2.2.1椭圆的标准方程教案-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

2.2.1 椭圆的标准方程 授课班级：高二6班 授课教师：***** 授课时间：2024.11.19 【教材分析】 《椭圆及其标准方程》安排在《高中数学·选择性必修第一册》第二章第2.2.1节。圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容之一，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节主要学习椭圆的定义和标准方程，它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。一方面，前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，另一方面，椭圆、双曲线、抛物线无论是定义、性质、方程还是坐标法运用上都有很多相似之处，可以这么说学习椭圆就是学习其他圆锥曲线的基础。对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。对椭圆定义与方程的探究过程，发展直观想象、数学运算学科素养，为后续知识的学习奠定了基础。 【学情分析】 高二6班是一个物理选科方向的班级，学生理科思维较活跃，在此之前，学生已学过运用坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够；从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在一定障碍；在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，可能会有一部分学生在数学运算及推导方面存在一些障碍，教师要适时加以点拨指导。 【教学目标】 1. 创设情境，通过实验探究，理解椭圆的定义； 2. 理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高数学运算能力； 3. 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程； 4. 通过椭圆标准方程的探究、推导过程，发展直观想象、数学运算学科素养. 【教学重难点】 1. 教学重点：理解椭圆定义，掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程； 2. 教学难点：椭圆的标准方程的推导。 【教学技术与学习资源应用】 1. 课件； 2. 学生学习任务单。 【教学过程】 1． 情境导入 2024年9月19日9时14分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号 乙运载火箭与远征一号上面级，成功发射第五十九颗、六十颗北斗导航卫 星。该组卫星属中圆地球轨道（MEO）卫星，是我国北斗三号全球卫星导 航系统建成开通后发射的第二组MEO卫星，入轨并完成在轨测试后，将接 入北斗卫星导航系统。北斗卫星导航系统（以下简称北斗系统）是中国着眼 于国家安全和经济社会发展需要，自主建设运行的全球卫星导航系统，是为 全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务的国家重要 时空基础设施。 问题1：卫星轨道是什么形状？生活中还有哪些类似图形？ 回顾 :（1）圆是怎样画出来的？ （2）圆的定义是什么？ （3）圆的标准方程是什么形式的？ 二．实验探究，形成概念（对应教学目标1、4） 实验操作：（动图展示） (1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆． 问题2： 如果将圆心从一点“分裂”成两点，把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点，套上铅笔，拉紧绳子，慢慢移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ （动图展示，得出结论——椭圆） 问题3： (1)在作图中，哪些量没有变？的和是否变化？ (2)与的大小关系是？ (3)若绳长与两定点的距离相等，画出的图形是？ (4)绳长能小于两定点之间的距离吗？ （一）椭圆的定义 定义：我们把平面上到两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，用集合的记号表示，椭圆就是下述点集： 定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。 问题4：在平面内动点M到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是否一定为椭圆？ 注意:（1）若,M点轨迹为椭圆； （2） 若,M点轨迹为线段； （3） 若,M点轨迹不存在。 【任务1】 1、 请判断满足下列条件的动点P的轨迹： （1） 点P到点的距离之和为10； （2） 点P到点的距离之和为8； （3） 点P到点的距离之和为6； 【评价关注点：椭圆的定义】 （二）椭圆方程的推导（对应教学目标2、4） 问题5：求曲线方程的一般步骤是什么？ ①建系、设点 ②列式 ③化简 ④检验 ⑤结论 问题6：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？ 以线段的中心为原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系。设椭圆的焦距为2c，则点的坐标分别为（-c，0）、（c，0），设，由定义有： 【任务2】完成推导过程 【评价关注点：在椭圆标准方程的推导过程中的数学运算素养】 问题7：若所建立的平面直角坐标系使焦点在y轴上，即（0,c）、（0,-c），椭圆的方程又是怎样的？ 类比焦点在x轴上的椭圆的标准方程的推导过程，得出该椭圆的方程： （课后推导） 总结：方程、都叫做椭圆的标准方程。 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间的关系 焦点位置的判断 【例题巩固】（对应教学目标3、4） 【例1】请求出满足下列条件的动点P的轨迹标准方程： （1） 点P到点的距离之和为10； （2） 点P到点的距离之和为12； （3）点P到点的距离之和为8； 【任务3】已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，求椭圆的标准方程。 【评价关注点：定义法求椭圆的标准方程】 【例2】求焦点在x轴上，焦距为，且过点的椭圆的标准方程。 【任务4】 分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （1） 焦点在y轴上，焦距为，且经过点（0,-4）； （2） 焦距为4，且经过点（，0）。 【评价关注点：待定系数法求椭圆的标准方程】 【课堂小结】请学生归纳总结本节课知识点。 【课后作业】校本第45页1-9题 【课堂板书】 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程的推导 3.椭圆标准方程的总结（列表） 【教学反思】 学科网（北京）股份有限公司 $$