合，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，则， 根据椭圆的定义，可得， 又由，可得，所以， 因为， 即，解得. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 考点05. 椭圆中焦点三角形的周长与面积问题 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，椭圆C上的两个动点P、Q与满足三点共线，则的周长是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义直接求解作答. 【详解】由椭圆C：，得， ∵椭圆C上的两个动点P、Q与满足三点共线， ∴由椭圆的定义得，的周长为 . 故答案为：. 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 . 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】由图形及椭圆定义可得答案. 【详解】由椭圆方程可得，又由图可得的周长为 . 故答案为：8 3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出、、，由，可得点为短轴顶点，最后由面积公式计算可得. 【详解】椭圆，即，所以，，， 因为，所以点为短轴顶点，所以. 故答案为： 4．（2023·上海长宁·一模）已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是 . 【答案】/. 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析 【分析】如图，连接，则可得，所以△ABC的周长为，再求出，即可求得结果. 【详解】如图，连接， 因为l垂直平分线段， 所以， 所以△ABC的周长为， 由题意得，则 的中点为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为直线过， 所以，解得， 所以， 所以△ABC的周长为， 故答案为：. 考点06. 求椭圆的焦点、焦距． 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）椭圆的焦点坐标为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】由椭圆的性质求出即可； 【详解】由题意可得，所以，且焦点在y轴上， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）椭圆的焦距是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】利用给定的椭圆方程，求出椭圆半焦距即可得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，因此半焦距， 所以椭圆的焦距是. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】利用已知条件，求出椭圆的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，得解． 【详解】因为底面半径为的圆柱被与底面成的平面所截，其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为，长半轴为， ，， 椭圆的焦距为； 故答案为：． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆方程求出，再根据长轴、短轴、焦点和顶点的定义可得结果. 【详解】（1）由，得,，得，，， 所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、. （2）由，得，得，，得，，， 所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、. 5．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由椭圆的简单几何性质求解即可. 【详解】对于椭圆， ，，，∴，，， ∴长轴长，短轴长，焦距， 对于椭圆， ，，，∴，，， ∴长轴长，短轴长，焦距， ∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等. 故选：C. 考点07. 根据椭圆的有界性求范围或最值． 1．（24-25高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【详解】因为椭圆， 所以椭圆上的点的横坐标取值范围为， 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】由椭圆方程进行代换得，再结合三角函数的知识即可求得答案. 【详解】椭圆上的点可设为，即， 所以， 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知椭圆的焦距为，点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上任一点，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆的有界性求范围或最值、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的焦距可得出关于的等式，解之可得出椭圆的标准方程； （2）设点，则，且，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦距为，解得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）设点，则，且， 所以，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 所以，. 所以，的最小值为，最大值为. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）如果点是椭圆上一个动点，点是椭圆的左焦点，求的最大值和最小值． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆方程求出，设，利用两点间的距离公式求出，再根据椭圆的范围可求出结果. 【详解】由得，，所以，， 所以， 设，则， 所以 ， 因为，所以当时，，当时，. 5．（21-22高二下·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 ． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求直线与椭圆的交点坐标、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】根据椭圆方程求出，方法一：分类讨论求，进而求的面积，分析运算；方法二：设出的坐标，将的面积用表示，利用的最大值可求出结果. 【详解】由椭圆，得，，． 方法一： 当轴时，为椭圆的短轴，； 当与轴不垂直时，设直线， 由，得，解得，得， 设，不妨取， 所以； 综上所述：的面积的最大值为12． 方法二：设点，则， 故的面积. 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛： 方法一：联立方程求点的坐标，进而求的面积，注意分类讨论直线的斜率是否存在； 方法二：根据几何性质可得，再结合的范围分析运算. 考点08. 椭圆离心率的求解问题. 1．（23-24高二上·上海·课前预习）椭圆的离心率 若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1） ； （2）趋向于1时，椭圆越 ；趋向于0时，椭圆越 ； 【答案】 扁 圆 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】略 【详解】略 2．（24-25高二上·上海·期中）三角形三边长分别为4、5、6，则以边长为5的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意可得，即可得离心率. 【详解】对于，设， 可知， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设，，由椭圆定义得到，分别在和上，利用，求出，故，，从而得到，求出离心率. 【详解】设，则， 由椭圆定义知，故， 其中， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 因为，所以， 即，故， 解得， 故，， 由， 故离心率.    故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为 ．    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下：    则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 5．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（    ） A．12 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求解三角形面积即可. 【详解】依题意，周长，解得， 而椭圆的离心率，则其半焦距，因此， 椭圆C：，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为， 由消去x得：，设， 则有， ， 令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4， 即，的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为12. 故选：A 一、单选题 1．（2023·上海闵行·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果. 【详解】设，，则， 在中，， 所以， 所以， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 2．（2022·上海青浦·二模）定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆中x、y的取值范围、由方程研究曲线的性质 【分析】曲线：上取点，利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②，利用的范围可以判断出③，从而得出结论. 【详解】曲线：上取点，则该点关于轴对称的点也在曲线，故曲线关于轴对称，同理可证曲线关于轴对称，则该点关于原点对称点也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线：，则，而椭圆：中，，故曲线与椭圆无公共点，③错误；综上，正确的有2个， 故选：C. 3．（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】分别讨论为腰或者底的情况. 【详解】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意； ②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点； 综上所述，共6个点满足题意. 故答案选：C.    4．（23-24高二上·上海杨浦·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆定义即可判断. 【详解】设，,在中， , 因为随着增大而减小， 所以∠APB最大时，则cos∠APB最小， 由基本不等式可知，当且仅当为定值时，cos∠APB有最小值， 即为定值且， 所以射门点应该在椭圆上. 故选：. 二、填空题 5．（23-24高二上·上海·期末）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 ． 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可. 【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为， 可得＝，解得m＝8． 故答案为：8． 6．（23-24高二下·上海·期中）椭圆的离心率为 . 【答案】/0.5 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出椭圆参数，利用离心率的定义直接计算即可. 【详解】椭圆的方程为，则 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先根据已知条件求出，再根据离心率求出，最后根据即可确定椭圆标准方程. 【详解】因为椭圆长半轴的长为6，所以有，又因为椭圆的离心率为， 即，所以；根据，有， 因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程 【分析】根据焦点坐标得，根据椭圆的定义求出，再根据求出，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】由已知，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的一个焦点是，且经过点， 所以椭圆的另一个焦点为，， ， 则，所以， 所以这个椭圆的标准方程为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·上海奉贤·期中）已知，，且满足，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、利用椭圆定义求方程 【分析】利用条件和向量的模得出，结合其几何意义，再利用椭圆的定义，即可求出轨迹方程. 【详解】设，， 由可得，， 上式的几何意义是： 与点，的距离之和是，且， 即， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，， 则，， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 10．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】令且，应用两点距离公式及点在椭圆上得到关于的函数，即可求最值. 【详解】令且，则， 而，故， 所以，当时，. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·期中）点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】易知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心，由椭圆定义以及定点到圆上点距离最值问题计算可得结果. 【详解】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 12．（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆的标准方程求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 即． 故答案为：. 13．（2022·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 . 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果. 【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，， 所以，故焦点三角形中最大为，故有2个； 又、对应的直角三角形各有2个； 综上，使得是直角三角形的点的个数为6个. 故答案为：6 14．（20-21高二下·上海宝山·期中）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.45 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、数量积的坐标表示 【分析】设，利用为锐角时，向量数量积大于零求解即可. 【详解】当为锐角时，则向量数量积大于零， 由椭圆方程可得，， 设， 则①， 又②， ①②联立化简得， 解得或，所以， 故答案为： 15．（23-24高二下·上海·期末）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 . 【答案】20 【难度】0.45 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求椭圆中的弦长、求椭圆的顶点坐标 【分析】对椭圆顶点连线是等腰三角形的腰还是底，进行讨论即可求出结果. 【详解】因为椭圆的方程为，所以， ① 如图1连接，当为等腰三角形的底时， 作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； 同理当为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足题意的等腰三角形； ② 如图2连接，当为等腰三角形的腰时， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立，解得或或， 即圆与椭圆交于，连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； 同理当为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足题意的等腰三角形； ③ 如图③，以为圆心，为半径作圆， 同理可以证明圆与椭圆交于， 连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； ④ 如图④，以为圆心，为半径作圆， 同理可以作出2个等腰三角形； ⑤因为由于椭圆性质知为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰； 综上所述满足题意的等腰三角形的个数有20个. 故答案为：20. 【点睛】方法点睛：多种情况的题目需要对情况进行详细讨论，做到不重不漏. 16．（23-24高二下·上海·期末）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意可得，设，由，可得，进而可得，可求椭圆的离心率. 【详解】根据题意可得，设， ，，， 又点在椭圆上， ，∴椭圆的离心率为． 故答案为：. 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可； （2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 18．（23-24高二下·上海·期中）已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若点A的横坐标为2，求的长. (3)设的上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求平面两点间的距离、求椭圆中的参数及范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据椭圆方程求，即可得离心率； （2）设，代入椭圆方程可得，利用两点间距离公式运算求解； （3）设，结合面积关系可得，在利用两点间距离公式结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）可知：， 设，则，解得， 所以. （3）由（1）可知：， 设， 则， 若，即，可得， 因为， 由，即，则，可得， 可得，即的取值范围为. 19．（21-22高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆交于A、B两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线l过点，求弦长； (3)若直线l不平行于坐标轴，点R为点A关于x轴的对称点，直线BR与x轴交于点N，求面积的最大值． 【答案】(1)短轴长为2，的周长为 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的弦长 【分析】（1）由椭圆标准方程求得可得短轴长，结合椭圆定义可得的周长； （2）求出直线方程，与椭圆方程联立求得交点坐标后由两点间距离公式得弦长； （3）设直线方程为（），设，，则，直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，，写出直线方程求得点坐标，得线段长，由此得面积，从而可得最大值． 【详解】（1）由题意，短轴长为， 又，，， 所以的周长为； （2），，又直线过点，所以，直线方程为， 由，得，，不妨取，， 所以； （3）由题意设直线方程为（），设，，则， 由，得， ，， 直线方程为， 令，得，所以， ，， 所以， 所以当是短轴端点时，，即面积的最大值为． 20．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）． (1)求椭圆焦点的坐标； (2)是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当设直线的斜率不为时，设直线与交于点．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题． （备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．） 【答案】(1)和 (2)存在， (3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆中的定直线、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆方程求出，即可得到焦点坐标； （2）①当直线斜率不为时，设直线的方程为：，、，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，利用数量积运算求解；②当直线斜率为，直接求出点的坐标，再计算数量积，即可得解； （3）首先得到、的方程，联立消去，求出，即可得到点在直线上. 【详解】（1）椭圆的方程为，则，，所以， 则椭圆的焦点坐标为和. （2）①l必存在斜率，当直线斜率不为时，设直线的方程为：，、， 联立并化简得：， ∴，解得，∴，， 又，，，， ∴， ， 若使为定值， 只需，即，其定值为， ②当直线斜率为，直线的方程为，则有、， 又，，，， ∴，当时，也为定值， 综上，存在一个常数，使为定值. （3）问题：S是否在一条定直线上？ 点在定直线上，理由如下： 由（2）可知，，， 当直线的斜率不为时，，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 则， 所以 ， 所以， 所以点的轨迹方程为，即点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 21．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆：，焦点为､，过x轴上的一点M（m，0）（）作直线l交椭圆于A､B两点. (1)若点M在椭圆内， ①求多边形的周长； ②求的最小值的表达式； (2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)① ；② (2) 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的参数及范围、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】（1）根据焦点三角形即可求周长，根据两点距离公式以及讨论，，，即可求出的单调性，由单调性即可求出. （2）存在直线l，使得成立, 当直线斜率存在时，设直线l的方程为，联立方程组，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围. 【详解】（1）①由椭圆：知，，所以， 根据椭圆的定义知，多边形的周长为：. ②设，则 =，其中， 令， ①当，即时，， ②当即，， ③当即，， 综上：. （2）存在直线l，使得成立.理由如下： 设直线l的方程为， 由得. ，化简得. 设，，则 ，. 若成立， 即，等价于. 所以. ， ， ， 化简得，即， 代入中，，恒成立， 所以或， 所以实数m的取值范围是. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 椭圆 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义. 2.会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题. 3.会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长. 知识点01．椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 知识点02．椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 知识点03．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 考点01．椭圆定义及辨析 1．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（22-23高二下·上海静安·期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 3．（22-23高二上·上海嘉定·期末）方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 . 考点02．椭圆上点到焦点的距离及最值 1．（24-25高二上·上海·单元测试）已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ．  2．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 . 3．（21-22高二下·上海宝山·期中）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为 . 考点03．判断方程是否表示椭圆并求其参数范围 1．（23-24高二上·上海·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·上海·阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·上海·期末）“方程表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（21-22高二·上海·课后作业）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 . 考点04．根据椭圆方程求a、b、c 1．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 2．（21-22高二上·上海闵行·期末）若为椭圆上的点，为椭圆的左右焦点，则的周长 ． 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 4．（21-22高二下·上海杨浦·期中）设､分别是椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则 . 5．（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 考点05. 椭圆中焦点三角形的周长与面积问题 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，椭圆C上的两个动点P、Q与满足三点共线，则的周长是 ． 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 . 3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 . 4．（2023·上海长宁·一模）已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是 . 考点06. 求椭圆的焦点、焦距． 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）椭圆的焦点坐标为 . 2．（24-25高二·上海·课堂例题）椭圆的焦距是 ． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 . 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． (1)； (2)． 5．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 考点07. 根据椭圆的有界性求范围或最值． 1．（24-25高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是 ． 2．（23-24高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是 . 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知椭圆的焦距为，点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上任一点，求的最大值与最小值. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）如果点是椭圆上一个动点，点是椭圆的左焦点，求的最大值和最小值． 5．（21-22高二下·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 ． 考点08. 椭圆离心率的求解问题. 1．（23-24高二上·上海·课前预习）椭圆的离心率 若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1） ； （2）趋向于1时，椭圆越 ；趋向于0时，椭圆越 ； 2．（24-25高二上·上海·期中）三角形三边长分别为4、5、6，则以边长为5的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的椭圆的离心率为 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 4．（24-25高二上·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为 ．    5．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（    ） A．12 B．2 C．4 D．8 一、单选题 1．（2023·上海闵行·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·上海青浦·二模）定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（23-24高二上·上海杨浦·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 二、填空题 5．（23-24高二上·上海·期末）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 ． 6．（23-24高二下·上海·期中）椭圆的离心率为 . 7．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程 . 8．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为 ． 9．（23-24高二上·上海奉贤·期中）已知，，且满足，则点的轨迹方程为 ． 10．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为 11．（24-25高二上·上海·期中）点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 12．（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 13．（2022·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 . 14．（20-21高二下·上海宝山·期中）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为 . 15．（23-24高二下·上海·期末）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 . 16．（23-24高二下·上海·期末）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 18．（23-24高二下·上海·期中）已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若点A的横坐标为2，求的长. (3)设的上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围. 19．（21-22高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆交于A、B两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线l过点，求弦长； (3)若直线l不平行于坐标轴，点R为点A关于x轴的对称点，直线BR与x轴交于点N，求面积的最大值． 20．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）． (1)求椭圆焦点的坐标； (2)是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当设直线的斜率不为时，设直线与交于点．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题． （备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．） 21．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆：，焦点为､，过x轴上的一点M（m，0）（）作直线l交椭圆于A､B两点. (1)若点M在椭圆内， ①求多边形的周长； ②求的最小值的表达式； (2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$