东北三省一区点石联考2025-2026学年高三上学期12月联合考试数学试卷

绝密★启用前（点石联考）】 试卷类型：A 2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 女注意事项： 】.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的)】 1.椭圆3x2+y2=9的离心率为 A③ B号 C 3 3 D.6 3 2.已知平面向量a=(1,1),b=(2,m).若b在a方向上的投影向量为 2a,则m= 3 A.-1 B.1 c. D 3.记集合A=(zlx-31<1,B={女22≥1则AnB= A.(2,3] B.（1,4) C.[2,3] D.(1,4] 4品28需 A号 B C.2 D.4 5.若圆(x一a)2+(y十2)2=a2与直线2x十ay一3a=0相切，则圆的面积为 A.元 B.2 C.4π D.5π 6.设正数a,b满足a2十b=4,则a4十a2b十b2的最小值为 A.6 B.12 C.8 D.10 7.若函数f(x)=2cosx(W5sinx一cosx)的图象关于直线x=m对称，则tan2m= A.√5 B.、3 3 C.-1 D.-√3 (点石联考)高三数学第1页（共4页） 8.对于正数2y,若[e+h(xy)+y门=e,则xy= A日 B.1 C.√e D.e 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知椭圆c需十。1，则 A.椭圆的长轴长为4√m B.当m=1时，椭圆的焦点在x轴上 C.椭圆的焦距可能为6 D.椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值 10.记等差数列{an}的公差为d,已知a,a1a2,d2成等比数列，则 A.d≠0 B.a2o26=2023d c21a-2m22 Dan 11.如图，在四面体ABCD中，AB=AC=AD=CD=4,BC⊥BD,BC=2,E为AC中点，则 A.平面ACD⊥平面BCD B.点D到平面ABC的距离为2压 3 C.直线DE与平面ABC所成角的正弦值为25 D.点E到直线BD的距离为y7 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设xi=1-i,则z|= 13.大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchil缩放定律：w=是+B,其中N是在经过单 次训练后具有N个参数的模型的测试损失的期望，A,B,a是常数，已知g=23,B=一2，A> 0,则A的最小值为 14.已知数列(an}的通项为an=2n-1,数列{b,}的前n项积Tn=2学，将{an)与{b}中的所有项 从小到大依次排列构成一个新数列{cn》,记，为数列{cn}的前n项和，则使得pn>10cn+1成 立的n的最小值为 (点石联考)高三数学第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 设函数f)=g-号-x (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)为f(x)的导函数，求f(x)的极值. 16.(本小题满分15分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a6c,已知C=骨，2=号a6, (I)求sinA+sinB的值； (2)若a-b=1,求△ABC的面积. 17.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=3,E为PB 的中点。 (1)证明：BC⊥AE; (2)设点F在棱BC上，且AF与平面PAB所成角的正弦值为 10 (ⅰ)求线段BF的长； (iⅱ)M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离. (点石联考)高三数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E:等+芳-1(>6>0)的右焦点为F(1,0),过F的直线与E交于A,B两点，当 A为E的上顶点时，|AF|=3. (1)求E的方程； (2)过点A作l:x=9的垂线，垂足为M. (i)证明：直线MB过定点N; （1)记AB的中点为S(s,(s≠0)，NA的斜率为1，NB的斜率为k2,证明：色，2是定值。 19.(本小题满分17分) 设n为正整数，已知首项为2的正项数列{an}满足a+2=a, √ant1ai+1 (1)若a3=16,求a4的值； (2)证明：{lna+1十2lnan}与{lna+1- 2na}为常数列或等比数列； (3)记{an}的前n项积为Tm.若n≥2时，Tn≥2√2，求{Tn}的通项公式. (点石联考)高三数学第4页（共4页）点石联考12月高三联考 数学 ▣益▣ 参考答案 2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试·数学A版 说明： 一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分：如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数」 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 D 公 A C D 日 D B 二、多选题 9 10 11 BD ABD AC 三、填空题 12.√213.214.22 四、解答题 15.解：(1)易得f'(x)=e-x-1, (2分) '(0)=0, (3分) f(0)=1,故切线方程为y=1. (5分) (2)求导得(x)=e-1, (6分) x>0时，”(x)>0,f'(x)在(0，+o∞)上单调递增， (8分) x<0时，"(x)<0,f'(x)在(-∞，0)上单调递减， (10分) 故f'(x)≥f'(0)=0,故'(x)在0处取极小值0， (12分) 无极大值 (13分) 16.解：(1)由余弦定理得c2=a2+-2 abcos C=a2+b-ab=(a+b)2-3ab, (3分) 又c2-ab,所以3ab=2c2,则(a+b)2=+3ab=3c, (5分) 第1页共7页 点石联考12月高三联考 数学 所以a十b=c,由正孩定理，得simA十simB=sinC=三 (7分) (2)由正弦定理及2=号ab,得sinC=号sin Asin B, 所以sin Asin B=1, 2 (10分) 由(1)知snA+sinB=号，义a-b=1,即a>6,A>B,所以sinA=1,sinB=2 (12分) 因为0<A<,0<B<x,所以A=受，B=吾，△ABC为直角三角形，则a=26,所以a=2,b=1,c=5, (14分) 所以△ABC的面积Sac一名c- 2 (15分) 17.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,且BCC底面ABCD,所以PA⊥BC. (1分) 因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC, (2分) 又因为PA∩AB=A,且PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, (3分) 因为AEC平面PAB,所以BC⊥AE. (4分) (2)如图，以A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别为x轴、y轴和之轴建立空间直角坐标系Axy之， 则A0,00,B3,00.P(0,0,3),D(0,3,0.M0,号，号)，E(径0，)月 (6分) (i)设BF=t(0<t<3),则F(3,t,0),AF=(3,t,0).易知平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0), (8分) 设直线AF与平面PAB所成的角为0，则sin0= AF·m=t=0 AF·m9+元10， (10分) 解得t=1,即BF=1. (11分) (1)A=(受，0,2)A=(3,10),设平面AEF的法向量为n=(,y), n=+=0, 则 取n=(-1,3,1), (13分) AF.n=3.x+y=0, 又Ai=(,子，多)，所以点M到平面AEF的距离为A:n=-6Y① n 11 (15分) 18.解：(1)记E的半焦距为c,显然c=1,而AF=√+c2=a=3, (2分) 第2页共7页 点石联考12月高三联考 数学 故b=√a2-c2=22, (3分) 于是E的方程为写+营=1. (4分) (2)(1)不妨设A(xy),B(x2y2), (x=my+1 设lB:x=my十1，联立 ,有(8m2+9)y2+16my-64=0,可得y1+y2= 16m 8x2+9y2-72=0 8m2+9' 64 y1y2= 8m2+91 (7分) 易如M9y.直线MB的斜率为)产 放直线MB的方程可表示为y=-兰（一9》， (8分) 当y=0时，显然1≠，故x=9-(9-x》_9y一9边-9十(m%十1Dy=(my十1)y-9y y1-y2 y1-y2 y1-y2 -64m 64m =m-4y十)+5(y-)-=5+8m于9T8m+9-5,为定值. (11分) y1一V2 y1一V2 当AB斜率为0时，易知其过(5,0). (12分) 综上，直线MB过定点N(5,0). (13分) (i之-一g=产写‘产5一08-市 8m 2 -64 4 m2yy2-4m(y1+2)+16-64m2-4m·(-16m)+16(8m2+9)=一8m2+9' (16分) n+1一6十·故华=专，为定值。 -8m2 9 s=mt+1= (17分) 19.解：(1)由题有am+2=anan,当n=1时，a3=a2a1,即16=a2立·2， (2分) 解得西一子 (3分) 令n=2,则a4=a音a,=256 (4分) (2)对a是=a两侧同时取以e为底的对数有lna+:一2ha+1=lna,一2lna+1, 1 (5分) √ant1 则lna,e+2lna1=lnan,即lnae十2na=2aan十2ha, (6分) 当a:=子时，nca1+2na是恒为0的常数列：当≠寸时，ha+2na,是以1nas十2n2为首 项，2为公比的等比数列； (8分) 也即lnat-2lna1=-2nae1-2na,. 1 第3页共7页 点石联考12月高三联考 数学 当a2=√2时，{lna+1- ,是恒为0的常数列：当a:≠厄时，na1一之na是以1nas 2 n2 为首项，一2为公比的等比数列，综上，{lna+1十2ha,}与(lna1一2lna}为常数列或等比数列. (11分) (3)当n=2时，T2=a1a2=2a2≥2√2，则a2≥√2.若a2>√2，由(2)可得{lnan+1十2lnan}是以lna2十 2n2为首项，2为公比的等比数列，则有1na,+1十21na,=2（1na+21n2: (12分) 且{na1-2na是以na-ln2为首项，-2为公比的等比数列， 则有1ha1-2na,=(-2)(na-号n2).两式相减得1ha=号[2ha十2n2)- (-2)1(na-21n2], (13分) 则nT,=lna+lna+…+lna,=[(2)ha+2h2)1（号2(na:2n2], 由n≥2时，T≥22，则lnT≥2n2, 3 即号[(2-2)nas+2n2)-1-（g2少(na-2n2)]≥2n2 3 由上式需要恒成立，对于n为奇数的情况，令n=2k+1,上式等价于 (2-0n+2m2)-g+中nan2)≥9in2, (15分) 则2g(na-2n2)≤2-0)na:+2n2)早1a2<2aa+ 考虑不等武中(na一n2)<2ma十子解得不等式2 sna:+星 一一1恒成立，易知 lhaa-2·ln2 不存在a2满足条件.故a2>√2不成立，结合a2≥√2可得a2=√2.将a2=√2代入得Tn=22一，(17分) 第4页共7页 点石联考12月高三联考 数学 答案详解 一、单选题 1.D【解标】显然其方程可化为苦+号-1，长半轴a=3,半焦距6=V一-6，于是离心率e一- a 3 故选D. B【解析】因为向量a=(①，D,b=(2,m),则向量b在向量0上的投影向量为：2。 2a3 a,故 有士-号解得m=1.故选B 2 3A【解析】由x-81<1可得x∈(2,4，由号-1≥0可得≥0，即号<0，得 [(x-1)(x-3)0 ,解得x∈(1,3]，于是A=(2,4),B=(1,3],A∩B=(2,3].故选A. x≠1 2m2o28 4C【解】是然器 In 4 ln2026 5的-2g256=×4=2故选C 1n256 5.D【解析】由题意可知圆的方程为(x一a)2十(y十2)2=a2,其圆心为(a,一2)，半径为a,故圆心到直线 的距离d=12a一2a-3a=3a=a,而显然1a≠0，于是一3 √/4+a2 V/4+a √十a=1,解得a2=5,于是圆的面积 S=a2π=5元.故选D. 6.B【解析】显然4=a2+b≥2√ab,即ab≤4，当且仅当a=√2，b=2时，等号成立，故a+a2b十b2= (a2十b)2-a2b=16-a2b>≥12.故选B. 7.D【解析】函数f(x)=25 sin rcos-2cos2x+1-1=5sin2x-cos2x-1=2sim(2r-否）-1，令 2x-若=受+kx(k∈Z).则2x=ξ+kx(k∈Z),则tam2m=am经=一厅.故选D 及B【解折】注意到e=e+lh+hy叶y子=e+n--ln+即e+lnx一子=e宁+ln} 子，显然函数x)=e+n子是增函数，由)=兮)可得=子即y=1.放选B 二、多选题 9.BD【解析】对于A,若6-4m>4m>0,解得0<m<,即0<m<时，方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则。=6一4m,长轴长为2a=2V个一m,故A错灵：对于B,当m=1时，能圆方程为C号+号=1表示焦 点在x轴上的椭圆，故B正确；由A知，由0<m<是可知方程表示焦点在y轴上的椭圆，此时2=6-4m -m=6-8m,所以2c=2V6-8m,由2V6-8m=6,解得m=-是，不符合0<m<,故合去，若4m> 第5页共7页 点石联考12月高三联考 数学 y 6一4m>0,可得1<，椭圆方程为C:。一1表示焦点在x轴上的椭圆，c2三4m一6+4e 4 8m-6,所以2c=2V8m-6,由2V5m-6=6,解得m只，不符合<n<号，放舍去，放不存在焦距为6 的椭圆，故C错误；由a2十b2=6一4m十4m=6,(2a)2十(2b)2=4×6=24,故椭圆的短轴长与长轴长的平 方和为定值，故D正确.故选BD. 10.ABD【解析】对于A,由等比数列性质可知d≠0，于是d≠0，故A正确；对于B,a号a号=ad,显然a1≠ 0,于是a=d,而a2=a1十d≠d,故a2=-d,于是an=a2十(n-2)d=(n-3)d,故a2o2s=2023d,故B 正确，对于C,n=5时，∑1a=2d十d+0+d+2d=6|d≠0，故C错误：对于D, 岁1 分d中=1x2a++m十a=(1-合+号吉+…+员十）=(1-十)7< 1 1 2·故D正确.故选ABD 11.AC【解析】对于A,取平面BCD内一点O使得AO⊥平面BCD,由AB=AC=AD,AOL平面BCD可 得BO=CO=DO,故O为△BCD的外心，由BC⊥BD知O为CD中点，故由AOC平面ACD,AO⊥平 面BCD可得平面ACD⊥平面BCD,故A正确；对于B选项，由几何关系可知BD=2√3，AO=2√3，而 AB=AC-4,BC=2,放可得5a=2 BCXAB--(2BC)=VI6=V下.记点D到平面ABC 的距离为A,则由等体积法知VAD=V。c,放号×AOX2×BCXBD=-子×XSac,即日X25X 2X2√5=压，解得h=4压，故B错误，对于C选项，注意到DE=25,设直线DE与平面ABC所 3 5 AC=车，由余弦定理 成角为9，则sm证义5=放C正确：对于D,注意到cos∠ACB=AC 得BE=BC+CE-2 BCXCEX cos∠BCE=4十4-2X4X4=6,可得BE=6,而BD=DE= 26,放SaE=2×BE×√Dr-(BE-5×里=3，i记点E到直线BD的第离为d,3y 2 2 2 合×dXBD=厅dd=县，故D错误，故选AC 2 三、填空题 12反【解析】由题意可知=1-1=-1-i,则|=√-)+(-=反.故答案为厄. 13.2【解析】由条件可知会-2=2（会-2），得到会0+2=0，设1=3>0，则2-2+A=0,由其有 解可得(-2A)2-8A=4A(A-2)≥0，解得A≥2，当A=2时，2(t-1)2=0,3=t=1,a=0,有解.于是A 的最小值为2.故答案为2. 第6页共7页 点石联考12月高三联考 数学 14.22【解析】由数列{bn}的前n项积为Tn=2中，即b1b2b…b,=2,当n=1时，可得b1=2;当n≥2 时，可得T、2”其中6=2满足上式，所以数列【b,的通项公式为b,三2，将数列【a,和b,中的项 按从小到大排列，得到新数列{cn},可得数列{cm}的前几项为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19， 21,23,25,27,29,31,32,33,35,37,…其中数列{bn}的项在数列{cn}中，分别为第2,4,7,12,21，…项， 当n=1时，p1=1,10c2=20,不符合题意；当n=2时，p2=3,10c3=30,不符合题意；当n=3时，p3=6, 10c4=40,不符合题意；…当n=21时，p21=318,10c22=330,不符合题意；当n=22时，p22=351, 10c23=350,此时满足p2>10c23,符合题意，所以使得pn>10cn+1成立的n的最小值为22.故答案为22. 第7页共7页