2.3.2 双曲线的性质（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.3.2 双曲线的性质 题型1：双曲线的离心率及应用 1．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为 ． 【答案】/1.25 【分析】先求出双曲线方程，再由双曲线的性质得到，最后用离心率公式算出结果. 【解析】因为点在双曲线上，代入可得，解得， 由曲线方程可知，故， 所以双曲线的离心率为， 故答案为： 2．已知双曲线的离心率为2，则实数 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线方程可得出，利用离心率求解. 【解析】由双曲线知，，， 所以， 解得. 故答案为：12 3．已知是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由已知得，，再利用，进而得解. 【解析】由已知得，， 又，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 4．已知离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，则此双曲线的方程式 ． 【答案】 【分析】设出双曲线方程，根据题意列出方程，求出，，求出方程. 【解析】椭圆焦点在轴上，故设双曲线方程为， 因为离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点， 所以双曲线中，，，解得：， 所以， 所求双曲线的方程为． 故答案为：. 5．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答. 【解析】令双曲线C的半焦距为c，即，又，，则， 中，，由余弦定理得， 即，整理得， 所以C的离心率． 故答案为： 题型2：双曲线的渐近线及应用 6．双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解. 【解析】由题意可知，，， 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 7．已知双曲线，则双曲线的两条渐近线的夹角是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程，求出对应的渐近线方程，得到斜率，利用两直线的夹角公式，求出渐近线的夹角. 【解析】由题可知，双曲线的渐近线方程为：， 所以两条渐近线的斜率分别为：. 设渐近线的夹角为， 根据两直线夹角公式求得渐近线夹角的正切值为： 所以. 故答案为： 8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，对照得到方程，求出，从而求出焦距. 【解析】由题意得的渐近线方程为， 故，解得， 故，焦距为. 故答案为： 9．双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可设双曲线方程为，将代入方程求得，即可求得答案. 【解析】由题意双曲线经过一点，渐近线方程为， 可设双曲线方程为， 将代入方程得， 故双曲线的方程为，标准方程为. 故答案为：. 10．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据点到直线的距离为1，结合离心率及的关系即可求解. 【解析】设双曲线方程为，则渐近线方程为，焦点为， 所以焦点到渐近线的距离为， 又，结合，可得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 11．已知双曲线的焦点与椭圆的上、下顶点重合，且其中一条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的顶点坐标得双曲线的交点坐标，结合渐近线方程求出参数即可. 【解析】椭圆的上、下顶点坐标为， 设双曲线的标准方程为，其半焦距为， 由题得双曲线焦点为，即. 因为其中一条渐近线方程为， 所以，即，结合，解得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为:. 12．若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可以求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，进而列出方程组解出的值，从而求出双曲线方程. 【解析】解：双曲线焦点在轴上，渐近线方程为：， 直线经过点，所以，且直线的斜率为， 所以，解得，所以双曲线方程为. 故答案为： 13．已知为双曲线的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，，则C的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得出为等腰三角形，结合求出，即可求得答案. 【解析】由题意知，而， 结合双曲线的对称性可知为等腰三角形，则， 故，结合可得， 故C的渐近线方程为， 故答案为： 题型3：等轴双曲线 14．等轴双曲线的焦距为 . 【答案】 【分析】根据等轴双曲线定义得到，进而求出，得到焦距. 【解析】由题意得，，故，故，焦距为. 故答案为： 15．双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ . 【答案】/-0.5 【分析】由点到直线距离公式及得到，结合，求出. 【解析】由于双曲线在左支位于渐近线之间，故， 因为，故， 又，故. 故答案为： 16．已知双曲线的中心为，离心率为，焦点为，，为上一点，，则（    ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】由离心率为得，设，利用双曲线的定义和列方程可得. 【解析】由离心率得，，即，. 不妨设为的右支上一点，如下图： 由双曲线的定义，得， ，即, 坐标代入计算可得，， ，即. 所以，. 故选：A. 17．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的对称性得出一条渐近线的倾斜角，从而判定关系，再求离心率即可. 【解析】根据双曲线的对称性可知该双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以， 则其离心率为. 故答案为： 18．已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等轴双曲线的几何形式，能够确定是等腰三角形，即可求解. 【解析】由题意得的渐近线方程为，得（为坐标原点）， 由，得，则， 所以. 故选：C 题型4：双曲线的对称性 19．已知圆与双曲线的右支交于两点，且，则圆的半径的值为 ． 【答案】 【分析】设，结合题意，求得，代入双曲线的方程，即可求得的值. 【解析】如图所示，设点的坐标为， 因为，根据双曲线的对称性，可得， 又因为，可得，即， 将点代入双曲线，可得，解得. 故答案为：.    20．已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果. 【解析】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上， 的中点在渐近线上， 则，又， 所以， 所以，所以.    故答案为：. 21．已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】由双曲线的性质可得，再利用双曲线的定义即得. 【解析】由双曲线的对称性可得点Q在双曲线的左支上，且， 由可知，， ∴. 故选：C. 题型5：直线与双曲线的位置关系 22．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，无实数解， 综上所述：符合题意的取值为， 故答案为：. 23．已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需直线的斜率大于等于渐近线的斜率即可. 【解析】双曲线的一条渐近线的斜率为, 若双曲线与直线无公共点， 只需, 解得. 故的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 24．若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线为椭圆，只需点落在椭圆内，列不等式求出的范围；若当曲线为双曲线时，只需把表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围. 【解析】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.    当曲线为椭圆时，则，只需点落在椭圆内，即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程： 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：. 所以实数的取值范围是 故选：C 25．若双曲线的右支上存在两点，使直线垂直于双曲线在点处的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设在轴上方，则双曲线在点处的切线斜率，结合垂直直线的斜率关系可得，由直线与双曲线的位置关系可得，解不等式可得的范围. 【解析】由题，不妨在轴上方，则双曲线在点处的切线的斜率为， 因为双曲线上一点的切线斜率的绝对值大于渐近线斜率的绝对值， 所以， 又，故， 又与双曲线右支有两个交点且斜率为负， 所以， 故 所以. 故选：D. 26．过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】易知直线的斜率存在，设：，联立双曲线方程可得，分类讨论当、时，求出对应的k，即可下结论. 【解析】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立， 若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个. 当时，；当时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条. 故选：C. 题型6：弦长、焦点弦问题 27．已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 【答案】 【分析】由已知可判断双曲线的焦点在轴上，利用方程可求得的值，即可得到离心率；由可求得交点坐标，利用两点间的距离公式计算即可. 【解析】因为双曲线， 则故； 当时，，不妨设, 故， 故答案为：；. 28．已知、是双曲线的两个焦点，过作垂直于轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为，则 . 【答案】 【解析】求出，利用双曲线的定义可求得. 【分析】在双曲线中，，，则， 不妨设点为该双曲线的左焦点，将代入双曲线的方程可得，解得， 所以，，由双曲线的定义可得. 故答案为：. 29．已知直线和双曲线相交于两点，为原点，则面积为 . 【答案】 【解析】联立方程得关于的一元二次方程，根据韦达定理，代入弦长公式求解弦长，再计算点到直线的距离，利用计算面积即可. 【解析】联立得，设， 则，所以 又因为点到直线的距离为：，所以 . 故答案为：. 30．已知直线与双曲线（，）的渐近线交于，两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，，利用点差法可求的值. 【解析】设，，的中点为，故， 所以即 ，所以. 因为过原点和线段中点的直线的斜率为，故. 由可得，所以， 所以. 故答案为. 【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算. 31．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【解析】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 题型7：中点弦问题 32．设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可. 【解析】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段AB存在， 故选：C 33．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率 【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得 则， 则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率 故选：D 34．若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得，设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解. 【解析】， ， 又，， 双曲线的渐近线方程为：， 即， 焦点到渐近线的距离为， 即的最小值为b， 即， 不妨设直线OQ为：， ， 点，，的中点为， 将其代入双曲线C的方程，得：， 即， 解得： 又，， ， 故双曲线C的方程为． 故选：B. 题型8：取值范围、最值问题 35．已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线上关于原点对称的点，根据向量的坐标运算得到，然后练习双曲线方程，得，根据范围即可求解. 【解析】，设，则， ， ，化简得 ，因为满足双曲线方程，所以，因此可得： ，由 得 ，又，所以 . 故答案为： 36．已知双曲线的离心率为，虚轴长为，，为左，右焦点，则焦点到渐近线的距离为 ；设点为上一点，动点为双曲线左支上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，即可容易求得到渐近线距离；结合双曲线定义，即可容易求得的最小值. 【解析】由题意，，因为离心率， 所以，， 故，到渐近线的距离为． ，点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义可知， 则 ． 故答案为：；. 【点睛】本题考查双曲线方程中参数的计算，涉及双曲线上最值问题的求解，涉及双曲线的定义，属综合基础题. 37．已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 . 【答案】5 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，对照系数结合得到的轨迹方程，计算出，，求出，得到点轨迹的渐近线，先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，即得结果. 【解析】因为，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0， 所以直线方程斜率一定存在， 设直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 则，设，， 则，， 可得 ， 且，，由，可得， 即，解得， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当时，故切线的斜率存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得：， 所以， 把代入，得：， 于是， 则椭圆的切线斜率为，切线方程为， 整理得到， 其中，故，即， 当时，此时或， 当时，切线方程为，满足， 当时，切线方程为，满足， 综上：椭圆在处的切线方程为； 可知：椭圆在点的切线方程为， 椭圆在点的切线方程为， 由于点为与的交点， 故，， 所以直线为， 因为直线的方程为，对照系数可得，， 又，故，整理得， 又在第一象限， 故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分， ，同理可得， 则， 又由于，，，故， 设，则， 则两式联立得， 由得，， 检验，当时，，又， 解得，满足要求. 故的最小值为4 故的最小值是5 故答案为：5. 【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：； 过椭圆上一点的切线方程为； 过椭圆外一点的切点弦方程为； 过双曲线上一点的切线方程为； 过双曲线外一点的切点弦方程为. 题型9：定点、定值问题 38．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 【答案】 【分析】设出直线的方程，点和点的坐标，求出点的坐标，联立求出韦达定理，分和两种情况即可求解. 【解析】 由题意可设，， 则，由得：， 与双曲线有两个交点，，则，， 当时，点与点重合，此时直线为轴， 当时，将上式点坐标中的换成，可得， ①当直线不垂直于轴时，， 则直线，化简得：，直线过定点， ②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点. 综上所述：直线过定点. 故答案为：. 39．已知双曲线：和椭圆：.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，得到，联立方程组得到，设，求得，要使得为定值，求得，，再设直线方程为，得到，联立方程组求得，化简得到，进而得到，即可求解. 【解析】当直线、的斜率不存在时，不满足题意.故直线的方程设为， 直线过点，即， 联立方程组，整理得， 则，且， 设，，有，， 设，， 整理得， 则， 将代入得， 由动直线、互不影响可知，要满足为定值， 则为定值，为定值， 因此要满足为定值，则有： ①若，，计算得，， 经检验满足，此时； ②若，即，， 则有无解； 综上，当，， 下面只需验证当时，是否为定值， 设直线方程为：，直线过点，即， 椭圆方程联立，得，可得， 设，，有，， ， 化简得， 则， 将得，所以当，，，，所以点坐标为. 故答案为：.    【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 题型10：解答题 40．已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出它们的值，即得答案； （2）由题意可确定P点坐标，根据三角形面积公式，即可求得答案. 【解析】（1）由题意可得：，据此可得， 故双曲线的标准方程为． （2）由双曲线的标准方程可得，由于，则， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点P在双曲线的渐近线上，则， 则△PFO的面积． 41．已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解， （2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】（1）直线的方程为． 由方程组得． 设,则， ． （2）设点，则点的坐标为． ，， ． 因为，所以． 42．已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)当时，曲线为椭圆； 当时，曲线为抛物线； 当时，曲线为双曲线； (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，化简即可； （2）由题意可得，进而分类讨论可得结论； （3）设直线的方程为，设，则，联立方程组可得，可得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【解析】（1）当，时，则，设， 由题意可得，化简得， 所以曲线的方程为； （2）若，则，设， 由题意可得，化简得，即, 当时，方程表示椭圆； 当时，方程表示抛物线； 当时，方程表示双曲线； （3）若，，则，由（2）可得曲线的方程为， 设直线的方程为， 由，消去，得， 设，则， 所以， 直线的方程为，由双曲线关于轴对称，可得定点在轴上， 当时， ， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：本题求定点坐标，关键由对称性可得定点在轴上，进而令直线方程中的，求解可得定点坐标. 43．已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）根据（1）可得，，进而结合余弦定理及三角形面积公式求解即可； （3）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，进而联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【解析】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    一、填空题 1．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】作出示意图，由切线性质结合双曲线定义可得两内切圆都与轴相切于，后设直线倾斜角为，由几何知识可得，后由两圆外切相关条件可得答案. 【解析】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为， 记边上的切点分别为， 由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又. 则，又，则，即. 同理可得，的内切圆也与轴相切于点. 连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接， 过点作，记垂足为，则. 设直线倾斜角为，则. 在四边形中，注意到，又四边形内角和为， 则，在中，， ， 则， 则直线斜率，即. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点形成的三角形的内切圆与x轴相切于双曲线顶点处. 2．已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意首先得，进一步由点差法得，由同理思想即可得解. 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 二、单选题 3．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点C是双曲线右支上异于顶点的点，点D在直线上，且满足，．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据得在的角平分线上，进而根据双曲线的定义以及切线长性质可判断为的内心，结合重心的向量表示以及重心的性质，即可得，进而由离心率公式即可求解. 【解析】由于点D在直线上，且满足，可知在的角平分线上， 设的内切圆分别与边相切于点,（如图1）则有切线长定理可得, 结合双曲线的定义可得,所以的内心在直线上，故为的内心， 由得,　由于是的中点,所以, 因此, 分别延长至,使得,如图2 故，因此是的重心， 设由是的重心，所以， 又，同理即，故 由于为的内心，故到三条边的距离相等，可得, 因此为直角三角形，所以， 因此离心率, 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，以及三角形内心，重心的性质，综合性较强.对于离心率问题，要充分挖掘几何性质和图形中体现的等量关系，建立出的关系系，从而求解离心率. 4．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，，以为圆心、为半径的圆和以为直径的圆分别与在第一象限内交于点，，直线与直线交于点，若，则下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．点在直线上 C．双曲线的离心率可能为 D．双曲线的离心率可能为2 【答案】C 【分析】对于A，由题意知，设，则，，设双曲线的右顶点为，在中由余弦定理得，可得，从而得到点在直线上；对于B，由，可得，，设，可得，，从而可得结论；对于C、D，由题意可知，分别讨论当和时，所对应离心率的值，从而可判断选项. 【解析】对于A；由题意知，设，则，． 设双曲线的右顶点为，连接，在中由余弦定理得， 所以，，故点在直线上，A正确． 对于B：易知，则点到直线的距离为， 所以．设，，，则， 得，从而，故点在直线上，B正确． 对于C，D：由题意可知． 当时，点在第四象限，如图1所示．由对称性知， 由角平分线定理得，又，所以， 所以，所以离心率． 当时，点在第二象限，如图2所示．由知为线段的中点， 则可得，所以离心率．故C错误，正确． 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是求出，再求出点的纵坐标，从而得到其横坐标. 三、解答题 5．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【答案】(1)：，: (2) 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【解析】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为， 段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 6．如图，已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)若点P在第一象限，且满足，求的面积； (3)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【答案】(1)； (2)36； (3)过定点，理由见解析. 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出，即得双曲线方程； （2）设点,由题设条件依次求得点，，再求三角形面积即可； （3）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可求得定点． 【解析】（1）依题意，可得，解得. 故双曲线C的方程为； （2） 如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 于是的面积为; （3）直线经过点，理由如下： 设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与双曲线位置关系的应用，属于较难题. 关键是在解决第2问时，利用韦达定理实现非对称代换，整理方程后推得直线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.2 双曲线的性质 题型1：双曲线的离心率及应用 1．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为 ． 2．已知双曲线的离心率为2，则实数 ． 3．已知是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的标准方程为 . 4．已知离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，则此双曲线的方程式 ． 5．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为 ． 题型2：双曲线的渐近线及应用 6．双曲线的渐近线方程为 . 7．已知双曲线，则双曲线的两条渐近线的夹角是 . 8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 9．双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 10．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 11．已知双曲线的焦点与椭圆的上、下顶点重合，且其中一条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 12．若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为 . 13．已知为双曲线的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，，则C的渐近线方程为 ． 题型3：等轴双曲线 14．等轴双曲线的焦距为 . 15．双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ . 16．已知双曲线的中心为，离心率为，焦点为，，为上一点，，则（    ） A． B．3 C．4 D．8 17．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 18．已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型4：双曲线的对称性 19．已知圆与双曲线的右支交于两点，且，则圆的半径的值为 ． 20．已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 . 21．已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（    ） A．4 B． C．6 D． 题型5：直线与双曲线的位置关系 22．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 23．已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 24．若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．若双曲线的右支上存在两点，使直线垂直于双曲线在点处的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 题型6：弦长、焦点弦问题 27．已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 28．已知、是双曲线的两个焦点，过作垂直于轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为，则 . 29．已知直线和双曲线相交于两点，为原点，则面积为 . 30．已知直线与双曲线（，）的渐近线交于，两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值为 ． 31．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：中点弦问题 32．设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 33．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 34．若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 题型8：取值范围、最值问题 35．已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为 ． 36．已知双曲线的离心率为，虚轴长为，，为左，右焦点，则焦点到渐近线的距离为 ；设点为上一点，动点为双曲线左支上一点，则的最小值为 ． 37．已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 . 题型9：定点、定值问题 38．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 39．已知双曲线：和椭圆：.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为 . 题型10：解答题 40．已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求的面积． 41．已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 42．已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 43．已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 一、填空题 1．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为 . 2．已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 二、单选题 3．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点C是双曲线右支上异于顶点的点，点D在直线上，且满足，．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，，以为圆心、为半径的圆和以为直径的圆分别与在第一象限内交于点，，直线与直线交于点，若，则下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．点在直线上 C．双曲线的离心率可能为 D．双曲线的离心率可能为2 三、解答题 5．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 6．如图，已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)若点P在第一象限，且满足，求的面积； (3)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$