精品解析：青海省西宁七中优质教育集团2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

西宁七中优质教育集团2025-2026学年度第一学期 期中考试试卷（八年级数学） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的序号填涂在答题卡上） 1. 低碳环保理念深入人心，共享单车已经成为出行新方式下列共享单车图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 3. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各命题中，它们的逆命题不成立的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形的三个内角都相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 5. 在中，，，，，那么点到的距离是（ ） A 3 B. 4 C. 4.8 D. 2.4 6. 如图，分别为的高线和角平分线，于点F，当 时，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是（ ） ①平分；②；③；④ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上） 9. 计算_______． 10. 已知，，则的值是______． 11. 若在中，，，．则的取值范围是_________． 12. 如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为______m． 13. 如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则__ ． 14. 如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为__________. 15. 已知，则之间大小关系为__________．（用“”连接） 16. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是______． 17. 如图，等腰底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 18. 如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过_________秒时，与全等． 三、解答题（本大题共7小题，共56分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形，并写出的坐标； （2）请在轴上确定点的位置，使得的值最小． （3）的面积为______． 22. 在中，是的中点，交于点． （1）求的度数； （2）求证： 23. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 24. 如图1，在中，，为线段上一动点（不与点、重合）．连接，作，且，连接． （1）求证： （2）延长至点，当平分时， ①求证：是等边三角形； ②若，则______________（直接写出，无需证明） 25. 阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： （1）小亮判断的依据是______； （2）请你根据小亮思路写出完整的证明思路并求出边的长度； （3）迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁七中优质教育集团2025-2026学年度第一学期 期中考试试卷（八年级数学） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的序号填涂在答题卡上） 1. 低碳环保理念深入人心，共享单车已经成为出行新方式下列共享单车图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形．故选项正确； B、不是轴对称图形．故选项错误； C、不是轴对称图形．故选项错误； D、不是轴对称图形．故选项错误． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 2. 如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键． 【详解】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形， 所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故选：B． 3. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：选项 A的图形中，线段是的高，其他图形均不符合高的定义， 故选：A． 4. 下列各命题中，它们的逆命题不成立的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形的三个内角都相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，解决本题的关键是知道原命题成立时，逆命题不一定成立． 根据等腰三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：A、原命题：等腰三角形的两个底角相等， 逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形． ∵三角形中等角对等边， ∴逆命题成立，不符合题意； B、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题：对应角相等的三角形全等． ∵例如，大小不同的等边三角形对应角相等但不全等， ∴逆命题不成立，符合题意； C、原命题：等边三角形的三个内角都相等， 逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形． ∵三角形内角和为，每个角为， ∴三边相等，逆命题成立，不符合题意； D、原命题：直角三角形的两个锐角互余， 逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形． ∵两个角互余，则第三个角为， ∴逆命题成立，不符合题意． 故选：B． 5. 在中，，，，，那么点到的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，根据题意画出图形，然后作于点D，根据面积法，可以求得CD的长． 【详解】解：作于点D，如右图所示， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 6. 如图，分别为的高线和角平分线，于点F，当 时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高线，角平分线和三角形内角和定理．根据，，得出，，角的和差关系求出，进而根据角平分线的定义得出，然后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为的高线 ∴， 又，，， ∴，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在中，， 故选：C． 7. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图痕迹分析出是角平分线且，再结合全等三角形逐一分析选项． 先根据尺规作图痕迹确定是的角平分线且，然后通过证明，结合直角三角形的性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：从作图痕迹可知，是的角平分线， （因为在上，且作图痕迹显示是到的垂线， 在中，， ． 又， ． 根据“同角的余角相等”，可得， 选项正确． 平分， ； 又，且， ． 由全等三角形的性质，可得， 选项B正确． 由可得， 选项C正确． 要使，需是的垂直平分线，但从作图和已知条件中，无法推出这一结论． ， 选项D错误． 故选D． 8. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是（ ） ①平分；②；③；④ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作于D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴点P在的角平分线上，所以结论①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，所以结论②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，所以结论③正确； ④由②可知，， ∴， ∴，所以结论④正确， 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上） 9. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法计算即可； 【详解】； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，准确计算是解题的关键． 10. 已知，，则的值是______． 【答案】 12 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的应用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算可得解. 【详解】解：，， 故答案为：. 11. 若在中，，，．则的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为： 12. 如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵垂直于横梁， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是斜梁的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于中点的计算以及含的直角三角形的性质，熟知所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键． 13. 如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则__ ． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 由点D，E，F分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积． 【详解】解∶∵点D，E，F分别为边，，的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线，， ∴， 又是的中线，是的中线， ∴，， ∴， 又是的中线， ∴． 故答案为：1． 14. 如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与三角形内角和的计算，熟练掌握角平分线的判定和三角形内角和的计算是解题的关键，根据题意可得，，再利用三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵点O在内，且到三边的距离相等， 即点O到和的距离相等，点O到和的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 15. 已知，则之间的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂乘方的逆运算，解题的关键是利用幂的乘方的逆运算对各式变形，变成指数相同的形式．变形为，然后比较底数即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 17. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案：． 18. 如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过_________秒时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，经过或秒时，与全等， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共56分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，包括单项式乘以多项式和合并同类项，解题时先计算乘法，再合并同类项． （1）原式根据单项式乘以单项式，单项式乘以多项式运算法则计算后再合并即可得到答案； （2）原式根据单项式乘以多项式运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，240 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 如图在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形，并写出的坐标； （2）请在轴上确定点的位置，使得的值最小． （3）的面积为______． 【答案】（1）见详解， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换—轴对称，利用轴对称求线段的最值，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）分别作出关于轴的对称点，，，然后顺次连接即可画出图形，直接写出点的坐标即可； （2）根据轴对称找最短路径，在网格中找到点关于轴的对称点，再连接，与轴交于，此时最小． （3）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 如图，点是点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，点即为所求． 【小问3详解】 解：． 22. 在中，是的中点，交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． 【小问1详解】 解：，是的中点 即 又 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 23. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； 【小问2详解】 的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 24. 如图1，在中，，为线段上一动点（不与点、重合）．连接，作，且，连接． （1）求证： （2）延长至点，当平分时， ①求证：是等边三角形； ②若，则______________（直接写出，无需证明） 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②25 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）先证，再由证即可； （2）①根据，可得，根据角平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质可证是等边三角形，②由是等边三角形，得，再由是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ∴， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； ②∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在中，， ； 故答案为：25． 25. 阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： （1）小亮判断依据是______； （2）请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； （3）迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 【答案】（1） （2）1或3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； 【小问3详解】 解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因，， 所以， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $