专题2.2 直线与圆、圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系，系统梳理代数法（判别式）与几何法（距离半径关系）的判断原理，衔接切线方程推导，构建从基础判断到弦长计算、公切线分析的递进式学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固基础，8类题型（含典例与变式）分层突破应用难点，以代数方法处理几何问题培养数学思维，助力教师系统授课，课后练习可帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

专题2.2 直线与圆、圆与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想. 教学重难点 1.重点 掌握如何判断直线与圆、圆与圆的位置关系 2.难点 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 知识点01 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： ①代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac ②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系： 　　　 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 【即学即练】 1．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心到直线l的距离与半径的关系判断作答. 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即， 而圆的圆心为，半径为， 于是得圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆相切. 故选：C 2．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D. 3．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】由题意可得，结合圆心到直线的距离判断与半径的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知为圆内异于圆心的一点， 则， 而圆：的圆心到直线的距离为， 故直线与该圆的位置关系为相离， 故选：C 4．圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果. 【详解】因为化为标准方程为， 所以圆心，圆的半径， 又因为圆心C到直线的距离为， 所以， 所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示， 所以圆C上到直线的距离为的点共有3个. 故选：B. 知识点02 圆的切线方程 若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为x0x＋y0y＝r2． 注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上． 经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． 【即学即练】 1．已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 2．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ． 【答案】/0.96 【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】由得：，则圆心为，半径； 则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：，， ，又，. 故答案为：. 3．已知圆与直线相切，则 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程求出圆心和半径，则根据圆心到切线的距离等于半径即可列式求解. 【详解】， 圆的圆心为(2，－2)，半径r＝1， ∵圆和直线相切，∴. 故答案为：. 4．已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出切线的斜率，再写出切线方程． 【详解】因为，所以点在圆为外，如图所示， 则过点的圆的切线方程有两条. 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，而圆的半径为， 则，解得，所以； 当切线的斜率不存在时，则. 综上，切线方程为或. 知识点03 圆与圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系常用方法： 1 几何法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径为r1，r2(r1≠r2)，则 |O1O2|＞r1＋r2相离； |O1O2|＝r1＋r2外切； |r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2相交； |O1O2|＝|r1－r2|内切； |O1O2|＜|r1－r2|内含.[来源:学§科§网Z§X§X§K] ②代数法： 方程组 有两组不同的实数解两圆相交； 有两组相同的实数解两圆相切（外切或内切）； 无实数解两圆相离或内含． 方法 位置关系　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【即学即练】 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 2．已知圆与圆无公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出圆心距，根据两圆的位置关系列出不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 3．圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 4．已知圆：和圆：外切，则的值为 . 【答案】 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由圆：和圆：可知， 两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为，， 因为两圆相外切，可得，解得. 故答案为：. 题型01 直线与圆位置关系的判定 【典例1】已知 ，若直线 与圆 没有公共点，则直线 与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式确定圆心到直线的距离，进而判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为直线 与圆 没有公共点， 即直线 与圆 相离， 所以圆心到直线的距离： . 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离. 故选：C 【变式1】直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 【变式2】已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】集合都是点集，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，所以有一个交点，有个子集． 【详解】集合A表示直线上的所有点的集合， 集合B表示圆上所有点的集合， 因为圆心到直线的距离为即为圆的半径，故直线与圆相切， 故中只有一个元素，故的子集个数为． 故选：C． 【变式3】圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．直线与圆相交但不过圆心 C．直线与圆相交且过圆心 D．相离 【答案】A 【分析】联立直线与圆的方程，根据解的个数判断直线与圆的位置关系. 【详解】由，可得，即， 即直线与圆有一个公共点， 所以直线与圆相切于点， 故选：A 【变式4】已知圆，直线，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．都有可能 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较即可求解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离： ， 所以直线与圆相切， 故选：. 题型02 直线与圆的位置关系的应用 【典例1】已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为圆周角等于所在圆的圆心角的一半，所以将所求转化为求圆心角的余弦值，联立直线和圆，求出弦长和半径，利用余弦定理即可求出圆心角的余弦值，结合二倍角公式即可求出结果. 【详解】设圆心为C，则， 设直线与圆的交点的坐标为 ， 联立 可得：，即， 所以= 又，所以圆的半径 即，解得：. 故选：A 【点睛】本题考查直线和圆相交的性质，考查圆周角的性质以及余弦定理解三角形，考查二倍角的余弦公式，考查学生转化问题的能力和计算能力，属于中档题. 【变式1】若直线与圆相切，则实数 . 【答案】 【分析】由圆心到直线距离等于半径即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：. 故答案为：. 【变式2】直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 【答案】9 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 【变式3】过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出图象，结合直线与半圆的位置关系求得正确答案. 【详解】对于曲线，两边平方并化简得， 所以曲线表示以原点为圆心，半径为的圆在轴下方的半圆， 画出图象如下图所示， 依题意可知，直线的斜率存在，设斜率为， 则直线的方程为，即， 令原点到直线的距离，整理得， 解得或. 过和两点的直线的斜率为， 过和两点的直线的斜率为， 结合图象可知，要使直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 【变式4】若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 题型03 圆的切线相关问题 【典例1】过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 【变式1】已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为.    故答案为：. 【变式2】已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 【变式3】过点作圆的切线，则切线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 【变式4】圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】 【分析】将圆与圆的方程作差可得公共弦所在直线方程为，结合弦长求得，注意到点在圆上，结合切线的性质求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 将圆与圆的方程作差可得， 即公共弦所在直线方程为， 则到直线的距离为， 由题意可得：，解得， 且，可得， 若，则圆即为， 可知圆的圆心为，半径， 则，可知， 即圆与圆相交，符合题意， 又因为，即点在圆上， 可得，则切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 题型04 直线与圆相交的性质——韦达定理应用 【典例1】若直线与曲线交于两点、，则的值为 . 【答案】 【分析】直接利用圆与直线的位置关系,建立一元二次方程根与系数的关系,进一步求出结果. 【详解】解：直线与曲线交于两点、, 则： 所以：, 则,, 则 故答案为： 【点睛】本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系的应用,一元二次方程根与系数的关系的应用. 【变式1】已知圆 ，直线 ． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线 的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 【变式2】已知圆和圆 (1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示） (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据两圆相交，得到，求出的取值范围，两圆相减得到相交弦即直线的方程； （2）联立直线与圆，得到两根之和，两根之积，利用求出的值，并结合根的判别式舍去不合要求的根. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相交于两点，则， 解得， 与相减得， 直线的方程为； （2）设，则联立， 得， 则， 则， ， ， 解得，或， 其中不满足，舍去，满足要去， 则实数的值为. 【变式3】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上. （1）求圆C的方程； （2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程； （2）设A，B，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得，，根据得，化为，进而可解得 . 【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)， 由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)， ∴，解得， ∴圆C的半径为， ∴圆C的方程为. （2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程， 由已知得，判别式①， 由根与系数的关系得，②， 由得. 又∵，，∴可化为③， 将②代入③解得，经检验，满足①，即， ∴. 【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 【变式4】已知圆C经过点，，且圆心在直线上 （1）求圆C的方程. （2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在定点，使得恒成立 【解析】（1）的垂直平分线与直线的交点就是圆心，求出圆心即可得到半径，圆的方程得解； （2）设直线AB的方程为，联立直线与圆的方程，消去y整理得，根据建立等式，结合韦达定理求出定点，检验直线斜率为0和斜率不存在的情况. 【详解】（1）由题可知线段EF的中点为，EF的垂直平分线的斜率为5， 的垂直平分线的方程为. EF的垂直平分线与直线l的交点即为圆心C， 由，解得，即. 又， 圆C的方程为. （2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，则过点的直线AB的方程为，由，消去y整理得. 设，， ，.（*） 设，则，. ， ，， 即， 将（*）式代入得， 解得故点N的坐标为. 当直线AB的斜率为0时，显然点可使成立. 当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，，，显然点N可使成立. 在直线上存在定点使得恒成立. 【点睛】此题考查根据圆的几何特征求圆的方程，结合韦达定理处理定点问题，综合性比较强. 题型05 圆的弦长相关问题 【典例1】已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【分析】先确定直线所过的定点坐标，再根据过圆内点的弦长的最大最小值可求的范围. 【详解】因为，令，所以过定点， 又因为，所以在圆内， 当经过圆心时，此时有最大值即为圆的直径，， 当与垂直时，此时有最小值，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式1】已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为 . 【答案】， 【分析】设出圆心和半径，根据弦长得到方程，求出，得到圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的半径为， 故圆的方程为， 圆心到的距离为， 所以直线上截得弦长为， 故，解得， 故此圆的方程为或. 故答案为：， 【变式2】若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为 . 【答案】 【分析】由得是等边三角形，从而得到圆心到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解即可. 【详解】易知圆心即坐标原点，半径为，因为且， 所以为边长为的等边三角形， 所以的高线即圆心到直线的距离为，解得. 故答案为： 【变式3】已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 【变式4】已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程； （2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得，即答案可求． 【详解】（1）由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； （2）设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 题型06 两圆位置关系的判定 【典例1】圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 【变式1】圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 【变式2】圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 【变式3】判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为 ，半径为， 圆的标准方程为，圆心为 ，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 【变式4】已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求两圆圆心和半径，结合两圆的位置关系分析判断； （2）根据题意求两圆圆心和半径，假设存在，结合两圆的位置关系分析运算即可. 【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 可得两圆的圆心距， 且，，则，所以圆和圆相交. （2）不存在，理由如下： 圆的方程可化为，则，半径. 由（1）可知：，半径. 假设存在实数m，使得圆和圆内含， 则圆心距， 整理得，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆和圆内含. 题型07 两圆位置关系的应用 【典例1】若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 【变式1】已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为， 设动圆圆心，半径， 则根据题意有, 根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为： . 故选：A 【变式2】已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公切线的条数确定两圆的位置关系，进而求解即可. 【详解】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切，故，即， 解得. 故选：C. 【变式3】已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 【变式4】已知两圆与相交，则实数r的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合两圆的位置关系，列出方程组，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又由圆，可得圆心， 可得圆心距为， 因为两圆和相交，可得，即 ， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型08相交的两圆的交点和公共弦 【典例1】若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 【变式1】圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【分析】联立两圆的方程即可求解. 【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 【变式2】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两圆的交点坐标，设所求圆的圆心为，列出方程求得的值，得出圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 【变式3】两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 【变式4】圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【详解】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 1．已知直线l：与圆C：，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】C 【分析】利用点线距离公式求圆心与直线距离，结合点与圆的位置关系判断与圆的半径大小，即可判断各项直线与圆的位置关系. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则，即，所以，直线l与圆C相切，故D正确． 故选：C 2．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得：为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有， 解得：（舍去）或， 把代入，得， 的取值范围是,． 故选：D. 3．已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图像得到，问题转换成求最小值即可求解； 【详解】解：根据题意，圆其圆心为半径 过点P作圆的切线PA， 则 则 设圆心C到直线l的距离为d， 则 故 所以的最大值为 故选：A 4．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，， 代入直线方程得， 即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 5．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，由圆心作直线的垂线段，则以为直径的圆即为所求圆，另作一圆进行说明理由，再根据图形特征求出圆的圆心和半径即得方程. 【详解】    如图，过圆的圆心作直线的垂线，垂足为， 则以为直径的圆(设其半径为)即为所求圆.理由如下： 另作一个圆，与圆相切，与直线切于点，设其半径为， 由图知，即，即，即圆是符合要求的最小圆. 由点到直线的距离为，则， 设点，由可得，，即①， 由点到直线的距离等于可得②， 联立①②可解得，或，由图知仅符合题意， 即得，故所求圆的方程为. 故选：C. 6．已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设出圆心的坐标，利用求出点坐标，进而求出半径，得解. 【详解】由题意，设（），圆的半径为， ，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：D. 7．与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为即可求得圆的方程. 【详解】由圆心在直线上，可设圆心坐标为， 又因为与y轴相切，所以半径， 易知圆心到直线的距离为， 根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线被截得的弦长为， 所以，解得； 当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为； 当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为. 故选：C 8．已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意分析可得表示直线上任一点到坐标原点的距离，结合点到直线的距离运算求解. 【详解】已知圆的圆心为，半径， 由题意可知：直线过圆心，即， 表示直线上任一点到坐标原点的距离， 故的最小值即为到直线的距离. 故选：B. 9．已知直线：与圆交于两点，则使弦长为整数的直线共有（　　） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】C 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程，再利用圆的标准方程及垂径定理，结合两直线的垂直关系及直线的点斜式方程分析即可求解. 【详解】由，得，所以直线恒过点， 圆的圆心为，半径，则， 当直线与垂直时，为中点，此时，符合题意，此时直线有一条， 当直线过圆心C时，，满足题意，此时直线有一条， 则当时，各对应两条直线， 综上，共8条直线． 故选：C． 10．已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】根据已知结合椭圆的定义确定点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，进而求面积的最大值. 【详解】如图，设以为直径的圆心为E，半径为r， 因为与相内切，则． 设，连接，则， ，又， 所以，， 所以，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， 由，得，又，所以． 显然P为椭圆短轴端点即或时的面积最大，为． 故选：D 11．已知圆方程，点在圆上，不在圆上且不与圆心重合，则方程表示的圆与圆的关系是（    ） A．圆与圆重合 B．圆与圆圆心不同 C．圆过且与圆圆心相同 D．圆过且与圆圆心相同 【答案】D 【分析】由题意得到，然后由，转化为求解. 【详解】由题意得：圆方程，点在圆上，点不在圆上， ， 由， 得， 它表示过且与圆圆心相同的圆. 故选：D 12．设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意确定直线过定点，再由直线与圆始终有交点，代入得，再解不等式即可. 【详解】直线，即， 当时，方程恒成立， 所以直线过定点， 又直线与圆始终有交点， 所以定点在圆上或圆内， 则，即，又 所以解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 13．如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 14．已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号) 【答案】②④ 【分析】写出圆心和半径，应用点线距离公式判断圆心到直线距离与半径大小，即可判断. 【详解】由题设，圆心，半径， 所以到的距离，且， 对任意实数与，直线和圆有公共点，②对； 对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切，④对. 故答案为：②④ 15．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可 【详解】直线过定点 ， 曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得 结合图像可知，当 时，直线 和曲线恰有两个交点. 故答案为：. 16．已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 17．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 18．已知圆：与圆：外切，则实数 ． 【答案】或 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和，先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据圆心距公式求出的值. 【详解】由圆：中，圆心坐标为，半径为， 圆：中，圆心坐标为，半径为， 若两圆外切，则， 即，解得：或， 故答案为：或. 19．圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，然后利用圆心到轴距离等于半径列式，求解即可； （2）将圆的方程变形，然后解方程组即可求得圆经过的定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）证明：圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 20．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； (3)设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. （3）法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 21．已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据条件可得，结合基本不等式求的最大值； （2）先验证过点斜率不存在直线满足条件，再由直线与圆有且只有一个交点结合几何关系列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为； （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或. 22．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法求解. （2）利用切线长定理，结合直角三角形边角关系列式求解. （3）求出圆心到直线的距离，设，利用切线长定理求出的范围，并用表示出，再利用数量积的定义求出函数关系，进而求出最小值即得. 【详解】（1）依题意，当时，圆过点，当时，圆过点， 设圆的一般式方程为， 则，解得，因此， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径为， 由为正三角形，得，解得， 设，则，解得或， 所以点的坐标为或. （3）圆心到直线的距离，设， ，则， ， 设，则，， 函数在上单调递增，， 所以的取值范围为. 23．已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 【答案】(1)9或 (2) 【分析】（1）两圆外切时解方程，内切时解方程即得解； （2）由几何法求弦长解方程即得解. 【详解】（1）由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 若两圆外切，则，解得； 若两圆内切，则，解得； （2）圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得， 所以的值为． 24．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 25．已知圆C：，其中． (1)已知圆C与圆：外切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解方程即得解； （2）解方程即得解. 【详解】（1）解：由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 因为两圆外切， 则， 解得． （2）解：圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得． 的值为． 26．已知圆，定点，其中为正实数， (1)当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数的值； (2)当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由，得到即，结合，得到，根据因为点为圆上任意一点，得出方程组，即可求解. （2）求得直线的方程为，设，求得的坐标，根据都在圆，得出方程组化简得到，结合的方程组有解，转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系，得到关于的不等式组，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：设点，则， 因为，可得， 即， 又由时，圆，即，可得， 代入上式可得， 整理得， 因为点为圆上任意一点，所以， 又由，解得. （2）解：当时，可得，此时直线的方程为， 设，其中，， 因为点为的中点，所以， 又因为都在圆， 可得，即， 由关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，半径的圆有公共点， 所以，即， 又由点为线段上的任意一点，所以对所有成立， 由在上的值域为， 所以，即， 又由线段与圆无公共点，所以，即， 所以实数的取值范围是. 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线与圆、圆与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想. 教学重难点 1.重点 掌握如何判断直线与圆、圆与圆的位置关系 2.难点 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 知识点01 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： ①代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac ②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系： 　　　 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 【即学即练】 1．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 2．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 3．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 4．圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 知识点02 圆的切线方程 若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为x0x＋y0y＝r2． 注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上． 经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． 【即学即练】 1．已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 2．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ． 3．已知圆与直线相切，则 . 4．已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程． 知识点03 圆与圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系常用方法： 1 几何法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径为r1，r2(r1≠r2)，则 |O1O2|＞r1＋r2相离； |O1O2|＝r1＋r2外切； |r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2相交； |O1O2|＝|r1－r2|内切； |O1O2|＜|r1－r2|内含.[来源:学§科§网Z§X§X§K] ②代数法： 方程组 有两组不同的实数解两圆相交； 有两组相同的实数解两圆相切（外切或内切）； 无实数解两圆相离或内含． 方法 位置关系　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【即学即练】 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．已知圆与圆无公共点，则的取值范围是 . 3．圆与圆的公切线的条数是 条． 4．已知圆：和圆：外切，则的值为 . 题型01 直线与圆位置关系的判定 【典例1】已知 ，若直线 与圆 没有公共点，则直线 与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【变式1】直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【变式2】已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．3 C．2 D．1 【变式3】圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．直线与圆相交但不过圆心 C．直线与圆相交且过圆心 D．相离 【变式4】已知圆，直线，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．都有可能 题型02 直线与圆的位置关系的应用 【典例1】已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】若直线与圆相切，则实数 . 【变式2】直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 【变式3】过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 . 【变式4】若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 题型03 圆的切线相关问题 【典例1】过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为 . 【变式2】已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【变式3】过点作圆的切线，则切线的一般式方程为 ． 【变式4】圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为 ． 题型04 直线与圆相交的性质——韦达定理应用 【典例1】若直线与曲线交于两点、，则的值为 . 【变式1】已知圆 ，直线 ． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【变式2】已知圆和圆 (1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示） (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值 【变式3】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上. （1）求圆C的方程； （2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值. 【变式4】已知圆C经过点，，且圆心在直线上 （1）求圆C的方程. （2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 题型05 圆的弦长相关问题 【典例1】已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【变式1】已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为 . 【变式2】若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为 . 【变式3】已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【变式4】已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 题型06 两圆位置关系的判定 【典例1】圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1】圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【变式2】圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3】判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【变式4】已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 题型07 两圆位置关系的应用 【典例1】若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【变式1】已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【变式2】已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知圆与圆内切，则实数 ． 【变式4】已知两圆与相交，则实数r的取值范围是 . 题型08相交的两圆的交点和公共弦 【典例1】若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】圆与的交点坐标为 . 【变式2】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【变式3】两圆和的公共弦长为 ． 【变式4】圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 1．已知直线l：与圆C：，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 2．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 5．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 9．已知直线：与圆交于两点，则使弦长为整数的直线共有（　　） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 10．已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 11．已知圆方程，点在圆上，不在圆上且不与圆心重合，则方程表示的圆与圆的关系是（    ） A．圆与圆重合 B．圆与圆圆心不同 C．圆过且与圆圆心相同 D．圆过且与圆圆心相同 12．设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是 . 13．如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 14．已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号) 15．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ． 16．已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为 . 17．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 18．已知圆：与圆：外切，则实数 ． 19．圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 20．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； (3)设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 21．已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 22．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 23．已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 24．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 25．已知圆C：，其中． (1)已知圆C与圆：外切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值． 26．已知圆，定点，其中为正实数， (1)当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数的值； (2)当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $