2025-2026学年浙教版九年级数学上学期期末综合评估检测卷

2025-2026学年浙教版九年级数学上学期期末综合评估检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．从装有5个红球、3个白球和2个黑球的布袋中任意摸出一个球，下列对所摸球的可能性大小判断正确的是（    ） A．红球可能性最大 B．白球可能性最大 C．黑球可能性最大 D．三种球的可能性一样大 2．若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知，则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．图象与x轴有两个交点 D．y随x的增大而增大 5．如图，在直角坐标系中，已知点，以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或（ 6．杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（    ） A． B． C． D． 7．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 8．如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图1，正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次函数的顶点坐标是 ． 12．为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下： 组别（） 人数 5 37 43 15 根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是 ． 13．如图，是某商店售卖的花架，其中，，，，则长为 ． 14．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 15．如图，在平行四边形中，，垂足为E，，交于点F，若，，当时，的长是 ． 16．图1是一款由若干条吊链等间距悬挂而成的挂帘，吊链顶端悬挂在水平横梁上，自然下垂时底部呈圆弧形，其中最长吊链为95cm，最短吊链为45cm，挂满后呈轴对称分布。图2是其示意图，其中最长两条吊链与之间的距离为114cm。若吊链数量为偶数，记对称轴右侧最短挂链的底端为点F，当C，F，B三点在同一条直线上时，吊链的数量为 。 3、 解答题（本大题共8个小题，第17、18、19、20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．高速收费站推行（电子不停车收费系统）可以有效节约人工成本，缓解道路拥堵，某高速收费站入口开放了A，B，C，D其4个通道，所有车辆均可从四个通道中随机通过． (1)甲车经过该收费站时，选择A通道通过的概率是 ； (2)用树状图或列表法求甲、乙两辆车先后经过此收费站时，选择不同通道通过的概率． 18．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 3 4 … … 0 4 0 … (1)直接写出的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 19．如图，是正三角形． (1)用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）． (2)连接．若，求扇形的面积 20．某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表． 销售单价x（元/件） … 2 3 4 … 每月销售量y（万件） … 6 5 4 2 … (1)在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式； (2)如果公司每月的制造成本不超过万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 21．如图，在中，，，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 22．如图，在中，是直径，是弦，E为射线上一点，且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 23．如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点整直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离米处时，达到最大高度米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1)求此抛物线的解析式； (2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． (3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为米，垂直距离为米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有米，问篮球有没有入框？请说明理由． 24．（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年浙教版九年级数学上学期期末综合评估检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D C A B D C D 1．A 【分析】直接利用概率公式计算出各自的概率，再比较即可． 【详解】解：∵有5个红球、3个白球和2个黑球， ∴摸出红球的概率是：， ∴摸出白球的概率是：， ∴摸出黑球的概率是：， ∵＜＜， ∴红球可能性最大， 故选A． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 2．A 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 3．B 【分析】根据题意可得，进一步即可求出. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了分式的求值，属于基本题目，掌握求解的方法是关键. 4．D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据抛物线的解析式得出顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向上，当时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【详解】解：∵抛物线， A、因为，开口向上，故说法正确，不符合题意； B、因为对称轴是直线，故说法正确，不符合题意； C、因为顶点坐标是，开口向上， 所以图象与x轴有两个交点，故说法正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而增大，故说法不正确，符合题意． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查坐标与位似，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此进行计算即可． 【详解】解：以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为的位似图形，点， 则：点A的对应点的坐标是或，即：或； 故选C． 6．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得a的值，即可判断． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，双塔底部所在直线为x轴，过最高点C且垂直于x轴所在直线为y轴，则抛物线顶点为； ∵双塔底部为跨度约62米， ∴， 把A、B、C三点坐标分别代入中， 得：，解得： ∴，而接近， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 8．D 【分析】在中，由勾股定理可直接求得；过C作，交于点M，由垂径定理可得M为的中点，在中，根据勾股定理得的长，从而得到的长． 【详解】解：在中，，，； 根据勾股定理，得． 过C作，交于点M，如图所示， 由垂径定理可得M为的中点， ∵，且，，， ∴， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 9．C 【分析】由正方形的性质及旋转性质可得，且为等腰直角三角形，可以推出，可以计算出图2中整个图形面积为，通过位似图形的性质可得图2中间空白部分面积为：，最后求出阴影部分的面积即可． 【详解】如图， ∵正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，整个图形的外围周长为16， ∴，且为等腰直角三角形， ∴， ∴图2中整个图形面积： ∵将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为， ∴图2中间空白部分面积为： 图2中阴影部分面积为： 故选：C 【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、位似图形等几何知识点及其应用；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键． 10．D 【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， 故②正确； ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根， 故③正确； ∵时，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故④正确， 故选：D 【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键． 11． 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数， 二次函数的顶点为． 故答案为． 12． 【分析】本题主要考查了求概率．根据概率公式解答即可． 【详解】解：因为身高不小于的人数为，总人数为100， 所以概率为． 故答案为． 13．30 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：30 14．2 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，由垂径定理得，由勾股定理得出，则液体的最大深度． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴液体的最大深度， 故答案为：． 15． 【分析】由平行四边形的性质得，进而求得的长；作的外接圆，连接，过点O作于点M，过点O作于点N，由圆周角定理得，，由勾股定理求得圆的半径为，；由题意得四边形是矩形，且，，在中由勾股定理求得，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，作的外接圆，连接，过点O作于点M，过点O作于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， ∴，； ∴的半径为， ∵， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 的长是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助圆． 16． 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，连接，取的中点，过点作，交 于点，左侧与相邻的吊链为，先证明得出求出得出根据对称得出 求出每两个吊链之间的距离为，即可得出答案，作出辅助线是解决本题的关键． 【详解】解：连接，取的中点，过点作，交 于点，左侧与相邻的吊链为，如图： ∵三点在同一条直线上， ∴点在上， 根据题意可知，， 即 解得： ∵点为的中点， ∵为的中点，，为左侧与相邻的吊链， ∴与关于对称， ∴每两个吊链之间的距离为， ∴共有根吊链． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了求概率、用树状图或列表法求概率，理解题意，正确画出树状图或列表是关键． （1）直接由概率计算公式即可求解； （2）画出树状图，求出所有可能的结果数及甲、乙两辆车选择不同通道通过的可能结果数，由概率公式即可求解． 【详解】（1）解：甲车经过该收费站时，有4种选择通道通过的方式，选择A通道通过的方式只有1种， 则选择A通道通过的概率是； 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 所有可能结果有16种，甲、乙两辆车先后经过此收费站时，选择不同通道通过的结果有12种， 则甲、乙两辆车先后经过此收费站时，选择不同通道通过的概率为：． 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据二次函数的对称性即可得出m的值，根据表格的数据利用待定系数法即可求解； （2）将二次函数化为顶点式为：，判断出函数的增减性，即可作答． 【详解】（1）当时，， 当时，， 可知：抛物线的对称轴为：， 即有：， ∴根据表格可知：当时与时，y值相等，均为：， ∴， 根据表格可知：抛物线经过点，，， 则有： ，解得：， 即二次函数的解析式为：； （2）将二次函数化为顶点式为：， 即：时，函数值随x的增大而增大； 时，函数值随x的增大而减小； 当时，函数值最大，为： 当时，函数值： 当时，函数值： ∴当时，函数值的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了使用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的性质等知识，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质，圆周角定理及扇形的面积． （1）作和的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，为半径画圆即可； （2）根据圆周角定理得到，再利用扇形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：作图见图所示． 是要求作的的外接圆． （2）解：如图， 是等边三角形， ， ， ， 扇形的面积为． 20．(1)一次函数， (2)当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，解一元一次不等式，正确得到一次函数与二次函数解析式是解题的关键． （1）由表格数据知，y与x之间的函数关系式为一次函数，然后利用待定系数法求解即可； （2）设总利润为w，由题意得，，把（1）中求得的函数式代入得到关于x的二次函数，利用二次函数的知识即可求得最大利润； 【详解】（1）解：由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为一次函数， 设y与x之间的函数关系式为， 把代入得：， ， y与x之间的函数关系式为； （2）解：设总利润为w，由题意得， ； 公司每月的制造成本不超过万元，每件制造成本为元， 每月的生产量小于等于3万件，即．解得：， ， 图象开口向下，对称轴右侧w随x的增大而减小， 时，w最大，最大值为． 答：当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据可得，即可求证； （2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（）可得， ∴， ∵， ∴，解得：． 22．(1)证明见详解； (2)3 【分析】（1）本题考查切线证明，根据，得到，即可得到证明； （2）本题考查勾股定及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，根据角得到， 勾股定理求解即可得到答案 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 23．(1)； (2)乙能碰到篮球，理由见详解； (3)篮球未入篮筐； 【分析】（1）本题考查二次函数的应用，设解析式为，再将顶点，代入求解即可得到答案； （2）本题考查二次函数的运用，将代入求出与最高距离比较即可得到答案； （3）本题考查二次函数的运用，设解析式为，将题目中数据代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设解析式为，由题意可得， 函数过顶点及点， ∴，，， 解得：， ∴； （2）解：乙能碰到篮球，理由如下， 当时， ， ∵， ∴乙能碰到篮球； （3）解：∵篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致， ∴设解析式为：， 由题意可得， 图像过，， 代入得，， 解得：， ∴， 当时， ， ∴篮球未入篮筐． 24．初步应用：；问题解决：；问题拓展： 【分析】初步应用：由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可． 问题解决：利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可． 问题拓展：由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理关系求解取值范围即可． 【详解】解： 初步应用：以为圆心，为半径作， ， 点、、在上， ，， ， ， ， ， ； 问题解决：连接、、， 点关于直线的对称点是， ， ，， ，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，， ， ∵， 的最小值为； 问题拓展： 四边形是平行四边形， ，， 是中点， ， ∵将沿所在直线翻折得到， 以为圆心，为半径作辅助圆，如下图： ∵， ∴点，D在上， ∴当点、M、C在一条直线上时，线段取得最小值， 过点M作，交的延长线于点E， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴线段的最小值． 过点A作，交的延长线于点F，如下图： 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， m的取值范围为． 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质（圆周角定理、圆的定义）、轴对称的性质、正方形和平行四边形的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握辅助圆的构造方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $