专题2.4 双曲线（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线核心知识点，系统梳理从定义（平面内动点与两定点距离差的绝对值为常数）到标准方程（焦点在x轴、y轴的形式），再到几何性质（对称性、顶点、离心率、渐近线），延伸至特殊类型（等轴双曲线、共轭双曲线）及焦点三角形问题，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”与“题型分类”设计，以正方体中点轨迹判断、动圆圆心轨迹求解等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过推导焦点三角形面积公式培养逻辑推理的数学思维，借助标准方程与几何性质应用练习提升数学语言表达能力。课中典例与变式辅助教师高效授课，课后练习题和题型归纳助力学生自主查漏补缺，强化知识应用。

专题2.4 双曲线 教学目标 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 3.了解双曲线的几何图形及简单几何性质． 4.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用. 教学重难点 1.重点 掌握双曲线中焦点、焦距、顶点坐标、实轴、虚轴及离心率的内容. 2.难点 掌握双曲线中的定点、定值、最值等问题. 知识点01 双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，P点不存在. 【即学即练】 1．已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】D 【分析】应用已知条件建立空间直角坐标系，设点再根据得，再化简求解. 【详解】如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作交于点，连接， 由题意可知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设点，则 由得， 化简得， 即点的轨迹是双曲线． 故选：D． 2．已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线， 故选： 3．方程表示的曲线可能为 （填序号） ①两条直线；②圆；③椭圆；④双曲线 【答案】①③④ 【分析】根据，讨论取不同范围内的值时，方程表示的曲线类型，即可得答案. 【详解】因为，所以， 当时，即，方程表示椭圆； 当时，即，方程表示双曲线； 当时，，方程表示两条直线， 由于，故不可能表示圆， 故答案为：①③④． 4．关于曲线，给出以下结论： ①当时，曲线为椭圆；②当为第二、第四象限角时，曲线为双曲线； ③当时，曲线为焦点在轴上的双曲线； ④当时，曲线为两条直线. 写出所有你认为正确的结论的序号 ． 【答案】②③ 【分析】根据的范围确定的正负，再由圆锥曲线的标准方程判断． 【详解】当，曲线方程为为圆，故①错误.当时，曲线方程为，不存在这样的曲线，故④错误.当为第二象限角时，曲线为焦点在轴上的双曲线，当为第四象限角时，，曲线为焦点在轴上的双曲线. 故②③正确. 故答案为：②③． 知识点02 双曲线的标准方程 标准方程 （） （） 图形 间的关系 注： (1)在双曲线的标准方程中,a与b没有必然的大小关系,a>b,a<b,a=b均有可能,这不同于椭圆中的限制条件a>b>0. (2)双曲线标准方程中的两个参数a与b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件. (3)焦点在双曲线标准方程中，判断焦点的位置是双曲线的定位条件,焦点的位置决定了双曲线标准方程的类型:焦点在x轴上标准方程中含x2的系数为正;焦点在y轴上标准方程中y2的系数为正. 【即学即练】 1．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 2．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 3．已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质，结合平行关系，即可得，由双曲线的定义即可求解. 【详解】如图，根据题意，，因为，， 所以，所以， 所以． 当位置互换时，， 当过的直线与轴重合时，无法作出， 所以点在以为焦点的双曲线上， 设该双曲线方程为，则，所以， 所以的轨迹方程为． 故答案为： 4．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出即可. 【详解】过点，可知所求双曲线的焦点在轴上，且， 因为所求双曲线与双曲线的离心率相等； 所以，解得，所以， 所以双曲线方程为． 故答案为：. 5．设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，则此双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的一个交点坐标，利用双曲线的定义，即椭圆和双曲线的交点到远焦点的长度减去到近焦点的长度为实轴长，求解即可. 【详解】将点A的纵坐标代入椭圆方程得，又两焦点分别为，，所以， ，，所以双曲线的方程为. 故答案为：. 知识点03 双曲线简单几何性质 对称性;对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． 离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线:经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 【即学即练】 1．已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的几何性质可得方程，解得的值，即可得解. 【详解】因为双曲线（，）的上焦点为， 所以，渐近线方程为，则， 因为，所以，解得，即，可知， 则该双曲线实半轴长为 故选：B. 2．已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得是正三角形，且是其中心，再用半焦距c表示出点坐标，代入双曲线方程求出离心率. 【详解】轴，令垂足为，由双曲线的对称性知，则是正三角形， 又，，则是的中心，， 而，则，点在双曲线， 因此，即，整理得，即， 解得，所以的离心率 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设条件，结合双曲线对称性确定出正三角形是求解问题的关键. 3．双曲线的焦点到顶点的最小距离是 . 【答案】1 【分析】双曲线焦点到顶点的最小距离为. 【详解】双曲线的焦点到顶点的最小距离为， 故答案为：1 4．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 【答案】2 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为 ，则双曲线的实轴长为2． 故答案为：2. 知识点04 等轴双曲线与共轭双曲线 1、等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）已对共轭双曲线有相同的渐进线； （2）已对共轭双曲线有相同的焦距； （3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； （4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 【即学即练】 1．等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，进而求出目标值. 【详解】设等轴双曲线方程为，则， 双曲线，即的渐近线方程为，半焦距， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：C 2．已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 3．与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】由题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案． 【详解】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为. 又该双曲线经过点，则，解得， 则要求的双曲线的标准方程为. 故选：D. 4．若双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，，则，应满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共轭双曲线可得，分别写出关于参数a、b的表达式，即可确定答案. 【详解】由题设知：且，则， 所以. 故选：D 5．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线方程和渐近线方程分别为 ． 【答案】， 【分析】由等轴双曲线得到，由焦点是得到焦点在轴上和，利用计算出的值，从而得到双曲线的方程和渐近线方程. 【详解】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是， 则有，，且焦点在轴上，又，即，解得， 故双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为. 故答案为：，. 知识点05 双曲线的焦点三角形 双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． 以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)双曲线的定义： (2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ， 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2== 【即学即练】 1．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 2．已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，则，， 又因为为直角三角形，所以， 所以，解得， 所以， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线上的一点，，且的面积为2，则实数（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用，以及勾股定理建立等量关系即可求解. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为， 所以为的中点，又因为的面积为2，所以的面积为4. 又，所以， 所以为直角三角形，且. 设，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以. 故选：B. 4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得 ，得 . 故选：C 题型01 求双曲线的标准方程 【典例1】过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 【变式1】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式2】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 【变式3】与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为 . 【答案】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，并设出双曲线方程，利用待定系数法求解即得.. 【详解】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为， 设双曲线方程为，而双曲线过点， 于是，即，又，解得， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为： 【变式4】若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，在根据双曲线的定义求出双曲线的，再求双曲线的. 【详解】椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为，根据双曲线的定义可得：，解得，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 【典例2】焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知，且焦点在轴上， 所以该双曲线方程为：. 故选：A 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支. 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线定义可得的值，进而求出，即可得到结果. 【详解】由双曲线的定义可得，，即，， 由题意得双曲线焦点在轴上，所以双曲线的方程为． 故选：A. 【变式2】已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得条件，，从而得到双曲线标准方程.. 【详解】由题可得双曲线焦点在轴上，且，，所以，，则双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式3】已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由直线过焦点，求得，进而求得，结合双曲线的焦点的位置，即可求解双曲线的方程. 【详解】由题意，点为双曲线上一点，且， 可得，即，解得， 又由直线过双曲线的一个焦点， 当时，可得；当时，可得； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的方程为或. 故答案为：或 【变式4】过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，则，，解得，得到，，得到答案. 【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，， ，则，四边形为矩形，. 故，，则， ，故，. 双曲线的方程为. 故答案为： 题型02 求双曲线的参数或参数范围 【典例1】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的标准方程即得. 【详解】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1】若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 【变式2】若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 【答案】C 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 【变式3】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的特征列出不等式组，求解即得 . 【详解】因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可将其方程化为，需使，解得. 故答案为：. 【变式4】在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线的定义可得，在△中应用余弦定理可得，注意其符号判断c的范围，再根据直线与圆相切可得，构造方程求参数c，进而求b. 【详解】由题设，，又，则， 在△中，则，即， 又直线与相切，则， 综上，，解得，而，则， 所以，可得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：注意应用余弦定理求关于椭圆参数的表达式，再由直线与圆的相切关系得到另一个关于椭圆参数的表达式，联立求参数. 题型03 双曲线的定义及应用 【典例1】已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【变式1】已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 【变式2】设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 【变式3】已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【分析】通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 题型04 双曲线的简单几何性质 【典例1】若实数满足，则双曲线与的（   ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断． 【详解】由，得，所以两双曲线的焦点均在轴上， 因为，所以两双曲线的焦距相等，故C正确， 而实轴长前者为8，后者为，虚轴长前者为，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，故ABD错误， 故选：C． 【变式1】已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用椭圆方程求得点的坐标，结合AB的斜率得到，从而得到关于的齐次方程，进而得到，，由此得解. 【详解】依题意可知，在第一象限，， 将点代入椭圆方程，得，则， 则，又因为AB的斜率为1，所以， 又，所以，即， 解得或（舍去），则， 所以的实轴长为与虚轴长的比值为. 故选：A. 【变式2】已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义和对称性，可列式求值. 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6 【变式3】已知双曲线的左、右顶点分别为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】设，由，得，化简得，可求双曲线的渐近线方程. 【详解】由对称性不妨设点在第一象限，设，则有， 由， ，得， 则有，得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【变式4】已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为 ． 【答案】2 【分析】求出直线与轴的交点坐标和斜率，然后列方程组求得得实轴长． 【详解】直线与轴交点为，斜率为， 由题意，解得， 所以双曲线的实轴长为． 故答案为：2. 题型05 双曲线的渐近线相关问题 【典例1】已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线之间关系及离心率的定义可构造方程求得，由此可得渐近线斜率和倾斜角，根据两直线夹角的范围可确定最终结果. 【详解】椭圆的离心率，双曲线的离心率， ，，， 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，即渐近线的倾斜角分别为和， 又两条直线夹角的范围为：， 双曲线两条渐近线的夹角大小为. 故选：B. 【变式1】由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用渐近线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】由题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为，即， 故，可得， 故该双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式2】已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可 【详解】由题意可知，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 【变式3】双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【分析】由点在渐近线上可求得，再根据双曲线的性质计算离心率即可. 【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得， 记坐标原点为，则，即． 因为，所以，故双曲线的离心率为． 故答案为：. 【变式4】双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 【答案】 【分析】求得双曲线的一条渐近线的倾斜角范围，结合二倍角公式即可求解. 【详解】双曲线两渐近线为， 设的倾斜角为，所以，所以， 故所求为. 故答案为：. 题型06 双曲线的焦点三角形相关问题 【典例1】双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求的双曲线的方程为，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到，根据双曲线的定义可得，计算的周长可转化为，当，，三点共线时，周长取最小值. 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故选：D.    【变式1】已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为 . 【答案】36 【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 【变式2】已知双曲线上一点M与两焦点所成的角，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理及双曲线定义求得，进一步求出面积即可. 【详解】由，可得，，， ， 又因为，所以，即， 由余弦定理得，解得, 所以， 故答案为： 【变式3】已知为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，其上一点满足，点满足，则 . 【答案】或8 【分析】分点P在双曲线左支时或点在双曲线右支时，取中点，结合双曲线定义，应用余弦定理得出余弦值，再利用同角三角函数关系得出正弦值即可得出正切值. 【详解】当点在双曲线左支时，    设，则，由勾股定理知， 由解得，于是，.取中点， 由中位线性质可知，故， 而，故由余弦定理得， 由知， 故. 当点在双曲线右支时，    有，，取中点， 由中位线性质可知，故， 显然，故由余弦定理知， 由知， 故. 故答案为:或. 【变式4】双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和的关系建立方程组，求得的值，即可得到曲线方程； （2）由双曲线上的点到两焦点距离差为，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得，然后得到三角形面积. 【详解】（1）由题意知： ， 解得， 故双曲线的方程为：. （2）由题意得，， 在中，由余弦定理得： 即：，， ， 所以的面积为. 题型07 求双曲线的离心率或离心率范围 【典例1】已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】为椭圆双曲线共焦点问题，利用椭圆和双曲线的定义，求出离心率之间的关系解题. 【详解】由题意可得，， 两式相减得， 所以，即， 所以， 令，则，， 且函数在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 故答案为：D 【变式1】在双曲线的两条渐近线上各取一点，，线段中点为，且，则双曲线离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】法一：设，得到，求得，联立方程组，求得的值，代入，可得，即，进而求得双曲线的离心率； 法二：设双曲线的渐近线的斜率，且交轴于，根据题意，得到和，求得，结合，求得，即，进而求得双曲线的离心率. 【详解】法一：设双曲线的渐近线斜率，则，， 因为线段中点为，可得，且， 又因为，则，解得， 联立方程组，解得， 代入，可得，即，所以离心率. 法二：如图所示，设双曲线的渐近线的斜率，且交轴于， 因为，即，可得， 又因为线段中点为，可得， 所以，则， 又由，所以，解得，即， 所以离心率. 故选：C.    【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】法一：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，将点代入双曲线得到的齐次方程，从而得解； 法二：同法一求出点坐标后，利用两点间距离公式求出关于的表达式，再利用双曲线的定义得到与的关系，从而得解. 法三：设出，再利用线段长度关系、垂直关系得到，再利用双曲线的定义得到，再利用等面积法、勾股定理得到，从而得解. 【详解】 法一：由题意可知，，，设，， 则，，因为， 故，即，即． ，，因为， 所以，即，解得． 因为点在双曲线上，故有， 又，所以，即， 化简得，则，故. 法二：由前面法一得，， 所以 ， ， 由双曲线的定义可得，即，即， 所以双曲线的离心率． 法三：由可得三点共线，且在线段上，因此不妨令点在第一象限，则点在轴负半轴上，易得． 设，则，所以，， 由可得，所以， 所以，即． 过作，垂足为，则，即， 所以，则，故， 则，即，所以． 故答案为：. 【变式3】已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】. 【分析】由题意可知，所以得到和都为直角三角形，可利用勾股定理计算三边的关系，结合和的勾股定理，可计算得出，再 结合和的勾股定理，即可计算出离心率. 【详解】由题意得： 因为，所以，即，如图所示， 假设，因为，所以， 由双曲线的定义得：，， 所以，， 在中：，所以，化简得，因为，所以，即， 在中：，所以，将代入得：，所以，，即离心率为. 故答案为： 【变式4】已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的三条边，再利用是锐角三角形，结合余弦定理求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】    关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称， 四边形是平行四边形，则， ，， 设点在左支，根据双曲线定义得：， 联立可得， 的三条边：，， 是锐角三角形， 的三个内角均为锐角，即 ：，则； ： ，不等式恒成立； ：，则， 双曲线的离心率的取值范围为：． 故答案为： 1．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意可知双曲线的焦点在轴上，设过作圆的切线切点为，过作直线的垂线，垂足为，根据已知条件分别求解出，，代入双曲线定义中可得：，进而求解渐近线方程. 【详解】 M、N在双曲线的同一支，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：，即得：的渐近线方程为. 故选：D 2．过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离求出，再由三角形面积公式求出面积，解方程得出，即可求出离心率. 【详解】如图， 设， 因为点在双曲线上，所以，即， 因为双曲线的两条渐近线的方程为， 所以， 设渐近线的倾斜角为， 此时，易知， 因为，所以， 所以的面积， 解得，则双曲线的离心率. 故选：A 3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率求出的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的离心率为，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出双曲线的标准方程，再根据条件求出，即可求出结果. 【详解】依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 5．已知离心率为的双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而计算可求得双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 结合已知可得，所以，所以， 即，所以双曲线的离心率. 故选：D. 6．已知双曲线的两条渐近线的倾斜角均大于，则C 的焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，结合题意可得，进而可求焦距的取值范围. 【详解】由双曲线可知渐近线方程为， 若双曲线的两条渐近线的倾斜角均大于， 则，即， 可得C 的焦距为， 所以C 的焦距的取值范围是. 故选：D. 7．已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设双曲线的方程，将点代入方程得到，再根据题目信息得到渐近线倾斜角为或，对两种情况分别讨论即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，将点代入方程得，①. 因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为或. 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得， 则，所以离心率； 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得，无解. 综上所述，的离心率为. 故选：C. 8．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 9．双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，则， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 10．双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为 . 【答案】 【分析】可设所求的双曲线的方程为，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到，根据双曲线的定义可得， 计算的周长可转化为，当，，三点共线时，周长取最小值. 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 如图： 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故答案为： 11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为， 不妨设焦点在轴上，点在第一象限， 由点在线段的垂直平分线上，则， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则，整理得， 则，故，则， 故，其中， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 即的取值范围是. 故答案为：. 12．设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则 . 【答案】9 【分析】根据双曲线定义先求出的值，再根据三角形两边之和大于第三边验证，即可得解. 【详解】由双曲线方程可知，则，所以. 因为点P在双曲线C上，所以， 又，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：9 13．若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是 ，的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点就得到了双曲线的焦点， 代入双曲线方程，计算得解； （2）设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理求出，使用数量积公式计算. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得，      双曲线的标准方程为. （2）设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理， 得， 所以，   则. 15．在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. (1)试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； (2)已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意求出的值，再根据双曲线的定义判断，最后根据双曲线的标准方程即可求出； （2）根据题意求出线段的垂直平分线的方程，再联立双曲线方程，解方程即可. 【详解】（1） 设船的坐标为，导航台和相距500海里，即，即， 两台同时发出的无线电信号到达的时间差为，无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒， 可得海里，即， ,根据双曲线的定义可知船所在的曲线是以为焦点的双曲线， ， 双曲线的焦点在轴上，故其标准方程为， 故船所在的曲线的方程为. （2）船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0， ，船在线段的垂直平分线上， 又，线段的中点坐标为， 直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的垂直平分线的方程为， 联立，得，得， 解得或， 当时，；当时，， 船先收到了发来的信号，故船在双曲线的右支上， 故船的位置为. 16．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. 【详解】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 17．已知，分别为双曲线的左、右焦点，，离心率为，，. (1)求双曲线的方程； (2)若以为方向向量的直线经过，求到的距离； (3)双曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据离心率即可求解，进而得，即可求解方程， （2）根据点斜式求解直线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解即可, （3）根据向量的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：,，所以， 则，可知双曲线的方程为. （2）因为为直线的方向向量，则直线的斜率， 且点在直线上，则直线的方程为，即 又由题意可知， 所以到的距离. （3）由题意可知：，，设， 则，. 因为，整理得：， 由点在双曲线上，则， 可得：，即，， 所以，无解，所以不存在点，使得. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 双曲线 教学目标 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 3.了解双曲线的几何图形及简单几何性质． 4.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用. 教学重难点 1.重点 掌握双曲线中焦点、焦距、顶点坐标、实轴、虚轴及离心率的内容. 2.难点 掌握双曲线中的定点、定值、最值等问题. 知识点01 双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，P点不存在. 【即学即练】 1．已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 2．已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．方程表示的曲线可能为 （填序号） ①两条直线；②圆；③椭圆；④双曲线 4．关于曲线，给出以下结论： ①当时，曲线为椭圆；②当为第二、第四象限角时，曲线为双曲线； ③当时，曲线为焦点在轴上的双曲线； ④当时，曲线为两条直线. 写出所有你认为正确的结论的序号 ． 知识点02 双曲线的标准方程 标准方程 （） （） 图形 间的关系 注： (1)在双曲线的标准方程中,a与b没有必然的大小关系,a>b,a<b,a=b均有可能,这不同于椭圆中的限制条件a>b>0. (2)双曲线标准方程中的两个参数a与b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件. (3)焦点在双曲线标准方程中，判断焦点的位置是双曲线的定位条件,焦点的位置决定了双曲线标准方程的类型:焦点在x轴上标准方程中含x2的系数为正;焦点在y轴上标准方程中y2的系数为正. 【即学即练】 1．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 4．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 5．设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，则此双曲线的方程为 . 知识点03 双曲线简单几何性质 对称性;对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． 离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线:经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 【即学即练】 1．已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 . 3．双曲线的焦点到顶点的最小距离是 . 4．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 知识点04 等轴双曲线与共轭双曲线 1、等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）已对共轭双曲线有相同的渐进线； （2）已对共轭双曲线有相同的焦距； （3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； （4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 【即学即练】 1．等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3．与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 4．若双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，，则，应满足的关系是（    ） A． B． C． D． 5．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线方程和渐近线方程分别为 ． 知识点05 双曲线的焦点三角形 双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． 以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)双曲线的定义： (2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ， 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2== 【即学即练】 1．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 2．已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线上的一点，，且的面积为2，则实数（    ） A． B．2 C．4 D． 4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 题型01 求双曲线的标准方程 【典例1】过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为 ． 【变式3】与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为 . 【变式4】若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 ． 【典例2】焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支. 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 【变式3】已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【变式4】过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 . 题型02 求双曲线的参数或参数范围 【典例1】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【变式2】若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 【变式3】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为 ． 【变式4】在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点，若，则的值是 ． 题型03 双曲线的定义及应用 【典例1】已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 题型04 双曲线的简单几何性质 【典例1】若实数满足，则双曲线与的（   ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【变式1】已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 【变式3】已知双曲线的左、右顶点分别为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 【变式4】已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为 ． 题型05 双曲线的渐近线相关问题 【典例1】已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 . 【变式3】双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为 . 【变式4】双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 题型06 双曲线的焦点三角形相关问题 【典例1】双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【变式1】已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为 . 【变式2】已知双曲线上一点M与两焦点所成的角，则的面积为 ． 【变式3】已知为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，其上一点满足，点满足，则 . 【变式4】双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 题型07 求双曲线的离心率或离心率范围 【典例1】已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在双曲线的两条渐近线上各取一点，，线段中点为，且，则双曲线离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ． 【变式3】已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为 . 【变式4】已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 1．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程（   ） A． B． C． D． 4．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知离心率为的双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的两条渐近线的倾斜角均大于，则C 的焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．或 8．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 9．双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为 . 10．双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为 . 11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 12．设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则 . 13．若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是 ，的离心率的取值范围是 . 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的值. 15．在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. (1)试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； (2)已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 16．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 17．已知，分别为双曲线的左、右焦点，，离心率为，，. (1)求双曲线的方程； (2)若以为方向向量的直线经过，求到的距离； (3)双曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $