专题02 函数（期末复习压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题02函数 目录 专题02 函数 类型一、函数的定义域 类型二、已知函数的定义域值域求参数 类型三、函数的解析式与求值 类型四、分的函数最值问题 类型五、抽象函数问题 类型六、函数新定义 类型七、函数的值域 类型八、函数零点问题 类型九、函数的最值求参数 类型十、 函数的单调性求参数 类型十一、函数单调性解不等式 类型十二、函数不等式恒成立问题 类型十三、函数有解问题 类型十四、函数的奇偶性解不等式 类型十五、函数的奇偶性求值 类型十六、函数的奇偶性求参 压轴专练 类型一、函数的定义域 求函数定义域常见结论： (1)分式的分母不为零； (2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零； (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)； (6)零次幂的底数不能为零； (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 例1．(23-24高一上·山东青岛南区青岛海尔学校·期中)函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再由抽象函数求定义域的法则可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域为， 所以， 所以需满足， 解得且. 故选：C. 变式1-1．(22-23高一上·河北邢台·期末)已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域列出不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，解得，即的定义域为， 若有意义， 则 解得，即的定义域为. 故选：A 变式1-2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 变式1-3．(23-24高一上·辽宁朝阳建平县第二高级中学·期末)若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域求出的定义域，然后求解的定义域即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以，所以， 所以的定义域是，故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是. 故选：A. 类型二、已知函数的定义域值域求参数 含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明; 例2．(24-25高一上·贵州毕节金沙县·期末)已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 变式2-1．(24-25高一上·四川安岳中学·期末)若函数的定义域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，问题转化不等式非负的问题，分，两种情况讨论即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以恒成立， 当时，不等式为，故符合题意； 当时，要使恒成立，则需满足， 解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：C 变式2-2．(24-25高一上·河南驻马店·期末)若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数在定义域上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案. 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 变式2-3．(24-25高一上·河南南阳南阳六校·期末)设函数，已知. (1)求m的值； (2)若存在实数，使得在区间上的值域为，求的取值范围； (3)若k取满足（2）中条件的k的最小值，求不等式的解集 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，代入函数解析式消去可求m的值； （2）在区间上的值域为，转化为方程有两个不相等的实根，列不等式组可求的取值范围； （3）原不等式转化为，构造函数，结合，根据函数的单调性，可得原不等式等价于，进而可得到答案. 【详解】（1）∵， ∴，即， ∴，∴. （2）由（1）知，则在上单调递增， ∵在区间上的值域为， ∴，. ∴方程有两个不相等的实根，则且， ∴方程在上有两个不相等的实根. ∴ 解得， ∴k的取值范围是 . （3）由题意知，. 由，得， 整理得. 设函数，则在上单调递增，注意到， ∴原不等式等价于. 由，解得或，由，解得， ∴原不等式的解集为. 【点睛】思路点睛：解函数不等式常见思路：1，根据不等式结构特征构造函数；2，判断函数的单调性；3，将函数不等式转化为自变量不等式；4，结合函数的定义域进一步化简. 类型三、函数的解析式与求值 六种求函数解析式的方法： 代入法 待定系数法 配凑法 函数方程组法 换元法 赋值法 例3．(24-25高一下·广东汕尾·期末)已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（    ） A． B． C．2025 D．2027 【答案】C 【分析】由函数在定义域上是单调函数，且，知是一个常数，令，得，结合的单调性可求得，即可求出的解析式以及的值. 【详解】由函数在定义域上是单调函数，且， 知是一个常数，令，则， ∴， ∵在定义域上单调，且, ∴，即 ∴. 故选：C. 变式3-1．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)存在函数满足对于任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】该题的意思是由四个选项中的等式哪一个能够确定出一个函数，举例说明A、B、C不正确；求出满足的函数解析式说明D正确. 【详解】解：A.，一个对应两个，错误； 　B.， ，一个对应两个，错误； C. ， ，一个对应两个，错误； D. ，则，正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，关键是对题意的理解，是中档题. 变式3-2．(24-25高一上·山东日照·期末)已知函数是定义在上的增函数，当时，.若，其中，则 .. 【答案】9 【分析】根据题意，用列举法一一验证即可. 【详解】由题意，成立，否则若，则，即， 矛盾，故， 可知，所以，所以， 若，得，所以，矛盾； 若，得，所以，这与是上的增函数矛盾； 所以， ，得，，得， ，可得. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用反证法证明成立. 变式3-3．(23-24高一上·福建龙岩·期末)已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数a，b满足，若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，利用特殊值求出，，根据奇偶性求出即可得到结果． 【详解】∵对于任意实数a，b满足， ∴当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则． 令，得，即，所以函数是奇函数． 令，，则，得， 令，，则， ∵函数是奇函数，∴， ∴． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理赋值得到为奇函数，求出的值，从而得到的值． 类型四、分段函数最值问题 方法: （1）明确分段的依据，规范表示分段函数; （2）利用各个分的函数增减性求最值 例4．(24-25高一上·湖南株洲渌口区第三中学·期末)已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，并结合分段函数的性质求解， 【详解】在上单调递减，且， 而在上单调递增， 要使存在最小值， 结合分段函数的图象可得： ，即， 故选：D. 变式4-1．(24-25高一上·北京丰台区·期末)已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】A 【分析】根据题设可得时，恒成立，故可求参数的取值范围. 【详解】因为时，，故需时，恒成立， 故即，所以的最大值是， 故选：A. 变式4-2．(24-25高一上·山东德州·期末)定义，已知，，记函数，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】先根据题意求出解析式，然后求出每一段上函数的值域，从而可求出的值域，进而可求出的最大值. 【详解】由，得，化简得， 解得或， 所以， 在上递增，所以， 在上递减，所以， 在上递减，所以，得， 综上，， 所以的最大值是. 故答案为： 变式4-3．(24-25高一上·山东聊城·期末)已知函数，用表示中的较小者，记为，若函数的最大值小于1，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据进行分类讨论，画出对应函数的草图，数形结合分析即可得出结论. 【详解】当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值为0，满足函数的最大值小于1，符合题意. 时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值小于1，符合题意. 当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值等于1，不符合题意. 当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值等于1，不符合题意. 综上所述，满足题意的实数的取值范围为 故答案为： 类型五、抽象函数问题 1.特殊值法 通过选取特殊值，简化函数方程，快速推导函数特性。 2.赋值法 针对多元函数方程，通过系统赋值建立方程关系。 3.函数性质分析法 4.模型函数类比法 将抽象函数与常见具体函数类比，辅助猜想结论(不可作为证明依据) 例5．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论. 【详解】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得， 所以，又， 故， 由，取，， 可得， 故选：D. 变式5-1．(24-25高一上·贵州黔西南州·期末)已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 【答案】D 【分析】由函数性质通过赋值得到和，即可求解； 【详解】由可得： ， ， ， ， ， 累加可得：， 又， 得：， 相加可得：， 所以， 故选：D 变式5-2．(24-25高一上·陕西部分学校·期末)（多选）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC． 变式5-3．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数都有，若，则 . 【答案】/ 【分析】采用“赋值法”求函数值. 【详解】令得： ； 令得： ； 令得：； 令，得： . 所以. 故答案为：. 类型六、函数新定义 1.仔细阅读定义:明确新定义的含义、条件和适用范围，这是解题的基础。 2.转化到常规知识:将新定义的问题转化为熟悉的函数性质或代数运算。 例6．(23-24高一上·河北沧州部分学校·月考)欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则 . 【答案】 【分析】根据函数的新定义计算得出函数值即可. 【详解】在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个， 所以. 故答案为：. 变式6-1．(24-25高一上·广西百色平果铝城中学·期末)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 由图象知的值域为. 故答案为： 变式6-2．(24-25高一上·安徽蒙城第一中学·期末)我们用表示实数到离它最近的整数的距离，例如，则的最小值与最大值之和是 ；对于函数，若满足，则有 种可能的值． 【答案】 /0.5 18 【分析】根据定义可解第一空，令，，所以等价于，因此与的小数部分要么相同，要么和为1两种情况分类讨论即可. 【详解】由定义可知，所以的最小值与最大值之和是； 设，， ，又，即， 则与的小数部分要么相同，要么和为1， 当小数部分相同时，且， 此时，所以的值有9种情况， 当和为1时，且， 此时，所以的值有9种情况， 综上，的值有18种情况. 故答案为：；18. 变式6-3．(24-25高一上·湖南衡阳衡阳县第四中学·期末)黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上， ． (1)求，，； (2)请用描述法写出满足方程的解集； (3)解不等式； 【答案】(1)，，. (2)为大于1的正整数. (3). 【分析】（1）由的定义可求得，，. （2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. （3）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. 【详解】（1）因为， 所以，，. （2）依题意，， 当时，，则方程无解， 当为内的无理数时，，则方程无解， 当（，，为既约真分数）时，则，为大于的正整数. 则由方程，解得，为大于的正整数， 综上，方程，的解集为为大于的正整数. （3）若或或为内无理数时，， 而，此时， 若（，，为既约真分数）， 则，为大于的正整数， 则，得，解得， 又因为（，，为既约真分数），所以，， 综上，等式的解为. 类型七、函数的值域 1.直接观察法 适用于简单函数，通过基本函数值域推导。 2.配方法(二次函数) 将二次函数化为顶点式 y=a(x-h)2+k，通过开口方向确定值域。 3.分离常数法(分式函数适用于形如 的函数，通过变形分离常数)。 4.判别式法(含二次项的分式)将函数转化为关于x的方程，利用求解。 5.图像法(分段函数) 画出函数图像，直观观察纵坐标范围。 6.单调性分析法 先确定函数在定义域内的单调性，再计算端点值。 例7．(23-24高一上·江苏无锡南菁高级中学·期末)定义运算，例如，，则函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先阅读理解题意，可得，再作出函数在一个周期内的图象，再由图像观察值域即可. 【详解】解：根据题设中的新定义，得，作出函数在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数的值域为， 故选:. 【点睛】本题考查了阅读能力，重点考查了分段函数的图像及其值域，属中档题. 变式7-1．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可知， 由可得， 即， 因为，则，故， 因为，则， 所以， ， 因为，函数、在上单调递减， 故函数在上单调递减，当时，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 变式7-2．(24-25高一上·云南红河州、文山州·期末)已知函数，函数. (1)若，设集合，求； (2)若实数是的两个零点，且，求在上的值域. 【答案】(1)或. (2)当时，值域为；当时，值域为 【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，进而求得. （2）利用根与系数关系求得，对进行分类讨论，根据函数的单调性来求得正确答案. 【详解】（1），则当时，不等式，即， 解得，故， 所以或. （2）由题知，是方程的两个实数根，由韦达定理得， 所以，解得. 当时，， 因为在上单调递减；在上单调递增， 又，所以在上的值域为； 当时，，由函数与在上都是单调递增， 故在上单调递增，又， 所以此时在上的值域为. 综上：当时，函数在上的值域为； 当时，函数在上的值域为. 变式7-3．(24-25高一上·江苏宜兴丁蜀高级中学·期末)已知是二次函数，且满足. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间[1,2]上的最小值的表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解. 【详解】（1）设， 又 ， 即， ，解得，即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，在上单调递增，当时，取得最小值为； 若时，，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为； 若时，，在上单调递减，当时，取得最小值为； 所以. 类型八、函数零点问题 求函数y=f(x)零点的方法 1、解方程,f(x)=0的根; 2、利用零点存在性定理和函数单调性 3、转化成两个函数图像的交点问题。 例8．(24-25高一上·湖南长沙实验中学·期末)已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ） A．函数的零点的个数为2 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在上单调递增 【答案】ABC 【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可. 【详解】因为函数，可得函数图像如图： 由图知函数有2个零点，故A选项正确； 函数没有最值，故C选项正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误； 由于方程有4个不同的实数根， 令则有4个不同的实数根， 因为恒成立， 设两个不等的实根为， 由韦达定理知：， 则异号，由图可知：， 所以，解得，故B选项正确； 故选：ABC 【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 变式8-1．(24-25高一上·安徽芜湖第一中学·期末)已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：通过f（x）的单调性，画出f（x）的图象和直线y=a，考虑四个交点的情况，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围． 详解：当x＞0时，f（x）=， 可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减， 由f（x）=e (x+1)2，x≤0， x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增， 可得x=-1处取得极小值1， 作出f（x）的图象，以及直线y=a， 可得e (x1+1)2=e (x2+1)2=， 即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0， 可得x3x4=4， x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减， 可得所求范围为[4，5）． 故选B.    点睛：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题. 变式8-2．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)若，则方程在内的所有实根之和为 . 【答案】 【分析】根据条件，直接求出在上的解析式，再联立方程，求出所有实根，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 综上所述，方程在内的所有实根之和为， 故答案为：. 变式8-3．(22-23高一上·江苏苏州·期末)已知为奇函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； (2)若关于x的方程有8个不同的解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)在单调递增，在上单调递减；证明见解析. (2) 【分析】(1)根据奇函数的性质可求得的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性. (2)将已知方程因式分解得，，作出的图像，数形结合即可得到的取值范围. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为，则，解得，所以， 当时，，，所以函数为奇函数. 则在单调递增，在上单调递减. 证明如下： ，且 ， 当时，，，，所以，即，所以函数在上单调递增； 当时，，，，所以，即，所以函数在上单调递减. （2）因为，则，即， 解得或，因为有4个解， 要使关于x的方程有8个不同的解，则有4个不同的解，如图所示， 根据第一问函数单调性可知，当时，，所以的取值范围是且，综上，的取值范围是. 类型九、函数的最值求参数 例9．(24-25高一上·广东揭阳第一中学·期末)已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 变式9-1．(24-25高一上·河南驻马店新蔡县第一高级中学·期末)设函数存在最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意分四种情况，结合二次函数的性质讨论即可． 【详解】①当时，， 当时，单调递增，且， 当时，， 因此不存在最小值； ②当时，， 当时，，故函数存在最小值； ③当时，， 当时，单调递减，， 当时，， 而，故函数存在最小值； ④当时，， 当时，单调递减，， 当时，， 因为， 所以，因此不存在最小值． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 变式9-2．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区杭十一中·期末)已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，由函数最小值为1可得，再按结合的取值情况求解即得. 【详解】函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，即，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则， 有，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 变式9-3．(24-25高一上·浙江温州·期末)三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； (3)是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，， 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明； （2）由可得，再由基本不等式得证； （3）根据已知结合函数的单调性求解. 【详解】（1）在单调递增，证明如下： 设，且，则 ， ，，， ，， 在单调递增. （2）得：， 化简得：， 又，， 而，， ， . （3）不妨设存在满足题意的实数，b， ，或 当时，由（1）同理可证：在单调递减， 在上的最小值为， 故，，在上单调递增， ，是在的两根. 由，得 即：，， 又，，， 当时，由（1），当时，，故在单调递减， ，即：，即：， ，，矛盾， 综上所述，存在满足题意的正实数：，. 【点睛】关键点点睛：假设存在满足题意实数a，b，由定义域中无0，分类讨论， 再由定义法判断函数的单调性，利用单调性建立方程求解是解题的关键. 类型十、函数的单调性求参数 例10．(24-25高一·四川眉山彭山区第一中学·期末)已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对成立，可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，即可求解. 【详解】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴，即； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 变式10-1．(24-25高一上·广东广州·期末)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】由二次函数，一次函数，分段函数的单调性可知，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 变式10-2．(24-25高一上·山东淄博·期末)已知函数，对于且，都有 成立，则 的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题中条件，将问题转化为为递减函数，即可根据分段函数的单调性求解. 【详解】由，可得， 故为单调递减函数， 又， 则，解得. 故答案为：. 变式10-3．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 类型十一、函数单调性解不等式 高中数学解不等式主要分为两类， 一类是利用不等式性质直接解出解集(如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等); 另一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算 例11．(24-25高一上·北京第八中学·期末)已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 变式11-1．(24-25高一下·安徽蚌埠蚌山区蚌埠第二中学·开学考)已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，且，则，利用函数单调性的定义推导出函数在上单调递减，计算得出，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为， 对、，满足， 又当时，， 令，且，则， 则， 所以，所以在上单调递减， 因为，所以，， 则不等式可化为， 所以，，解得． 因此，不等式的解集为. 故选：B. 变式11-2．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知函数则满足不等式的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析单调性得到在上单调递增，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】当时，，由复合函数的单调性可知在上单调递增； 当时，因为，易得在上单调递增， 又因为当时，，所以在上单调递增， 因此可化为，解得， 故实数的取值范围为． 故选：A． 变式11-3．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可知在上单调递增，结合单调性解不等式即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 可知在上单调递增， 因为，则不等式即为，可得， 又因为，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 类型十二、函数不等式恒成立问题 在解决不等式恒成立问题时， 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法， 然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加清晰明了般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例12．(24-25高一上·湖南张家界·期末)若对任意，不等式恒成立，则实数的值是 . 【答案】 【分析】不等式转化成，结合和在上的单调性即可求解. 【详解】因为，所以恒成立，即恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于轴正半轴上一点（否则必存在，使）， 所以当，即且时，原不等式恒成立， 所以（负值舍去）. 故答案为： 变式12-1．(24-25高一上·内蒙古赤峰宁城县·期末)函数的定义域为，若对满足的任意、，均有，则称函数具有“性质”，已知，且函数具有性质，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得出，其中，求出的最小值，再结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，因为，且函数具有性质， 即对满足的任意、， 均有， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，，则. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式12-2．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)对任意的都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （2）结合函数的单调性求出，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）证明：取任意，，且， 有， 由，可得，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由在上单调递增， 可得在上，， 依题意得，， 又，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 变式12-3．(24-25高一上·河北石家庄辛集·期末)已知函数解集为． (1)求的解析式； (2)用定义法证明函数在上为单调增函数； (3)若在区间上恒成立，求实数的范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集、根与系数关系求得. （2）利用函数单调性的定义，求得，从而证得的单调性. （3）利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数解集为， 可知方程的两根为，， 由，解得， 所以. （2）设， 由， ∵， ∴， ∴即， ∴函数在上为增函数. （3）由题意得：， 即对于任意的，有恒成立， 则， 当时，由二次函数性质得取得最小值，则. 类型十三、函数有解问题 例13．(24-25高一上·四川眉山·期末)函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【详解】由题可得，要使，有， 则在上的值域为在上的值域的子集， 在上单调递减，∴函数在上的值域为， 为开口向上的二次函数，其对称轴为， 当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上单调递减，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上的值域为， ∴，解得，∴. 综上，的取值范围为. 故选：A. 变式13-1．(24-25高一上·湖南衡阳衡阳县第三中学·期末)定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，先求出在上的值域，分类讨论求出的值域，根据子集关系即可求出的范围. 【详解】因为， 当时，所以； 当时，则在上单调递增，所以； 综上可得； 因为对，，使得， 所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 又，， 当时，，则有，解得， 当时，，不符合题意； 当时，，则有，解得． 综上所述，可得的取值范围为． 故答案为：． 变式13-2．(24-25高一上·甘肃平凉静宁县六校联考·期末)已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）由函数单调性求出函数值域，若，使得可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可. 【详解】（1）在区间上单调递增． 证明如下：且， 则． 因为，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增． （2）由（1）知当时，， 即当时，的值域． 因为在时为减函数，所以 若，使得，则， 即，解得， 故实数的取值范围为． 变式13-3．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在 ，使得成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②14. 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围； （2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解. 【详解】（1）因为是上的单调函数， 所以在上是单调函数， 所以在上是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，解得. 所以满足题意的的取值范围为. （2）当时，， ①时，；时，， 因为， 所以的最小值为； ②由题，且，所以， 又时，， ， 所以对任意，不存在，使得，不符合题意， 所以， 所以， 因为对任意，都存在 ，使得成立， 所以，故， 所以，当且仅当 即时取等号， 所以的最小值为14. 【点睛】关键点点睛：第（2）问解题的关键是将问题转化为两集合的包含关系，从而得. 类型十四、函数的奇偶性解不等式 1、解 f(m)<f(n)型不等式 (1)利用函数的单调性，去掉函数符号“f"，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解; (2)若不等式一边没有函数符号“f”,而是常数(如 f(m)<a)，那么我们应该将常数转化带有函数符号“f”的函数值再解。 2、f(x)为奇函数,形如f(m)+f(n)<0的不等式的解法 第一步:将f(n)移到不等式的右边，得到∫(m)>-f(n) 第二步:根据f(x)为奇函数，得到 f(m)>f(-n) 第三步:利用函数的单调性，去掉函数符号“f"，列出不等式求解。 例14．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第一中学·期末)已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 变式14-1．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 变式14-2．(24-25高一上·安徽无为第一中学等校·期末)已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析出是奇函数，结合可得，从而构造出，然后根据的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 因为当时，，所以． 令，则，为偶函数，定义域为，且在上单调递减， 不等式即，也即， 于是，则，所以． 故选：D 变式14-3．(24-25高一上·云南西双版纳州景洪第三中学·期末)已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）借助 ，代入计算即可得； （2）借助单调性定义证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由，则，解得，故， 此时，满足题意，故； （2）设， 则 ， 由，故，故，， 故，故在上是增函数； （3），由在上是增函数， 故，解得， 即不等式的解集为. 类型十五、函数的奇偶性求值 例15．(24-25高一下·云南临沧中学等学校·期末)已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到为偶函数，且在上单调递减，，分和两种情况，变形，结合的单调性得到不等式，，满足不等式，从而求出答案. 【详解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时， ， 而在上单调递增，故； 其中， 当时， ， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 故选：D． 变式15-1．(24-25高一上·四川内江·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合奇函数定义可得，可知4为的一个周期，且，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，且函数是定义在上的奇函数， 则，即， 令，可得； 令，可得； 可得，则， 可知4为的一个周期，且， 所以. 故选：D. 变式15-2．(24-25高一上·安徽铜陵·期末)定义在上的奇函数，其图象关于对称，且时，，则（    ） A．0 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】由函数对称性得到，，赋值得到. 【详解】关于对称，故， 中，令得， 因为为R上的奇函数，所以， 故， 又时，，故， 故. 故选：D 变式15-3．(24-25高一下·浙江衢州·期末)（多选）已知函数和的定义域均为，若是奇函数，是偶函数，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得，又得，进而得，通过赋值即可求解. 【详解】由题意有，，又， 所以， 所以，又得， 令得，故A正确，B错误； 由，令有，故C正确； ，令得， 又，令得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 类型十六、函数的奇偶性求参 1.定义法 步骤：在函数解析式中，将(x)替换为(-x)，得到(f(-x))。然后根据奇偶性定义，建立方程(f(-x)= -f(x))(奇函数)或(f(-x)=f(x))(偶函数)。由于该等式需对定义域内所有(x)恒成立，通过比较等式两边的表达式(如比较系数、整理后令对应项系数相等)来求解参数。 2.特殊值法 步骤:选取定义域内关于原点对称的特殊值(如(x=a)和(x=-a))，利用奇偶性得到函数值的关系(奇函数:(f(-a)=-f(a));偶函数:(f(-a)=f(a)))，从而列出关于参数的方程求解。 重要提示:用特殊值法求出的参数值必须代回原函数解析式进行检验，验证其是否对所有(x) 都满足奇偶性定义，不满足的需舍去。 特殊技巧:如果函数在(x=0)处有定义且是奇函数，则必有(f(0)=0)，这可以快速列出一个方程。 3.定义域对称性策略 当函数的定义域中包含参数时，首先保证定义域关于原点对称。 步骤:根据定义域区间([a,b])关于原点对称的性质(即(a+b=0))，列出关于参数的方程，先求出使定义域对称的参数值，再结合上述方法确定其他参数。 例16．(24-25高一上·山东聊城·期末)已知函数在上的最小值为2，则在上的（   ） A．最小值为2 B．最大值为 C．最小值为6 D．最大值为 【答案】D 【分析】整理函数解析式后令，验证得到函数为奇函数，由对称性得到在的最大值，然后得到在上的最大值. 【详解】， 令， ∵，即为奇函数， 当时，，∴， ∴当时，， ∴. 故选：D. 变式16-1．(24-25高一上·浙江嘉兴·期末)已知函数，若，则（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数的奇偶性和单调性即可求得 【详解】由， 令为奇函数，且在上单调递增， 则， 由可得，， 即， 所以，即， 故选： 变式16-2．(24-25高一上·江苏淮安·期末)已知函数，，若，则的最小值为（　　） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先对原函数分离常数得出，然后根据条件得出，然后根据基本不等式“1”的代换即可得解． 【详解】由题设，又，得， 整理得，且，则， u所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 变式16-3．(24-25高一上·广西玉林·期末)若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】解：因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高一下·云南昆明·期末)定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再结合在区间上单调递增，即可求解. 【详解】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 2．(24-25高一下·云南昭通普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟·期末)已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 3．(24-25高一下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 函数在区间上为增函数， 需满足：，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 4．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，若点，点是直线上的动点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，由“曼哈顿距离”的定义列出式子，然后由函数的单调性，即可得到其最小值. 【详解】设，由定义可知 ， 因为在上单调递减，在上单调递增， 均有， 当时，单调递增， 所以时，. 故选：C 5．(24-25高一上·江苏苏州·期末)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 6．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)已知是R上的偶函数且满足，若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是R上的偶函数且，得的周期为6，再利用周期性可得答案. 【详解】因为是R上的偶函数，所以， 由得， 可得的周期为6， 若，则， 解得. 故选：B. 7．(24-25高一上·山东德州·期末)定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析各选项是否正确，综合可得出答案. 【详解】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误； 对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误； 对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，的零点，即方程的根 显然不是方程的根； 当，方程化为，作出两函数与的图像如图： 由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的新定义、函数图像及其性质和函数零点的求解，为函数的综合问题.考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想，把函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题是关键. 8．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知是定义在上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】已知是定义在上的奇函数，且时，， 设，则，， 所以，且在上单调递增． 又，则对于任意恒成立， 即，对于任意恒成立，所以，解得． 故选：A 【点睛】方法点睛： 对于奇函数，已知时的函数表达式，可通过求出时的表达式，判断函数单调性时，可根据函数的表达式特点以及函数的性质进行分析. 解决不等式恒成立问题，常将其转化为函数的最值问题，本题通过将不等式转化为与关于的表达式的大小关系，再根据的取值范围求出的取值范围. 二、多选题 9．(24-25高一下·广东揭阳·期末)已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时， ，则下列说法中正确的有（    ） A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 【答案】ACD 【分析】根据函数的对称性结合奇偶性计算求解周期判断A，应用对称中心定义判断B，应用周期性求函数值判断C，画出图象结合数形结合判断交点判断D. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以，即， ， 即的周期，故A正确； 对于B，由A得，函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，因为的周期，，则 当时，，则， 由，令则，令则， 所以 ，故C正确； 对于D，作出函数与函数的图象，如图． 所以曲线与有8个交点，故D正确． 故选:ACD. 10．(24-25高一上·云南曲靖会泽县·期末)设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】通过赋值，，及可判断AB，结合函数奇偶性及单调性，可判断CD； 【详解】， 令，可得：， 所以， 令，可得：， 所以，A正确； 令，可得：， 即，偶函数，B正确； 由，可得：， 由函数是偶函数及已知单调性可得：， 易知恒成立，由，可得：；C正确； 由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误； 故选：ABC 11．(24-25高一上·四川宜宾·期末)已知函数，则对关于x的方程正确的说法有（   ） A．当时，方程只有1个实数根 B．当时，方程有3个实数根 C．不存在，使得方程有4个实数根 D．，方程都有实数根 【答案】BCD 【分析】画出函数图象，方程解的个数等价于图象交点个数，数形结合判断各选项结论的真假即可. 【详解】解的个数等价于图象交点个数， 作出函数 的图象，如图所示： 对于 ，当 时，直线 与 的图象有2个交点， 所以当 时，方程有 2 个实数根，故 不正确； 对于 ，当 时， 直线 与 的图象有3个交点， 所以方程 有3个解，故 正确； 对于 ，由图象可得不存在 ，使得方程有4个实数根，故 正确； 对于 ，由图象可知方程 始终有解，故 正确. 故选： . 三、填空题 12．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实根，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，即得，解得或，作出函数的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】令，则有，即，所以或， 作出函数的图像： 当时，与有两个不同的交点， 即只需与有3个不同的交点即可， 由图可知：，所以， 故答案为：. 四、解答题 13．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数，. (1)若，写出的单调区间（不必证明）； (2)若是偶函数，求a的值； (3)若，，求的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，，单调递增区间为，； (2)a的值为0； (3). 【分析】（1）根据已知写出的分段函数性质，结合二次函数性质确定单调区间； （2）利用偶函数性质列方程求参数即可； （3）由时不等式恒成立，只需考虑的情况，应用分类讨论，结合二次函数性质研究不等式恒成立求值. 【详解】（1）由题意，当时函数，且函数的定义域为， 所以， 从而其单调递减区间为，；单调递增区间为，. （2）因为是偶函数，所以， 由于，则， 从而，两边平方得， 从而，此式对任意恒成立，得，故a的值为0. （3）首先，时不等式恒成立，接下来考虑的情况： ①当时，，因为，所以，； ②当时，，， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以，当且仅当，时，等号成立； 法一：③当时，问题等价于当时，恒成立；当时，恒成立. 令，命题等价于， 而最大值只可能在，，三处取得，只需， 即，可得， 若，则；若，则； ④当时，，， 易知函数在上单调递增，故当时，取到最大值， 所以，所以； 综上，当，时，的最小值为. 法二：③当时，由对任意恒成立，取可得成立， 则，若，则， 若，则，所以当，有. 综上，当，时，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分类讨论及二次函数的性质研究不等式恒成立，注意放缩思想的应用. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02函数 目录 专题02函数 类型一、函数的定义域 类型二、已知函数的定义域值域求参数 类型三、 函数的解析式与求值 类型四、分的函数最值问题 类型五、抽象函数问题 类型六、 函数新定义 类型七、函数的值域 类型八、函数零点问题 类型九、函数的最值求参数 类型十、函数的单调性求参数 类型十一、函数单调性解不等式 类型十二、函数不等式恒成立问题 类型十三、函数有解问题 类型十四、函数的奇偶性解不等式 类型十五、函数的奇偶性求值 类型十六、函数的奇偶性求参 压轴专练 典例详解 类型一、函数的定义域 求函数定义域常见结论： (1)分式的分母不为零： (2)偶次根式的被开方数不小于零： (3)对数函数的真数必须大于零； (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)正切函数y=tanx,x≠kr+(k∈Z): (6)零次幂的底数不能为零； (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求 例1.(23-24高一上·山东青岛南区青岛海尔学校期中)函数fx+1的定义域为-2,2，函数 f x-1) gx=72X-1x-2: 则gx的定义域为() A.0,2U2,4 B.-1,2U2,3 c2224 32u23 D. 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 变式1-1.(22-23高一上河北邢台·期末)已知函数fx= x-2 则函数y=fx-f13-x的定义域为 () A.2,11 B.2,13 c.2,15 D.4,11 变式1-2.若函数y=fx的定义域为0,4，则函数y= f2x+1 的定义域为() x-1 z % c.(10.i.g 变式1-3.(23-24高一上辽宁朝阳建平县第二高级中学期末)若函数fx的定义域是1,4，则函数 fx-3的定义域是() A.4,5 B.1,16 c.1,4 D.-2,1 类型二、已知函数的定义域值域求参数 含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在 叙述结论时分别说明： 1 例2.(24-25高一上·贵州毕节金沙县期末)已知函数fx= 的定义域是R,则a的取值 a-1x+a-1x+2 范围是() A.1,9 B.1,8 c.1,9 D.[1,8 变式2-1.(24-25高一上四川安岳中学.期末)若函数fx=mx2-mx+2的定义域为R,则实数m的取值范 围是() A.0,8 B.8,+∞ c.0,8 D.-∞，0U8,+∞ 变式2-2.(24-25高一上河南驻马店·期末)若函数fx=m+一x+4的定义域为a,ba<b,值域为 2'2 则实数m的取值范围是一 变式2-3.(24-25高一上河南南阳南阳六校期末)设函数fx=x-km,已知fk+8=2fk+2. (1)求m的值： (2)若存在实数a,ba<b,使得fx在区间a,b上的值域为 a b 22 求k的取值范围； (3)若k取满足(2)中条件的k的最小值，求不等式fx2-4x-12←x2+4x+24的解集 方类型三、函数的解析式与求值 六种求函数解析式的方法： 代入法 待定系数法 配凑法 函数方程组法 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 换元法 赋值法 例3.(24-25高一下，广东汕尾·期末)已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上单调，若对任意的x∈(0，+o∞)，都有 ff(x-1og2x=3,则f(22025)-2的值是() A.22025 B.22027 C.2025 D.2027 变式3-1.(24-25高一上·四川绵阳中学.期末)存在函数f(x)满足对于任意x∈R都有() A.fi B.f(cos2x)=x2+x C.f(cos2x)=sin2x+sinx D.fi 变式3-2.(24-25高一上山东日照期末)已知函数f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，当n∈N+时， f(n)∈N+c若f[f(n]=3n,其中n∈N+a,则f(6)=i 变式3-3.(23-24高一上福建龙岩期末)已知fx是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数a,b满足 fob=afb+bfa,若f2=2,则f-1+f安=& 左类型四、分段函数最值问题 方法： (1)明确分段的依据，规范表示分段函数； (2)利用各个分的函数增减性求最值 例4.(24-25高一上湖南株洲渌口区第三中学.期末)已知函数fx=若fx存在最小值，则实数m的取值范 围是() A.0,+0∞ B.1,+∞ C.e,+oo D.e2,+o∞ 变式4-1.(24-25高一上北京丰台区期末)已知函数fx=x-t,gx=-x+2,对Hx∈R,用hx表示 fx,gx中的最大者，记为hx=max f(x),gx小.若h(x≥2恒成立，则() A.t的最大值是-2 B.t的最小值是-2 c.t的最大值是2 D.t的最小值是2 变式42.2425商一上山东德州期末定义minQ,b=d,已知fx=-式+2x,gX=之X+1,记函 数Mx=min f(x,gx,则Mx的最大值是_ 变式4-3.(24-25高一上山东聊城期末)已知函数fx=-x+2x,gx=kx,x∈R,用mx表示fx,gx 中的较小者，记为mx=min f (x,gx,若函数mx的最大值小于1，则实数k的取值范围为 类型五、抽象函数问题 1.特殊值法 通过选取特殊值，简化函数方程，快速推导函数特性。 2.赋值法 针对多元函数方程，通过系统赋值建立方程关系。 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.函数性质分析法 4.模型函数类比法 将抽象函数与常见具体函数类比，辅助猜想结论（不可作为证明依据） 例5.(24-25高一上·宁夏石嘴山期末)定义在0，+o∞上的函数fx满足条件①Hx∈0，+∞，fx≠0，② x,ye0,+∞，fw=3fxfy,fx+y= f(x fly) 的值为() f(x+f(y' 则f A.0 C.1 4 D. 变式5-1.(24-25高一上·贵州黔西南州期末)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(2)=2,且 x∈R,f(x+1≤f(x)+之，f(x+4)≥f(x)+2x+3,则f(10)=元() A.9 B.25 C.15 D.24 变式5-2.(24-25高一上·陕西部分学校期末)（多选）已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),x,y∈R, 则() A.f(0)=0 B.f(k)=kf(1),k∈Z cfx=对，k0 D.f(-x)f(x)<0 变式5-3.(24-25高一上四川绵阳中学期末)已知fx是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数x,y 都有fy=xfy+yfx,若f2=1,则f-1+f 类型六、函数新定义 1.仔细阅读定义：明确新定义的含义、条件和适用范围，这是解题的基础。 2.转化到常规知识：将新定义的问题转化为熟悉的函数性质或代数运算。 例6.(23-24高一上河北沧州部分学校月考)欧拉函数0nn∈N的函数值等于所有不超过正整数n,且 与n互质的正整数的个数，例如02=1，p4=2,则06=i 变式6-1.(24-25高一上广西百色平果铝城中学期末)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用 其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[-e]=一3，[2.1]=2， 定义函数f(x)=x-[x],则函数f(x)的值域为一 变式6-2.(24-25高一上·安徽蒙城第一中学期末)我们用x表示实数x到离它最近的整数的距离，例如 -o月 则‖x的最小值与最大值之和是一：对于函数fx=lx,若满足 fx=f3V2x,则fx有种可能的值. 变式6-3.(24-25高一上湖南衡阳衡阳县第四中学期末)黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 恩哈德黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在0,1上， Rx =i. (2)请用描述法写出满足方程Rx=x,(x≠0)的解集； 3)解不等式Rx>亏X+亏 方类型七、函数的值域 1.直接观察法 适用于简单函数，通过基本函数值域推导。 2.配方法（二次函数） 将二次函数化为顶点式y=a(x-h)+k,通过开口方向确定值域。 3分离常数法分式函数适用于形如y=柏的药数，逼过变形分窝常数。 4.判别式法（含二次项的分式）将函数转化为关于x的方程，利用△≥0求解。 5.图像法（分段函数） 画出函数图像，直观观察纵坐标范围。 6.单调性分析法 先确定函数在定义域内的单调性，再计算端点值。 例7.(23-24高一上江苏无锡南菁高级中学.期末)定义运算a⑧b=(,例如，1⑧2=1，则函数 fx=sinx⑧cosx的值域为 变式7-1.24-25高一上江苏苏州期未)已知函数fx=X+元 gx=2X,若存在实数x1、X2 x30<x1<x2<x3,使得fx1=gx2=fx3,则fx3-x1+gx2-x1的最小值为() A.2 B.6 c.22 D.23 变式7-2.(24-25高一上·云南红河州、文山州，期末)已知函数fx=x2-mx+4,函数 9x)=x+m+ ,m∈R (1)若m=5,设集合A={x|fx<0},求CRA: (2)若实数x1,X2是fx的两个零点，且x+x=1,求gx在1,3上的值域， 变式7-3.(24-25高一上江苏宜兴丁蜀高级中学.期末)已知f(x)是二次函数，且满足 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3. (1)求函数f(x)的解析式： (2)设函数g(x)=f(x)-（2+t)x,求g(x)在区间[1,2]上的最小值h(t)的表达式. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型八、函数零点问题 求函数y=f(x)零点的方法 1、解方程，f(x)=0的根； 2、利用零点存在性定理和函数单调性 3、转化成两个函数图像的交点问题。 例8.(24-25高一上湖南长沙实验中学期末)已知函数fx=乙，方程f2x-mfx-1=0有4个不同的实 数根，则下列选项正确的为() A.函数fx的零点的个数为2 B.实数m的取值范围为 -00 2 C.函数fx无最值 D.函数fx在0，+∞上单调递增 变式8-1.(24-25高一上·安徽芜湖第一中学期末)己知函数f(x)=,函数y=f(x)-a有四个不同的零点， 从小到大依次为X1,X2,X3,X4,则x1X2+x3X4的取值范围为 A.6 B.乙 C. D. 变式8-2.(23-24高一上·重庆第一中学校期末)若f(x)=,则方程xfx-6=0在1,32内的所有实根之和 为一 变式8-3.22-23高一上江苏苏州期末已知f(x)=4+0 x2+1 为奇函数。 (1)判断函数f(x)在区间(0，+o∞)上的单调性，并证明你的判断： (2)若关于x的方程2f(x)-(2m+1)Vf(xV+m=0有8个不同的解，求实数m的取值范围. 今类型九、函数的最值求参数 例9.(24-25高一上广东揭阳第一中学期末)已知函数fx=乙的最小值是-2，则实数α的取值范围是 () A. °，16 0,6 1 16+∞ C. D. 变式9-1.(24-25高一上河南驻马店新蔡县第一高级中学期末)设函数fx=存在最小值，则α的取值范围 是」 变式9-2.(24-25高一上·浙江杭州拱墅区杭十一中期末)已知函数f(x)=乙，若fx的值域为1,5，则实数c 的取值范围是 变式93.24-25高一上浙江温州，期末)三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数y=AX2+B A>0,B>0的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数fx=x2+二的图象，所以也称fx的图象为牛顿三叉戟 曲线。 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)判断fx在1，+∞上的单调性，并用定义证明： (2)已知两个不相等的正数m,n满足：fm=fn,求证：mn<1: (3)是否存在实数a,b,使得fx在a,b上的值域是3a,3b?若存在，求出所有a,b的值；若不存在，说 明理由。 类型十、函数的单调性求参数 例10.(24-25高一四川眉山彭山区第一中学.期末)已知函数fx=满足对任意的实数x1≠x2,都有 f(x]-f(x) <0成立，则实数a的取值范围是() X1-X2 A.-3≤a≤0B.-3≤a≤-2 c.a≤-2 D.a<0 变式10-1.(24-25高一上广东广州期末)已知函数f(x)=乙在R上单调递增，则实数a的取值范围为 变式10-2.(24-25高一上山东淄博期末)已知函数fx=,对于Vx1,X2∈R且x1≠x2,都有 f x-f x <2成立，则a的取值范围为一 X1-X2 变式10-3.(24-25高一上湖北武汉江岸区、江汉区·期末)若函数fx=ax2+2x-1在1，+∞上单调递增， 则实数a的取值范围是() A.-1,+∞B.-1,+o C.0,+o D.0,+oo 类型十一、函数单调性解不等式 高中数学解不等式主要分为两类， 一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）； 另一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算 例1.2425高一上北京第八中学期未尼知函数X)=x-又若f-化+1)<0，则实数的取值范 围一 变式11-1.(24-25高一下安微蚌埠蚌山区蚌埠第二中学开学考)已知函数fx的定义域为0，+∞，对Vx、 y∈0，+∞，满足fy=fx+fy.当x>1时，fx<0,且f2=-3,则不等式fx-7-f> -9的 解集为() A.-1,8 B.7,8 C.8,+∞ D.0,7U8,+∞ 变式11-2.(24-25高一上河南焦作.期末)已知函数fx=则满足不等式f2-a>f3a+6的实数a的取值 范围为() A.-∞，-1 B.-00,1 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.-1,+∞ D.1,+∞ 变式11-3.(24-25高一上江西南昌第二中学.期末)已知fx=,则不等式ffx<6的解集为() A.2,+∞ B.1,+00 C.（-0∞，2 D.-0∞，1 ≈么类型十二、函数不等式恒成立问题 在解决不等式恒成立问题时， 种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法， 然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适 的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加清晰明了般来说，己知存在范围的量视为变量，而待 求范围的量视为参数 例12.(24-25高一上湖南张家界·期末)若对任意x∈0，+∞，不等式 1-ax2-ax-10恒成立，则实 数a的值是 变式12-1.(24-25高一上·内蒙古赤峰宁城县期末)函数y=fx的定义域为R,若对满足x2一X1=tt>0的 任意x1、x2,均有fx2一fx1>t,则称函数y=fx具有“Pt性质”，己知fx=ax,且函数y=fx 具有P1性质，则实数a的取值范围为一。 变式12-2.(24-25高一上：福建龙岩期末)已知函数f(x)=2x+1 (1)用定义法证明函数f(x)在区间（上单调递增： 2对任血的x∈L,5面有-+21+6sx+78成立，求实数的取值围 变式12-3.(24-25高一上河北石家庄辛集期末)已知函数f(x)=ax+bx-2,f(x)<0解集为 {xV-2<x<1}. (1)求f(x)的解析式： (2)用定义法证明函数f(x)在就上为单调增函数； (3)若f(x)>2x+m在区间[-1,3]上恒成立，求实数m的范围. 类型十三、函数有解问题 例1B.245商正四川眉山期本函数f刻=子9x)=不2-ax+3若Yx∈1,21,3K,∈10,1，使每 gx1=fx2,则实数a的取值范围是() 2 B.iU c.[2,2V2 D 00,2 变式13-1.(24-25高一上湖南衡阳衡阳县第三中学，期末)定义在2,4上的函数fx=i,gx=aX-1,对 Hx1∈2,4,3x2∈-2,1，使得gx2=fx1,则实数a的取值范围为 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式18-2.24-25高一上：甘肃平凉静宁县六校联考期末已知函数f(x)=X-9 (1)判断f(x)在区间(0，+o∞)上的单调性，并用定义进行证明： (2)设g(x)=a-4x,若Vx1∈[1,9]，3x2∈[1,10]，使得fx1=gx2,求实数a的取值范围. 变式13-3.(24-25高一上江苏南京南京师范大学附属中学.期末)设a为实数，已知函数 f(x)=x-xVx-aV-2a. (1)若f(x)是R上的单调函数，求a的取值范围； (2)已知a=1, ①求f(x)的最小值： ②设函数g(x)=元f(xv(x≥1).若区间[m,n]二i,且对任意x∈[m,n],都存在x2∈[m,n],使得 gx1gx2=1成立，求4m+n的最小值 类型十四、函数的奇偶性解不等式 1、解f(m)<f(n)型不等式 (①)利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求 解； (2)若不等式一边没有函数符号“f”,而是常数（如f(m)<),那么我们应该将常数转化带有函数符号 “”的函数值再解。 2、f(x)为奇函数，形如f(m+f(n)<0的不等式的解法 第一步：将f(n)移到不等式的右边，得到了(m)>-f(n) 第二步：根据f(x)为奇函数，得到f(m)>f(n) 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。 例14.(24-25高一下，湖南衡阳衡阳县第一中学.期末)已知fx是定义在R上的奇函数，当x1、X2∈(0，+∞ 且X1≠X时，都有 fx,-xfx>0成立，f2025=2025,则不等式fx-X>0的解集为（） X X2 X1-X2 A.-∞，-2025U2025,+∞ B.-2025,0U2025,+∞ C.-2025,2025 -11 D 2025'2025 变式14-1.(24-25高一下湖南岳阳湘阴县期末)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(x+1)-2为奇 函数，对任意的a∈[-3,2]，不等式f(2a+t)+fa2-1≤4恒成立，则实数t的取值范围是() A. B. C. D. 变式14-2.(24-25高一上·安徽无为第一中学等校期末)已知函数f(x)的定义域为xx≠0，函数f(x-2)的 图象关于点(2,0)对称，且当x2>x,>0时，x2f1-x1fx2>0恒成立，若f(2)=0,则不等式xf(x)>0的 解集为() A.（-∞，-2)U(2,+∞) B.(-∞，-2)U(0,2) C.（-2,0)U(2,+∞ D.（-2,0)U(0,2 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式143。(24-25高一上·云南西双版纳州景洪第三中学期末)已知函数fx=心 是定义在-1,1上的函 1+x2 数，f-x=-fx恒成立， 2 (1)确定函数fx的解析式： (2)用定义证明fx在-1,1上是增函数： (3)解不等式fx-1+fx<0 类型十五、函数的奇偶性求值 例15.(24-25高一下·云南临沧中学等学校期末)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(一2)=-4，若 函数g(x)=fx在(0，+o)上单调递增，则不等式fx)s2x的解集为() X A.[-2,2] B. c.[-2,0]Ut D.iU[0,2] 变式15-1.(24-25高一上四川内江·期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f1-x=f1+x. 若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=(() A.0 B.2025 C.2024 D.2 变式15-2.(24-25高一上安徽铜陵期末)定义在R上的奇函数y=f(x),其图象关于x=1对称，且x∈时， f(x)=2x+1, 则 A.0 B.3 C.6 D.-2 变式15-3.(24-25高一下.浙江衢州期末)（多选）已知函数fx和gx的定义域均为R,若fx+1是奇函 数，gx是偶函数，且fx-gx一2=2-x,则下列各式正确的是() A.g1=-1B.g-1=1 c.f3=-2 D.fg-1=2 类型十六、函数的奇偶性求参 1.定义法 步骤：在函数解析式中，将(x)替换为(-x),得到(f(-x)。然后根据奇偶性定义，建立方程(f(-x)= f(x))(奇函数)或(f(x)=f(x))(偶函数)。由于该等式需对定义域内所有(x)恒成立，通过比较等式两边 的表达式（如比较系数、整理后令对应项系数相等）来求解参数。 2.特殊值法 步骤：选取定义域内关于原点对称的特殊值（如(x=a)和(x=-a)),利用奇偶性得到函数值的关系（奇函数： (f(a)=-f(a);偶函数：(f(-a)=f(a),从而列出关于参数的方程求解。 重要提示：用特殊值法求出的参数值必须代回原函数解析式进行检验，验证其是否对所有(x)都满足奇 偶性定义，不满足的需舍去。 特殊技巧：如果函数在(x=0)处有定义且是奇函数，则必有(f(0)=0),这可以快速列出一个方程。 3.定义域对称性策略 当函数的定义域中包含参数时，首先保证定义域关于原点对称。 10/13