辽宁省铁岭市普通高中高质量发展联盟2025-2026学年高二上学期12月份联合考试数学试卷

高二数学 考生注意： 1.本文客分这择冠和非途择题两冻分、腐分150分，考试时问120分钟。 2签恩前，劳生务必用直径0,5毫来黑色墨水荟字笔将密封战内项目填写济发。 3、考生件答时，苻公余答在答题卡上、法择题每小题逸出答案后，用2B.铅笔把答题卡上对应题目的 公案标号讼只：非达择题计用直径05尧米黑色丞水荟字笔在答题卡上各题的答题区战内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本鉴命题苑国：人牧B版必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第三幸第1节。 一、迭择题：本愿共8小贾，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 L已知A机器中有8个娃娃，B机器中有9个娃娃，且这17个娃娃互不相同，某人从A,B机器中分别抓 取1个连娃，列此人抓取娃娃的不同情况种数为 A17 B36 C.45 D.72 2已知计Ξ-一i,划之的虚部为 A1 B分 c-分 D.-1 3:已知空问向量a=(0,2,1),b=(m2,一2)，若a∥b,则m十n= A-4 B-2 C.2 D.4 4在△ABC中，角A.B.C的对边分别为a,b,c,若2a2=6+C2,则A的最大值为 A吾 B牙 c爱 晋 5,在平面直角坐标系x0中，已知点A(0,3),且动点P(红，)满足盼=2，则动点P的轨迹与圆 (x一1)2+(y-2)2=1的位置关系是 A相交 B.外切 C,外离 D.内切 6.2025年11月9日至21日.第十五届全运会在广东，香港、澳门三地成功举办.在全运会的火炬传递中， 某路段的传递括动由A,B,C,D,E,F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A,B中产生， 最后一棒由两名火炬手共同完成，且A,C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种 数为 A64 B.60 C.102 D.114 【高二12月质量检测数学第1页（共4页）】 TL 1,棱长均为3的正三挖柱的名个顶点均在琿0的表面上，期球0的表面积为 A.18x B.21x C.42g D.36x 8.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2,AB⊥平面ACD,∠CAD=60',点E,F分别为梭BC;AD上 的点，且B配=E武，AD=3乃，则直线AE与直线CP夹角的余弦值为 A3 2 c舞 D.v70 70 二、选择題：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9,若m,n∈N且1<m<n≤2025；则 A.C+=Ct B(r+1)C=(m十I)C*7 CAw=C■A D.A年1-A=(m-1yA1 10.如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A,B的动点，点M是母线SB上一 点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4x,则下列说法正确的是 A该圆锥的体积为√⑤x 3 B谈圆维的侧面展开图的圆心角大小为经 C三桉锥S-ABC的体积的最大值为√西 6 D.若BM=1,则从点B出发绕圆锥恻面一周到达点M的最短长度为5 1山：已知双曲线C:d-苦=1的左右焦点分别为R,5,点P是C的右支上一点，过点P作C的切线L 与C的两条渐近线分别交于M,N两点，则下列说法正确的是 A.PF|2-|PF,的最小值为8 B存在点P,使得PF.P=一4 C点M,N的纵坐标之积为定值 D.MN =2 MP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设a∈R,若(1一)(2十ai)为纯虚数，则a=. 13,在四面体ABCD中，∠BAC=∠CAD=∠DAB=90°，AB=AC=AD=3,点E在棱CD上，C克= 2E或，F是BD的中点，若B配=xA店+yA心+zAd,则x十y十x=:点F到平面EAB的距 离是 14.已知抛物线E12=6y的准线交y轴于点M,过点M作直线l交E于A,B两点，且MA=3Mi,则直 线（的斜率是 【高工12月质量检测·数学第2页共4页)】 TL 四、解答题：本愿共5小愿，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或波步绿。 15.(本小愿满分13分) (1)求平行于直线x一y一2=0，且与它的距缟为2√厄的直战的方程， (2)已知图C:x2+y一4，直过煮A(一2,1)，当直线1与圆C相闭时，求直线L的方程、 16.(本小恶猜分15分)） 已知四梭锥M-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°，MD⊥底面ABCD,且MD=DC =AD=2AB=2,P是MC的中点. (1)证明，BP∥平面MAD: (2)求直绒MB与平面DBP所成角的正弦值 17.(本小题湖分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=asin B十bco5A. (1)求B: (2)若a=8,c一瓦.点D是边BC上的-点，且os∠ADC=-合，求sin∠DAC和△ADC的面积. 【高二12月质量检测·数学第？页（共4页）】 TL 18.(本小避满分17分） 已知直三梭柱ABC-A1B,C中，侧面AA1BB为正方形，AB=C=2,E,P分别为AC,CC的中 点，D为梭AB1上的点，BP⊥AB. (1)证明，AB⊥平面BCCB, (2)证明，BF⊥DE, (?)当BD为何值时，平面BB,CC与平面DPE所成角的余弦侮最大？并求出这 个最大值 19.(本小愿满分17分) 已知右焦点为F(2,0)的椭圆C专+芹=1(a>6>0)过点2w5). (1)求C的方程， (2)若点M在C上，点N为圆E:2+(y一4)2=3上一点，求|MN|的最大值； (3)过点F的直线L与C交于点A,B,与抛物绒了=8x交于点P,Q,是否存在常数m,使得TA品十 问为定值？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由。 【高二12月质量检测·数学第4页（共4页）】 TL高二数学参考答案、提示及评分细则 1.D已知A机器中有8个娃娃，那么从A机器中抓取1个娃娃，就有8种不同的情况.已知B机器中有9个娃娃，那么从 B机器中抓取1个娃娃，就有9种不同的情况.，根据分步乘法计数原理，得到总的不同情况数为8×9=72（种）.故选D. 2C由共=-i,得1+)=i则=中=-K02=子子1的嘘部为子放选C 2 3.A因为a∥b,所以存在实数t,使得b=a,即m=0,n=2t,一2=t,所以m=0,n=一4，所以m十n=一4.故选A c21b2 书向余孩定理得A士-之次产条一名，因为0A长x所以0CA长管放链B 5C由盼=2，得引PA=2引PO,则VF+=2F+了，整理得2+(y+1D=4,表示圆心为0，-1D, 半径为R=2的圆，圆(x-1)2+(y-2)2=1的圆心为(1,2)，半径r=1,两圆的圆心距为√(0-1)+(-1-2)= √10，满足2+1<√10，所以两个圆外离.故选C 6.D当A完成第一棒时，有C号A=60种不同的传递方案；当B完成第一棒时，有(C号一1)×A=54种不同的传递方 案，故共有60+54=114种不同的传递方案.故选D. 7.B如图： B O R- 球0的半径R-√（受）广+(2而了√厚，放球O的表面积54=x×4=21x故选B &.A因为B武-A心-A,所以成=武=(AC-A成)，则A壶=A+成=AB+(AC-A成)=A+AC,又 A市=3市，所以A=号A市，则C=A市-AC-=号A市-AC,又AB⊥平面ACD,所以ABLAC,ABLAD,即A.Ad =0,A店·A市=0，所以范.本=(+子A心)·（号A市-心）=合A.市-十A店.A心+分花.A市- =0-0+号×2x2x号是×2x2=-2应-√仔a+可=四，=√（号市可 2,所以花.C市= A正.C -2 南四×号 2后=-8一，期直线A证与直线CP夹角的余弦值为3严故 选A. n! (+1)! ,.BC由组合数的性质知C+C1=C1,故A错误：因为+1)C=(十1)·m1m-mm,m+1) C=(m+1D'm+mm故n+1)C=(m十1DC,放B正确；由Cs=,得As (+1)! (+1)！ A C=C露”A,放C正确：A1一A=一”= (n+1)·n (中1)=·以D=m·,放D错误故选比 n! 1Q.AD由题知，园锥的侧面积x=4,所以1=4，圆锥高=一下=√万，体积V=了x X1X而=，A正确：侧面展开图孤长=2xX1=2,圆心角a=千-年=受：B 3 B 结误：当XLABE时，三校维S-ABC的体积最大，为写×号×2X1×E=,C错 【高二12月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 TL 误：由B选项知，侧面展开图扇形圆心角Q=交，M在SB上且BM=1,则SM=SB-BM=3,展开后的扇形中，B'与B (对应底面同一点)的圆心角为受，最短路径为线段BM,BM=√SF+SB=√+3=5，D正确.故选AD. 1.ACD由题意，双曲线x2-苦-=1，可得a=1,6=5,则c=a+8=2,所以焦点F(-2,0),F,(2,0),设P( 则m≥1，且x号-兰=1，即6=3-3，由|PF2-PF12=[(+2)2+]-[(w-2)2+36]=8m≥8，故A 正确：假设存在点P,设P(,w),则≥1，且8-普=1，即%=3%-3，所以PF·P=(-2-,一w)· (2-0,一)=x品-4十y%=x-4十3.x-3=4.x号-7≥-3，所以不存在点P,使得PF·PF2=-4,故B错误；显然 (x=my+n, 料室不为0，设直线1的方程为y十，由2-兰=得（3㎡-1)y十6mwv+3r3=0 相切，所以△=36m22-12(3m2-1)(-1)=0,整理得2=1-3㎡，所以-n2y2+61y-9m2=0,即(ny-3m)2= 0,解得y-积，即点P的纵坐标为y=织不妨设直线1与y=Bx的交点为M,与y=一Bx的交点为N,由 n x=my+n, 解得8即点M的纵坐标为w3闲 ,|x=1y+ y=V3x 1-5my=-3x 解料)一二博点N的飘华标为 W=,则点M.N的纵坐标之积为wN= 3n 1+3m 0,3”=3=32=-3,故C正确：因为 1-3m2 B”+一Bn w士_一Bm1中3m_Bn1+Bm）-5m1-Bm_=3=p,所以点P是线段MN的中点，所以 2 2 2(1-3m) 21t 11 |MN|=2|MP|,故D正确.故选ACD. 12.一2(1-i)(2+ai)=2+a+(a-2)i,由其为纯虚数可知 2+a=0解得a=一2. a-2≠0， 1802分)8分)因为证=2励.所u成-成+号动=花-恋+号市-衣)=-亦+}花+号亦.又 驼=xA+yAC+:A市，则x=-1=了，=号，所以x十y叶=0.以AC,ADAB所在直线分别为xy,轴，建 立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,00,B(00,3),C3,0,0),D(0,3,0),E1,2.0),F(0,号，)，Ai=(1,20),Ai=(0.0,3),A= (0,号，号)，设平面EAB的法向量为n=(xy,),则 AB·n=3e=0, A2.n=x十2y=0, 取x=2,则y=-1,之=0，所以n= 公，-1》所以点r到平面E1B的距离是·向一2清-语 14.士25抛物线E:2=6y的准线为y=-号，所以M(0,一号)，设直线1的方程为y=x-号，A(4m) 3 3 B(x2,2),由 =虹一之·得x2-6红十9=0，所以△=36-36>0，即>1，a十a=6k,zx=9,因为= x2=6y 3流所以(nm+2)=3(+)得=3所以=B。或。所以=士色=士2 m=35=-3V5, 6 3 【高二12月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 TL 15.解：(1)因为所求直线平行于直线x一y一2=0，所以可设该直线为x一y十c=0,…1分 又因为所求直线与直线x一y一2=0的距离为22，所以+2头=22， …3分 12+12 可得|c+2|=4,解得c=2,c=一6， …5分 所以平行于直线x一y一2=0，且与它的距离为2/2的直线的方程为：x一y十2=0，x一y一6=0.…6分 (2)已知圆C的圆心是C(0,0),半径是2， 当直线1的斜率不存在时，直线（的方程为x=一2，符合题意； …… ………8分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y一1=(x十2)，即kx-y十2k+1=0, 则圆心C到直线1的距离为2+1=2，解得k=三， /k2+1 4” …11分 故直线（的方程为3x一4y十10=0.… 12分 综上，直线l的方程为x=一2或3x一4y十10=0.… 13分 16.(1)证明：取MD的中点为Q,连接PQ,AQ,因为P,Q分别是MC,MD的中点，所以PQ∥DC,PQ=7DC,又AB∥ DC,AB=令DC,所以PQ/AB,PQ=AB,所以四边形ABPQ是平行四边形，所以BP∥AQ,.4分 又BP￠平面MAD,AQC平面MAD,所以BP∥平面MAD.· …6分 (2)解：因为∠ADC=90°，MD⊥底面ABCD,所以DA,DC,DM两两互相垂直，以D为坐标 原点，以DA,DC,DM分别为x轴，y轴，之轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，则 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,1,0),M(0,0,2),P(0,1,1),则MB= (2,1,-2),DB=(2,1,0),DP=(0,1,1),… …………9分 1m.D3=0, 设平面DBP的一个法向量为m=(x,y,之)，所以 2x十y=0令x=1,则m 即 m.Dp=0,ly十z=0, =(1,一2,2).…… ……12分 设直线MB与平面DBP所成角为O,则sin0= 票：向是-即直线娜与牙 平面DBP所成角的正弦值为.…15分 17.解：(1)因为c=asin B+bcos A,由正弦定理得sinC=sin Asin B+sin Bcos A, sin C=sin(x-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B=sin Asin B+sin Bcos A,即sin Acos B=sin Asin B,…3分 又A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosB=sinB,即tanB=1,… …4分 又BE(0,π)，所以B=平. …5分 (2)由余弦定理可得2=a2+2-2acc0sB=9+2-2X3X,2×2=5,所以6=√5， 2 …6分 由余碳定理得osC心”。_3+)-2华.所以nC=sC- 2ab 2×3×/5 5 …7分 又os∠AC=-告，所以sn乙ADC=VI-AI-√-(-吉)-是， …8分 所以sin∠DAC=sin(x-∠ADC-∠C)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADCcos∠C+cos∠ADCsin∠C =号×5+（吉）×9-罗， ……11分 在△AC中，由正弦定理得oACsi即-.解得DC DC 2 3 39 13分 2w5 25 5 所以△ADC的面积为CA·CDsn∠ACD=合×5X号×号=子 …15分 18.(1)证明：因为三棱柱ABC-A1B1C是直三棱柱，所以BB⊥底面ABC,所以BB1⊥AB,…1分 因为AB∥AB,BF⊥AB,所以BF⊥AB, 2分 又BB∩BF=B,BB,BFC平面BB1CC,所以AB⊥平面BCCB. …4分 【高二12月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 TL (2)证明：因为BA,BC,BB1两两垂直. 以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图. ………5分 所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A(2,0,2),C(0,2,2),E(1,1,0), F(0,2,1.… …6分 由题设D(a,0,2)(0≤a≤2). …7分 因为BF=(0,2,1),DE=(1-a,1,-2), 所以BF.DE=0X(1-a)+2X1+1X(-2)=0, …8分 所以BF⊥DE。…9分 (3)解：设平面DFE的法向量为m=(c,y,2), 因为E亦=(-1,1,1)，D=(1-a,1,-2),所以 m…萨=0， 即 f-x+y+x=0, m·Di=0,即{(1-a)x十y-2=0. 令g=2-a,则m=(3,1十a,2-a).… …11分 因为平面BCCB的法向量为BA=(2,0,0),… 12分 设平面BCB与平面DEF所成的角为0,0e[0,受]， 则|cos0=m: 6 14分 |ml·|BA|2×√2a2-2a+14√2a2-2a+14 当a=号时，2a2-2a+4取最小值为受，… 15分 此时s0取最大值为高令此时BD子， 16分 /27 所以当BD-时，平面BB,CC与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值是写 …17分 a2-b=4, 19.解：(1)由题意得23 (a2+2-1, …2分 解得 =8所以C的方程为十=1. b2=4, 4分 (②设M),由题意知0,4)，专+苦=1=8-2，-2≤<2， …6分 所以|ME|=V√x2+(y-4)=√一y-8y+24=√一(y+4)2+40, 因为-2≤y≤2，所以当y=一2时，ME引max=6,… …8分 所以|MN|mx=|ME x十√3=6+√5. …9分 (3)由题意得直线l的斜率不为0，故设1的方程为x=y十2，A(1,y),B(x2,2),P(x3,),Q(x4,y4) （x=ty+2, 联立直线1与C的方程，得工+兰=1， 消去x并整理，得(+2)y2+4ty一4=0， 8T4 所以△=16+16(2+2)=32(P+1)>0,M+为=- 41 4 2十2M为=一+2 11分 所ABl=FFm+)=不√-抄 2+2 …12分 联立直线1与抛物线)=8x的方程，得？一叶2， 消去x并整理，得y2-8ty-16=0, y2=8x, 所以△=642+64>0，为+y4=8t,y4=-16, 所以|PQ|=√1+平√/（十y4)2一4为y4=√/1+平√/64+64=8（产+1）， …14分 所以TAB+TPO42(+1)8(+D m +2」 m=2(2+2)+m (+2+) 8(t2+1) 8(t2+1) …15分 若TAB十TP0为定值，则2+层=1，即m=一反， 2 所以存在m=一厄，使得十尚为定值 17分 【高二12月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 TL