专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（期末复习压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01集合与常用逻辑用语、不等式 目录 专题01集合与常用逻辑用语、不等式 类型一、集合的运算求参数 类型二、集合的包含关系求参数 类型三、集合新定义 类型四、由命题的真假求参数 类型五、由充分条件必要条件求参数 类型六、充分条件与必要条件 类型七、含参不等式 类型八、不等式恒成立问题 类型九、利用不等式求取值范围 类型十、一元二次方程根的分布 类型十一、基本不等式 压轴专练 典例详解 今类型一、集合的运算求参数 含参数的集合运算问题，首先应分清数集还是点集，然后常常考虑对参数进行分类讨论，并在集合的运 算过程中，应注意空集。 例1.(24-25高一上江西上饶期末)已知集合A=xV3x+2<11},B=1,2,3,则AnB的非空真子集的 个数为() A.4 B.1 C.2 D.3 变式1-1.(24-25高一上广东深圳实验学校高中园)设集合A={x|-3<x<4},集合 B=x|2-a<x<3+2a}. (1)若a=1,求AnB和AUB: (2)AUB=A,求实数a的取值范围， 变式1-2.(24-25高一上云南昭通第一中学教研联盟期末)已知集合A=x2<x<6,B=xa<X<3a-2, (1)若a=3,求AUB,AnCRB: (2)若A∩B=B,求a的取值范围. 变式1-3.(24-25高一上广西河池期末)已知集合U=1,2,3,5,7,9,A=2,3,5,B=1,3,5,9. (1)求An CuB,CuAnCuB: (2)若集合C=xx-2x-a=0,是否存在实数a,使得AUC=A？若存在，试求出实数a的值；若不 存在，请说明理由. 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、集合的包含关系求参数 1.认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题， 2.分析两个集合之间的关系，找出关系式，并求出参数。 3.验证结果是否符合题意，并进行调整和优化。 例2.(24-25高一上江苏泰州兴化中学，期末)若{a,b,c}C{-3,-2,-1,1,2,3},则a-2b-3c的最大值为 () A.12 B.13 C.16 D.18 变式2-1.(24-25高一上江西丰城中学期末)设集合A=1,-2,B=乙，若A∩B=B,则实数a的值有 ()个 A.0 B.3 C.2 D.1 变式2-2.(24-25高一上四川眉山期末)己知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},C={xVm-1≤x≤2m+3}, 且AnB={1,a2}. (1)求实数a的值： (2)若D={x|-a≤x≤2a},CUD=D,求实数m的取值范围， 变式2-3.(24-25高一上广东汕尾)设集合A=xx2-5x+6=0,B=x|a-1x2+4x-8=0,若 AUB=A,求实数a的取值范围. ≈类型三、集合新定义 解决集合新定义问题的着手点： (1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识 (2)合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的 关键 (3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项当不满足新 定义的要求时，只需通过举反例来说明， 例3.(24-25高一上·陕西榆林期末)给定数集M,若对于任意x,y∈M,都有x+y∈M,且x一y∈M,则 称集合M为闭集合，则下列说法正确的是() A.自然数集是闭集合 B.无理数集是闭集合 C.集合M={xVx=3k,k∈Z}为闭集合 D.若集合M1,M2为闭集合，则M,UM2也为闭集合 变式3-1.(24-25高一上浙江温州期末)（多选）已知整数集A=a1,a2,…,Qn，B={x|x=a+b或 x=a-b,a≠b,a∈A,b∈A,若存在m∈B,使得m=ck,c∈Z,k∈N,则称集合A具有性质Mk, 则() A.若A=1,2,则A具有性质M2)B.若A=1,2,3,则A具有性质M3 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若n=4,则A一定具有性质M5)D.若n=7,则A一定具有性质M10 变式3-2.(24-25高一上·湖南长沙雨花区，期末)（多选）给定数集M,若对于任意a,b∈M,有a+b∈M, 且a-b∈M,则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是() A.集合M=-4,-2,0,2,4为闭集合 B.正整数集是闭集合 C.集合M=(为闭集合 D.若集合A1,A2为闭集合，则A1UA2为闭集合 变式3-3.(24-25高一上·甘肃武威第七中学.期末)已知集合A=(, (1)求A∩B; (2)若定义集合A⊕B=i,求A⊕B中元素的个数. 之类型四、由命题的真假求参数 根据命题的真假求参数的取值范围，是逻辑与数学结合的常见题型。其核心思路是将命题的真假条件转 化为关于参数的数学不等式或方程，再通过求解这些条件来确定参数范围： 一般步骤： 1分析命题结构 2.确定真假条件 3转化数学条件 例4.(22-23高一上·安徽准北实验高级中学，期末)若“3x∈R,ax2-3ax+9≤0”是假命题，则a的取值范 围为() A.0,4 B.0,4 C.0,4 D.4,+∞ 变式4-1.(23-24高一上湖北荆州八县区期末)若命题]x∈R,一x2-2mx+2m-3≥0为真命题，则m的 取值范围为 变式4-2.(23-24高一上广东揭阳期末)已知命题p:Hx∈R,x2+x+a≠0，若命题p是假命题，则实数a的 取值范围是 变式4-3.(24-25高一上河南豫东名校期末)若命题“3x∈-1,2，使得2x+mx-m-10≥0”是假命题， 则m的取值范围是 方类型五、由充分条件必要条件求参数 1.把充分、必要转化为集合之间的关系 2.根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解。 例5.(23-24高一上山东临沂第一中学.期末)已知x表示不大于x的最大整数，A=yVy=X-[x], B=yV0≤y≤m,若y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是， 变式5-1.(24-25高一上云南昆明期末)已知全集U=R,集合A=xVx2-4x+3≤0，B={xV1≤x≤5}， C={xV2a≤x≤a+7}. (1)求AUCUB: 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若“x∈C”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 变式5-2.(23-24高一上河北唐县第一中学.期末)已知集合A=乙，B=(且B≠0. (1)若“命题p:3x∈A,x∈B”是真命题，求实数m的取值范围： (2)若s:x∈B是t:x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围， 变式5-3.(23-24高一上·河南漯河高级中学期末)已知 A=xV3x2-8x+4>0},B={xV -2 <0} x2-ax-2a (1)若(CRA)nB=O,求a的取值范围： (2)设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 类型六、充分条件与必要条件 1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p,则q”为真命题， 2.p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立，但条件p不成立时，结论q未必 不成立 例6.(24-25高二下，黑龙江牡丹江第一高级中学.期末)命题“3x∈[1,2]，2ax+2-a>0”为假命题的一个 充分不必要条件为() A.（-0∞，-2 B. C.(-∞，2)》 D. 变式6-1.(24-25高一四川眉山彭山区第一中学期末)命题“3x∈-1,2， X-a≤0”是真金题的-个 充分不必要条件是() A.a20 B.a≥-1 C.a≤0 D.a≥1 变式6-2.(21-22高一上·云南临沧民族中学.期末)二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴没有交点的充要条件 是() A.m-4n>0 B.m2-4n<0 c.m2-4n=0 D.m=1,n=2 变式6-3.(24-25高一上四川德阳外国语学校期末)已知集合A=乙，B=(. (1)若Hx∈A,均有x庄B,求实数a的取值范围： (2)若a>2,设p:3x∈B,x庄A,求证：p成立的充要条件为2<a<3. 类型七、含参不等式 含参不等式的解法需要根据参数的不同情况进行分类讨论： 1.二次项系数分类：首先看二次项系数是否为0，若a=0则退化为一元-次不等式。 2.判别式分析：当a≠0时，需计算判别式△=b-4ac,根据△>0、△=0、△<0分别对应方程有两个根、 一个根或无实根，从而确定解集范围 3.根的大小比较：若△)0且含参数的两根x、2,大小不确定，需进一步讨论参数！ 例7.(26-26重点2不等式性质与基本不等式期中)关于x的不等式x2-2m+1x+4m≤0的解集中恰有4 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个整数，则实数m的取值范围是() A. B. C. D.{mv-1<m≤- 变式7-1.(24-25高一上·吉林友好学校期末)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为xx←1或x>3},，则下列 结论正确的是() A.a>0 B.c<0 C.a+b+c<0 D.cx-bx+a<0的解集为U 变式7-2.(24-25高一下.安徽毫州涡阳县·期末)已知关于x的不等式ax2-bx+1>0的解集为 -00 ,3Um,+oo,其中m>0,则b+后的最小值为（） m A.4 B.2V2 C.2 D.1 变式7-3.(24-25高一上安徽合肥第一中学.期末)已知关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为x1<x<2, 则不等式X二0<0的解集是() x-b A. B. c.x-3<x<1 D.x-1<x<3 类型八、不等式恒成立问题 恒成立问题的解题的基本思路是： 根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 例8.(24-25高一上.重庆部分区期末)若不等式a-2x-2a-2x-4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的 取值范围为() A.-∞，-2U2,+o B.-0∞，-2U2,+o C.-2,2 D.-2,2 变式8-1.2425高一上山东聊城期末已知0<a<1,若+，b。≥1恒成立，则实数b的取值范围为 a 1-a () D.0,4 变式8-2.(24-25高一上内蒙古乌兰察布：)若不等式ax2-ax+1-a>0对Hx∈R恒成立，则实数a的取值 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 范围是 变式8-3.(24-25高一上江苏镇江丹阳期末)已知不等式ax2-3x+b<0的解集为心. (1)求a,b的值： (2)若不等式mx+mx+3a≥0对于x∈R均成立，求实数m取值范围. 今类型九、利用不等式求取值范围 方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解 方法二.由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解 例9.(24-25高一上·安徽无为第一中学等校期末)已知-3≤a+b≤-2,1≤a-b≤4，则3a+b的取值范围 是() A.[-3,0] B.[-5,3] c.[-5,0] D.[-2,5] 变式9-1.(24-25高一上·广东汕尾)已知3<a+b<4,1<a-b<2,则2ab的取值范围是() A.4,18 B.2,9 c.5,15 515 D.22 变式9-2.(24-25高一上·湖南衡阳衡阳县第三中学.期末)已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9， 则4x+y范围是 变式9-3.(24-25高一上·北京西城区·期末)已知实数a,b满足-1<a<1,-1<b<1. (1)求a+b和ab的取值范围； (2)证明：1+ab>a+b. 类型十、一元二次方程根的分布 所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况确定方程中系数的取值范围 问题 解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面 建立关于系数的不等式（组）进行求解 (1)判别式△的符号； b (2)对称轴x=2a 与所给区间的位置关系 (3)区间端点处函数值的符号 例10.(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校期末)关于x的一元二次方程x2+a2-1x+a-2=0有一个 根小于-1，另一个根大于1，则a的取值范围是」 变式10-1.(22-23高一上江苏南京师范大学附属中学期末)（多选）设m为实数，已知关于x的方程 mx2+m一3x+1=0,则下列说法正确的是() A.当m=3时，方程的两个实数根之和为0 B.方程无实数根的一个必要条件是m>1 c.方程有两个不相等的正根的充要条件是0<m<1 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0 变式10-2.(23-24高一下辽宁七校)(1)解关于x的不等式2x2-a+2x+a<0: (2)若方程2X-Q+2x+a=X+1有两个正实数根x1,X,求之+的最小值， X1 X2 变式10-3.(24-25高一上浙江杭州上城区杭七中，期末)已知关于x的方程3mx2+3px+4g=0(其中 m,p,q均为实数)有两个不等实根x1,X2x1<x2: (1)若p=q=1,求m的取值范围： (2)若x1,X2满足x+=X1X2+1,且m=1,求p的取值范围 3)若x,x2为两个整数根，p为整数，且m=二卫，g q=,求x 类型十一、基本不等式 基本不等式方法是高中数学中的一个重要内容，以下是一些常用的方法和技巧总结： 1.配凑法：通过调整项或系数，使得表达式符合基本不等式的形式。这通常涉及到对变量进行适当的 变换或代换。 2.基本不等式法（直接法）：直接应用基本不等式来求解问题。 3.换元法：当表达式中的变量关系复杂时，可以通过引入新的变量来简化问题。这有助于将问题转化 为更易于处理的形式。 4多次利用基本不等式：在某些情况下，可能需要多次应用基本不等式才能得到最终答案。这需要注意 不等号成立的条件能否同时成立 5.根的判别式法：在某些二次方程或不等式问题中，可以利用根的判别式来求解。 6.“1”的代换：通过乘以或除以1（通常是一个复杂的表达式），来简化问题或使其符合基本不等式的 形式 7.构造法：通过观察题目中的等式和所求式子，通过“凑系数”的方法构造新的等式，再结合基本不 等式进行解答。 此外，还有一些其他技巧，如消元法、万能k法、轮换对称、权方和不等式和柯西不等式等。这些方 法在特定类型的问题中非常有用。 例11.(25-26高一上·辽宁营口九师联盟期中)已知m>n>0,则2m+、8+ 一的最小值为() m+n m-n A.42+1 B.4V2+2 c.22+4 D.2V2+8 交式112以25商下四训的州月若和>0.b>0.3a+2b=,期2+63的最小消起 1 变式1-2.2425高一上辽宁五校联考期末若a>0,b>0,a+b=1,则0+3b+2,-1的最大值为 a+2b b+1 2b 变式11-3.2425高一上江苏南通如皋期末若正实数，y满足女-。=2X+y-1,则+匕的最小值 e2x e 压轴专练 一、单选题 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高一上·安徽合肥育英高级中学)对于集合A,B,我们把集合且X主B叫做集合A,B的差集，记 作A-B.已知集合M=-2,1,N=元，则下列说法正确的有() A.若t=0,则M-N=-2,0 B.若t=1,则N-M=1,2 C.若M-N=CMN,则-2≤t≤-1D.存在t,使得M-N=N-M 2.(22-23高一上·浙江宁波九校期末)“a>1”是“函数fx=ax2-2xa∈R在1，+o∞上单调递增”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(23-24高一上.重庆第一中学校期末)若“x>2a2-3”是“1≤x≤4”的必要不充分条件，则实数a的取 值范围是() A.-2,2B.-V2,2 c.（-1,1 D.-1,1 4.2425高一下湖南地质中学期未)已如x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2,则+1+2少的最 x y+1 小值为() 9 B. C. 3 4 5.23-24高一上贵州铜仁期末当x∈-1,1时，不等式2kX-kx-3<0恒成立，则k的取值范围是 8 () A.-3,0 B.-3,0 3 6.(24-25高一下陕西师范大学附属中学期末)实数x,y满足5x>2y>0,则-y+×的最小值是 5x-y y () A.5+1 25+1 B. c.5+2 0.25+2 5 5 5 5 7.(24-25高一上·甘肃平凉第一中学期末)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是（) A.若a>b,则ac2>bc2 8、若2>2，则ab bb+c C.若a<b<c<0,则 D.若a>b,则a2>b2 aa+c 1+1<2,则b 8.24-25高一上云南楚雄州期末已知二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为x1,X2,X+x 的取值范围是() 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 32 B.-0, 3U6,+∞ C. 3U2,+ -, D.2,6 二、多选题 9.24-25高一下云南宣威部分学校)已知1+2+3+…+n=n+n若对于非空数集A,存在kk>1个两两交 2 集为空的集合B1,B2,…,Bk,使得BUB2U…UBk=A,且B1,B2,…,Bk任意两个集合的所有元素之和 均相等，则称集合A为“k可分集”.设An={1,2,…,n},则() A.A4是“4可分集” B.若A4k是“4可分集”，则k为偶数 C.对于任意的偶数k,Ak不为“k可分集”D.对于任意的奇数k,A3k均为“k可分集” 10.(24-25高一上·云南昆明·期末)若a>0,b>0,a+b=3,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 () A.ab 4 B.Va+Vb≤6 c.a2+b2≥9 D.+≥4 ab3 11.(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学.期末)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x←2或 X>4},下列说法正确的是() A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x←4} D.不等式cX-bx+a<0的解集为i或x 2 三、填空题 12.2425高一下湖北恩施州期末记一个长方形的长为0，宽为b,a>b且a,b∈N.若a+b=中-1，则 4 该长方形周长的最小值为一· 四、解答题 13.(24-25高一上，安徽无为第一中学等校，期末)已知数集M=m1,m2,·,mk(k≥2，且k∈N),若 Hm,∈M,均有-m,M,则称M具有性质6.规定集合A=x,yx∈M,y∈M,x+y∈M,集合 B=x,yx∈M,y∈M,x-y∈M,设集合A中的元素个数为a,集合B中的元素个数为b. 9/10 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)试判断集合C={-1,0,2,5}和集合D={-2,1,3,4}是否具有性质6： (2)若M具有性质6，k=20,证明：b≤190； (3)若M具有性质6，试比较a,b的大小，并说明理由. 10/10 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 目录 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 类型一、集合的运算求参数 类型二、集合的包含关系求参数 类型三、集合新定义 类型四、由命题的真假求参数 类型五、由充分条件必要条件求参数 类型六、充分条件与必要条件 类型七、含参不等式 类型八、不等式恒成立问题 类型九、利用不等式求取值范围 类型十、 一元二次方程根的分布 类型十一、基本不等式 压轴专练 类型一、 集合的运算求参数 含参数的集合运算问题，首先应分清数集还是点集，然后常常考虑对参数进行分类讨论，并在集合的运算过程中，应注意空集。 例1．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】用穷举法求出集合，再求集合的非空真子集的个数即可. 【详解】因为，，所以，所以的非空真子集的个数为． 故选：C. 变式1-1．(24-25高一上·广东深圳实验学校高中园·)设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 变式1-2．(24-25高一上·云南昭通第一中学教研联盟·期末)已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求集合B，再结合集合间的运算求解； （2）由题意可得，分类讨论和，结合包含关系分析求解. 【详解】（1）因为， 若，则，则或， 所以，. （2）若，可知， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 所以的取值范围为. 变式1-3．(24-25高一上·广西河池·期末)已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或3或5. 【分析】（1）求出，再求； （2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案. 【详解】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 类型二、集合的包含关系求参数 1.认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题， 2.分析两个集合之间的关系，找出关系式，并求出参数。 3.验证结果是否符合题意，并进行调整和优化。 例2．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 变式2-1．(24-25高一上·江西丰城中学·期末)设集合，若，则实数的值有（   ）个 A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据交集的结果转化为子集关系，分类讨论求出即可得解. 【详解】因为，所以， 若，由知，满足； 若，则， 由可知，或，解得或， 综上，的取值为. 故选：B. 变式2-2．(24-25高一上·四川眉山·期末)已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解. （2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解. 【详解】（1）由，得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，符合题意， 所以. （2）由（1）得，，由，得， ①若，此时，即，符合题意； ②若，由，则，解得：， 所以实数的取值范围是. 变式2-3．(24-25高一上·广东汕尾·)设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解. 【详解】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意. 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 类型三、集合新定义 解决集合新定义问题的着手点: (1)正确理解新定义:剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识 (2)合理利用集合性质:运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键. (3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明， 例3．(24-25高一上·陕西榆林·期末)给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 变式3-1．(24-25高一上·浙江温州·期末)（多选）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可． 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 变式3-2．(24-25高一上·湖南长沙雨花区·期末)（多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 【答案】ABD 【分析】根据新定义依次判断，举反例得到ABD错误，取，得到，，C正确，得到答案. 【详解】对于选项A：当集合时，而，集合不为闭集合，错误； 对于选项B：设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，错误； 对于选项C：当}时，设， 则，，正确； 对于选项D：设是闭集合，且， 而，此时不为闭集合，错误． 故选：ABD． 变式3-3．(24-25高一上·甘肃武威第七中学·期末)已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法表示出，然后根据交集的概念求解出； （2）先分析和的可能取值，然后分析取值时对应的取值个数，由此可确定出中元素的个数. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以. （2）由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 所以中一共有个元素. 类型四、由命题的真假求参数 根据命题的真假求参数的取值范围，是逻辑与数学结合的常见题型。其核心思路是将命题的真假条件转化为关于参数的数学不等式或方程，再通过求解这些条件来确定参数范围。 一般步骤： 1.分析命题结构 2.确定真假条件 3.转化数学条件 例4．(22-23高一上·安徽淮北实验高级中学·期末)若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 变式4-1．(23-24高一上·湖北荆州八县区·期末)若命题为真命题，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质求解可得. 【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解， 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得，解得或． 故答案为： 变式4-2．(23-24高一上·广东揭阳·期末)已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题与命题的否定的真假关系求解. 【详解】命题的否定命题为：， 因为命题是假命题，所以为真命题， 所以，解得， 故答案为： 变式4-3．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据原命题的否定是真命题，令 ，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令 ， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 类型五、由充分条件必要条件求参数 1.把充分、必要转化为集合之间的关系 2.根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解。 例5．(23-24高一上·山东临沂第一中学·期末)已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解. 【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设， 此时由的定义可知，有， 所以， 若是的充分不必要条件，则 ， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式5-1．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）转化为集合的包含关系求解． 【详解】（1）， 或， 所以或． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得． 所以的取值范围是． 变式5-2．(23-24高一上·河北唐县第一中学·期末)已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 变式5-3．(23-24高一上·河南漯河高级中学·期末)已知． (1)若，求的取值范围； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式化简集合或，根据集合的子集关系即可求解 （2）根据必要不充分条件转化为是的真子集，即可结合（1）求解. 【详解】（1）由得或， 则， 又， 由于，则， 当时，，不符合要求， 当时，或，则，解得， 当时，或，则，解得， 综上可知：的取值范围为 （2）由于是的必要不充分条件，则是的真子集, 由（1）知：时，， 当时，则或，无解， 所以当时，满足题意. 类型六、充分条件与必要条件 1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题， 2.p是q的充分条件说明:有了条件p成立，就一定能得出结论q成立，但条件p不成立时，结论q未必不成立. 例6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“，”为真命题，从而得，即可求解. 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A. 变式6-1．(24-25高一·四川眉山彭山区第一中学·期末)命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】∵，∴. 若命题“，”是真命题，则，即. 命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集，根据选项可知D选项符合题意. 故选：D. 变式6-2．(21-22高一上·云南临沧民族中学·期末)二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】运用二次函数与一元二次方程知识，首先根据题意由二次函数的图象与x轴没有交点，解得可进一步求范围. 【详解】由二次函数的图象与x轴没有交点， 故，得， 故答案为：B 变式6-3．(24-25高一上·四川德阳外国语学校·期末)已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案； （2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】（1）． 因为，均有，所以． 当时，，满足题意； 当时，，解得，所以． 综上，，即的取值范围是． （2）证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 类型七、含参不等式 含参不等式的解法需要根据参数的不同情况进行分类讨论: 1.二次项系数分类:首先看二次项系数是否为0，若a=0则退化为一元-次不等式。 2.判别式分析:当a≠0时，需计算判别式△=b2-4ac，根据△>0、△=0、△<0分别对应方程有两个根、一个根或无实根，从而确定解集范围、 3.根的大小比较:若△>0且含参数的两根x1、x2,大小不确定，需进一步讨论参数. 例7．(26-26·重点2不等式性质与基本不等式·期中)关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得，根据的范围，分类讨论，求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 变式7-1．(24-25高一上·吉林友好学校·期末)已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解. 【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误； 对于BCD，是方程的两个根， 所以， 所以， ，故BC错误，D正确； 故选：D. 变式7-2．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知：，m是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 变式7-3．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 类型八、不等式恒成立问题 恒成立问题的解题的基本思路是: 根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 例8．(24-25高一上·重庆部分区·期末)若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 变式8-1．(24-25高一上·山东聊城·期末)已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 变式8-2．(24-25高一上·内蒙古乌兰察布·)若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 变式8-3．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得不等式对于均成立，分与两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，； （2）由（1）知，不等式对于均成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，应满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 类型九、利用不等式求取值范围 方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解 方法二.由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解 例9．(24-25高一上·安徽无为第一中学等校·期末)已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 变式9-1．(24-25高一上·广东汕尾·)已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 变式9-2．(24-25高一上·湖南衡阳衡阳县第三中学·期末)已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 变式9-3．(24-25高一上·北京西城区·期末)已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 类型十、一元二次方程根的分布 所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况确定方程中系数的取值范围问题. 解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解 (1)判别式△的符号; (2)对称轴x=-与所给区间的位置关系 (3)区间端点处函数值的符号 例10．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 变式10-1．(22-23高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)（多选）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m满足的不等式，解出m的范围，判断正误. 【详解】对于A选项，时无实根，A错误； 对于B选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得，一个必要条件是，B正确； 对于C选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得； 对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D正确； 故选：BCD. 变式10-2．(23-24高一下·辽宁七校·)（1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）6 【分析】（1）由得，根据与1的大小分类讨论即可求解； （2）由已知得，利用韦达定理得，进而得，令，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）， 当，即时， ，      当，即时，无解， 当，即时， ， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号，故的最小值为6. 变式10-3．(24-25高一上·浙江杭州上城区杭七中·期末)已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意得二次项系数不为0且判别式大于0，列出不等式即可求解； （2）结合韦达定理以及判别式大于0，解一元二次不等式即可求解； （3）由题意首先得到，，再结合均为整数，即可得的值，分类讨论解一元二次方程即可求解. 【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解， 则，解得且， 所以的范围是 . （2），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，解得． 所以的取值范围为． （3）依题意：，且， ， ， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． 类型十一、 基本不等式 基本不等式方法是高中数学中的一个重要内容，以下是一些常用的方法和技巧总结: 1.配凑法:通过调整项或系数，使得表达式符合基本不等式的形式。这通常涉及到对变量进行适当的变换或代换。 2.基本不等式法(直接法):直接应用基本不等式来求解问题。 3.换元法:当表达式中的变量关系复杂时，可以通过引入新的变量来简化问题。这有助于将问题转化为更易于处理的形式。 4多次利用基本不等式:在某些情况下，可能需要多次应用基本不等式才能得到最终答案。这需要注意不等号成立的条件能否同时成立 5.根的判别式法:在某些二次方程或不等式问题中，可以利用根的判别式来求解。 6.“1”的代换:通过乘以或除以1(通常是一个复杂的表达式)，来简化问题或使其符合基本不等式的形式 7.构造法:通过观察题目中的等式和所求式子，通过“凑系数”的方法构造新的等式，再结合基本不等式进行解答。 此外，还有一些其他技巧，如消元法、万能k法、轮换对称、权方和不等式和柯西不等式等。这些方法在特定类型的问题中非常有用。 例11．(25-26高一上·辽宁营口九师联盟·期中)已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 变式11-1．(24-25高一下·四川泸州·期末)若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 变式11-2．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)若，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】由已知可知，代入到所求式子，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，时取等号． 故答案为： 变式11-3． (24-25高一上·江苏南通如皋·期末)若正实数x，y满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】将已知等式变形，得到，再由基本不等式求解即可； 【详解】因为，变形为， 令，该函数为R上的增函数，则， 可得，即， 所以，则，当且仅当， 即时取等号. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知等式变形后观察两边为对称形式，构造函数，利用单调性得到. 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高一上·安徽合肥育英高级中学·)对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】C 【分析】先化简集合，根据差集得定义可判断AB选项；根据，，结合题意，转化为集合之间的关系可判断CD选项. 【详解】由，得，解得， 则， 对于A，当时，，又，则，故A错误； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，由定义知，又， 则，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，， 又，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：C. 2．(22-23高一上·浙江宁波九校·期末)“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案. 【详解】对称为轴， 若，又开口向上，在上单调递增， 又，故在上单调递增成立； 若函数在上单调递增， 单调递减，不成立， 则得， 不能推出， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 3．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 4．(24-25高一下·湖南地质中学·期末)已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 5．(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 6．(24-25高一下·陕西师范大学附属中学·期末)实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的范围，然后将目标式转化为，利用基本不等式可得. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．(24-25高一上·甘肃平凉第一中学·期末)若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C 8．(24-25高一上·云南楚雄州·期末)已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系和不等式的性质运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以，即，解得：或． 因为有两个不等根，所以， 解得：或，则的取值范围是． 故选：B 二、多选题 9．(24-25高一下·云南宣威部分学校·)已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 【答案】BCD 【分析】利用定义易判断A，利用定义计算可判断BC；设奇数，利用构造法证明即可判断D. 【详解】对于A，因为均只有一个元素，即元素之和为1，2，3，4， 互不相等，故A错误； 对于B，若为奇数，那么2k能被4整除，因为能被4整除， 所以2k必须能被4整除，因此为偶数，故B正确； 对于C，若为偶数，那么能被整除，于是必然是整数， 这与为偶数矛盾，所以不为“可分集”，故C正确； 对于D，不妨设奇数，下面给出一种构造： 由于，则前组为 ， ， 后组为 ，因此对于任意的奇数均为“可分集”，故D正确. 故选：BCD. 10．(24-25高一上·云南昆明·期末)若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用给定条件，结合基本不等式，逐项分析、计算判断作答即可. 【详解】对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ABD 11．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到 ，，逐项判断即可； 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 12．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为 ． 【答案】34 【分析】方法1：根据等式可用含的式子将表示出来，然后根据的范围确定的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法2：将等式变换成因式分解的形式，然后根据的范围确定的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法3：将等式变换成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质求出长方形周长的最小值. 【详解】法1：由得，，所以． 又因为，即，，从而， 所以，从而该长方形的周长最小值为． 法2：得，，因为，所以，后面方法同上． 法3：， 当且仅当取得“=”号，此时，故该长方形周长的最小值为34． 故答案为：34. 四、解答题 13．(24-25高一上·安徽无为第一中学等校·期末)已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由定义即可直接判断； （2）由新定义得到集合中元素的个数不超过，即可求证； （3）对集合中的元素分两种情况讨论：，得到或，得到，，进而得到，同样讨论集合中的元素，得到，即可求证； 【详解】（1）对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 对于集合，因为，，，，，，，，所以集合具有性质． （2）依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 因此集合中元素的个数不超过，故． （3）对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论： ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得． 【点睛】关键点点睛：通过或推出，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，同理推出集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $