3.2圆的对称性（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦圆的对称性及圆心角、弧、弦关系定理，通过“熊宝宝分蛋糕”情境导入，结合知识回顾中圆的基本概念铺垫，以问题链和折叠、旋转操作构建学习支架，引导学生逐步探究圆的轴对称、中心对称及旋转不变性。 其亮点在于以数学眼光观察分蛋糕问题，用折叠、旋转等动手操作培养几何直观，通过小红推理过程和定理推导发展数学思维，知识归纳规范数学语言。课堂小结系统梳理对称性及关系定理，助力学生构建知识体系，教师可借助情境和分层练习提升教学效率。

北师大版·九年级下册 3.2 圆的对称性 第三章 圆 学 习 目 标 1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性； 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题；（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点） 知识回顾 1.圆可以看成是平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形． 定点 定长 2.连接圆上任意两点的线段叫做 .经过圆心的弦叫做 ． 弦 直径 3.圆上任意两点间的部分叫做 ，简称弧． 4.能够重合的两个圆叫做 .在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 . 5.点和圆的位置关系有三种：点在圆外，即d r； 点在圆上，即d r；点在圆内，即d r. ＞ = ＜ 圆弧 等圆 等弧 情境引入 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？八等分呢？ 新知探究 探究一：圆的对称性 问题（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 问题（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流. 用折叠的方法. ●O 圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴. 新知探究 圆具有旋转对称性(旋转不变性)——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度之后，都能与原来的图形重合。 O α · 思考：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 想一想 重合. 新知探究 圆的对称性： 知识归纳 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 新知探究 1.下列说法中正确的是（ ）． A．直径是圆的对称轴 B．经过圆心的直线是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与半径垂直的直线是圆的对称轴 B 新知探究 探究二：圆心角、弧、弦之间的关系 A O B A′ (O′) B′ 在等圆☉O和☉O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA和O′A′重合. 你能发现那些等量关系？说说你的理由. A O B A′ O′ B′ 做一做 新知探究 ∵ 半径OA与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′， ∴ 半径OB与O′B′重合． ∵ 点A与点A′重合，点B与点B′重合， ∴ AB与A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合． ∴ AB＝A′B′，AB＝A′B′. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A O B A′ (O′) B′ ⌒ ⌒ 小红认为AB=A′B′，AB=A′B′，她是这样想的： 新知探究 弧、弦与圆心角的关系定理： 知识归纳 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 新知探究 （2）“在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？ A B O D C 如果没有这个条件，两弧就不一定完全重合，两弦就不一定相等了． 仍然成立！ （1）如果不加“同圆或等圆中”这个条件，上述结论还一定成立吗？ 想一想 新知探究 弧、弦与圆心角关系定理的推论: 知识归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 在同圆或等圆中 新知探究 2.下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 B 新知探究 议一议 你得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同步进行交流. 折叠法：验证圆的轴对称性。 旋转法：探究圆的中心对称性与旋转不变性。 叠合法：验证同圆 / 等圆中圆心角、弧、弦的等量关系。 观察归纳法：从多次操作现象中总结出圆的对称性及相关性质规律。 如图，AB，DE是☉O 的直径，C是☉O 上的一点，且AD=CE. BE和CE的大小有什么关系？为什么？ 例1 · E B C O A D ⌒ ⌒ 典例分析 解:BE=CE.理由是： ∵∠AOD=∠BOE， ∴AD=BE. 又∵AD=CE， ∴BE=CE. ∴BE=CE. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是 的中点．试确定四边形OACB的形状，并说明理由． 例2 典例分析 ⌒ ⌒ 解：四边形OACB是菱形；理由：连接OC． ∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC． 又∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°． ∵OB=OC，OA=OC， ∴△BOC和△AOC都是等边三角形． ∴OB=BC=CA=AO． ∴四边形OACB是菱形． 巩固练习 基础巩固题 1.下列命题中，正确的有（ ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 D 2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ） ⌒ ⌒ A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD ⌒ ⌒ C. AB<CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 A 巩固练习 基础巩固题 4.如图，已知AB是⊙O的直径， ，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）． A．40° B．60° C．80° D．120° 3.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧，则优弧所对的圆心角为(　　)A.45° B.90° C.135° D.270° D B 巩固练习 基础巩固题 6.如图，AB、CD是☉O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_________，____________． （2）如果 ，那么_________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． · C A B D E F O AB=CD ( ( 5.如图，☉O中，AB=CD，∠1=500，则∠2= 。 O D C A B 1 2 50 o AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( 巩固练习 基础巩固题 7.如图，AB，CD是圆O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为__________． 8.已知☉O的半径为r，弦AB的长也是r，则∠AOB的度数是 . 9.圆的一条弦把圆分为5：1两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是 cm. AC=AE 60° 2 10.如图，M为⊙O上一点， ，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME. 巩固练习 基础巩固题 证明：连接MO， ∵  ， ∴∠MOD＝∠MOE， 又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E， ∴MD＝ME. 巩固练习 基础巩固题 11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.求 的度数． 解：连接CD， ∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°， ∴∠A＝90°－36°＝54°. ∵AC＝DC， ∴∠ADC＝∠A＝54°， ∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°， ∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°. ∵∠ACD、∠BCD分别是 所对的圆心角， ∴ 的度数为72°， 的度数为18°. 课堂小结 圆的对称性 轴对称图形 中心对称图形 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 旋转不变性 圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 圆心角、弧、弦之间的关系 作业布置 1.必做题：习题3.2第1-2题。 2.探究性作业：习题3.2第3题。 感谢聆听! $