黑龙江省部分学校2025～2026学年高三上学期12月教学质量检测数学试题

2025~2026学年度第一学期12月份教学质量检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题 区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3所有答案均要答在答题卡上，否则无效。考试结束后只交答题卡。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.已知A={x∈Nx<8,B={ly>3),则集合A∩B中的元素个数为（▲） A.0个 B.5个 C.6个 D.无数个 2.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称轴，则a=(▲) A.-1 B.1 D.-1 2 3.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上，且OM=2MA, N为BC中点，则MN等于（▲） A-B.a+-c含a++D.6- B 2 第3题图 4.已知函数f(x)=3.x2-c+2在[-1,2]上具有单调性，则k的取值范围为（▲） A.(←-0，-12]U[6,+0) B.(-0,-6]U[12,+0) C.(←w,-3]U[6,+w) D.(-0,-6]U3,+w) 5.已知8是各项均为正数的数列a,)的前n项和，Sa=2a,+s),a4=64,若a-。-65<0对nmeN* 恒成立，则实数的最大值为（▲） A.82 B.16 C.16√2 D.32 6.若椭圆C:ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A,B,点M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率 小于；，则椭圆C的离心率的取值范围为（▲） A.(0, B. c.5 2 D.0 数学试题第1页（共4页) 7.在△ABC中，AB=4,BC=3,CA=5,点P在该三角形的内切圆上运动，当BP最大时，则BP.BC 的值为（▲） A.3+32 2 B.3+35 2 C.2+2 2 D.2+3 8. 已知函数f(x)= 2x+bx+c,<0 ()=2x-1.若f(-1)=f(3),f0)=2,则函数y=fgx]在(-m, f(x-2),x>0, 2(n∈N)上的零点之和为（▲） A.2n+2 B.2+4n+1 C.2m2+3n+1 D.22+n-1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（▲） A.过x,),(3,,)两点的直线方程为y-出==X y2-y x2- B.经过点1,2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0或2x-y=0 C.圆C:x2+y2+2x=0与圆C,:x2+y2-4x-8y+4=0恰有3条公切线 D.已知双曲线C:-=1的两个焦点分别为R,乃，双曲线C上有一点P,若1PR上5，则1PR上9 412 10.已知椭圆C于y-1的左、右焦点分别为R,R,过点的直线交椭圆C于A,B两点，则下 列说法正确的是（▲） A.弦长|AB|的取值范围为[1,4 B.若A、B两点的中点为M,), 则直线的斜率为号 C.若弦AB的中垂线与x轴交于点N,则 1AB|4 D.若点A在第一象限，满足△AFE的面积为1，则|AR=2+V3 11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R,都有f1-x)=f1+x),且当x∈[0，]时， f(x=2-1,若函数g(x)=fx)-log(x+2)(a>0且a≠1)在(-1,7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值 可以是（▲） A. 11og,2 B. 110g2 C.31og23 D.9l0g,3 3 数学试题第2页（共4页) 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若x-“展开式中的常数项为120，则实数a的值为人 13.甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若 甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有▲ (用数字作答)种. 14.乃，B,,P…顺次为函数y=1(x>0)图象上的点（如图）Q, 9,…,g.顺次为x轴上的点，且△OP2,△QPQ,,△QP0… 均为等腰直角三角形（其中卫为直角顶点），设Q的坐标为(x。， QQ:Q 0)0∈N),则数列x}的通项公式为▲ 第14题图 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 bsinC =a-b+c. sin A+sin B-sin C (1)求A: (2)若b+2c=2W3sinB+4W3sinC,求△ABC周长的最大值， 16.(本题满分15分) 六朝古都南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵、夫子庙、玄武湖、南京博物院等传统景区，又有科 巷、三七八巷、德基广场等新晋网红景点. (1)如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示： 首选传统景区 首选网红景点 总计 男性 20 30 女性 12 20 试判断是否有90%的把握认为是否首选网红景点与性别有关： (2)根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概 率是0.4.如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为x,求X的分布列和期望. 附：x2= n(ad-bc)2 (其中n=a+b+c+d). (a+b)(c+d)(a+c)b+d) 0.100 0.010 0.001 P(x2>) 2.706 6.635 10.828 数学试题第3页（共4页） 17.(本题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD=√3，PB=PC=√6，∠APB=∠CPD=90°， AD=2,点M,N分别是棱BC,PD的中点. (1)求证：平面PAB⊥平面PCD; (2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值. 18.(本题满分17分) 已知抛物线Cy2=3x及抛物线C2:y2=2x(p>0),过C,的焦点F的直线与C交于A,B两点，O为坐 标原点，OA⊥OB.过F的两条直线N,Pg与C,交于M,N,P,Q四点，其中M,P在第一象 限，若直线MP与x轴的交点为Tt,O)· (1)求C,的方程： (2)若t=-2,求直线NQ与x轴的交点的坐标； (3)是否存在点T,使得M,N,P,Q四点共圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 19.(本题满分17分) 对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[，川∈D,同时满足； ①f(x)在[，刊内是单调函数；②当定义域是[m,时，f(x)的值域也是[，刊，则称[，闪是该 函数的“优美区间” (1)求证：0,2习是函数f)的一个“优美区间”， (2)求证：函数g)=4+6不存在“优美区间” (3)已知函数y==@+r-山a∈R.a≠0有“优美区间”m,川，当a变化时，求出n-m的最 大值. 数学试题第4页（共4页)2025~2026学年度第一学期12月份教学质量检测 数学试题参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A 0 为 D C A D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 题号 9 10 11 答案 BCD AC AD 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.【答案】B 【解答】解：A={x∈Nx≤8={0,1,2,3,4,5,6,7,8，B={yy>3}, 故集合4∩B={4,5,6,7,8,元素个数为5个. 2.【答案】A 【解答】解：圆x2+(y+a2=1的圆心坐标为(0，-)，：直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称 轴，.圆心在直线2x+y-1=0上，可得0-a-1=0,即a=-1. 3.【答案】C 【解答】解：如图，连接om,~Ow是Bc的中点，om-o5+0oc, OM=2MA,:OM=20A, .AWON-0+0- 2 3 2 4.【答案】B 【解答】解：根据题意，函数f)=3x2-+2,是二次函数，其对称轴为：x= 6 若函数fg=3x2-c+2在[-1,2]上具有单调性，则有≤-1或≥2， 6 得≤-6或k2,即k的取值范围为(-0，-6U12,+∞). 5.【答案】D 【解答】解：S4=2a.+S,),S1=2a,+S,S1-Sn=2a,即a1=2a, .数列{a}是以q=2为公比的等比数列，a,4=64,4×22×4×24=64，a>0,4=1, :0=2,3=40-寸2=112)=4”-1， 1-9 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第1页（共9页） a-3w65<0对n∈N*恒成立，2=4x21+64 2>24x21x4」 ”4×21+6 =2,当且仪当4×2年即m3时取等号，32 6.【答案】c 【解答】解：设A(x,y),B(x2’y), 由题意，联立公-1消去y得：a+6-2+6-10.a0.b0 △=44a+6-D20,解得+L,则X+。,点M6,由直线OM的斜率小于卫 a b a+b'a+b 得名行则片立女椭圆c+片1焦点在：镇上 /2 +五 ，e= 1- b b 2 a b 所以椭圆c的离心率的取值范围为5，). 7.【答案】A 【解答】解：在△4BC中，因为AB=4,BC=3,CA=5,所以AB2+BC2=AC2,所以△MBC为直角三角 形，其中AB⊥BC. 以B为原点，BC,BA分别为x,y轴正方向建立直角坐标系，则B(0,0),A0,4),B3,0). 所以直线AC音若1.设aMBc的内切圆为圆D-(x-+(-=户. a=r a=1 由题意可得b=r ,解得b=1,所以圆D:(x-1)2+(y-1)2=1. 14a+3b-12=r P=1 √42+32 因为点P在该三角形的内切圆上运动，所以x2-2x+y2-2y+1=0,(x≥0，>0)· 因为+2w,所以2'2= x2+2y+y2 x2+x2+y2+y2 k2+y2 4 2 而|BP=Vx2+y2,所以由x2-2x+y2-2y+1=0可得：x2+y2+1=2x+y)≤4 x2+y2 'V 2 解得PVP+y<反+1（当且仅当x=y=1+5时等号成立）， 2 比时0+竖1导，所以丽-091+9.而定-&0， 所以B严C=Q+5×3+Q+5x0=3+35 2 2 8.【答案】D 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第2页（共9页） 〔b =-2 【解答】解：因为f-=f),f0)=2,所以 3 解得6-号，c=2, C=2, 导+骨+20所以网在(2+)上是周期为2的函数， 所以f(x)=3 f(x-2),x>0. f(x)在R上的所有零点为2k-3(k∈)， 所以y=f[g(x]在（←m,2n∈W)上的所有零点为g(x)=2k-3(k∈WM的零点且≤2n, 所以2x-1=2k-3k∈)且≤2n,解得x=k-1(0<k≤2n+1且k∈N), 所以函数y=[8(】在(0,2m0e)上的零点之和为②n+21+20-2m+n-1, 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BCD 【解答】解：对于A选项，(x,y),(x，y)两点，当x=x,或y=y,时，无法用两点式表示该直线， ·A选项错误； 对于B选项，当直线经过点(0,0)时，直线方程为y=2x,即2x-y=0, 当直线不经过点(0,0时，设在x轴和y轴上截距都为a,则上+2-1，解得a=3, aa 则直线方程为+兮1，即x+-3=0,B选项正确： 对于C选项，圆C标准方程为(x+1)+y2=1,圆心为(-1,0)，半径1=1， 圆C,的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=16,圆心为(2,4)，半径，=4， 可知|CC2=√(-1-2)2+4=5，且r+5=5,圆C与圆C,外切，.有3条公切线，.C选项正确： 对于D选项，根据双曲线定义可得lPF|-PF作2a=4,又|PF=5, PE=1或1P耳=9，又c2=+b=16,c=4,而1PE|>c+a=6或PE|≥c-a=2,PE卡9，D选项 正确 10.【答案】AC 【解答】解：因为直线1过椭圆的右焦点F, 所以弦长14B的最短为通径2沙=1，弦长AB的最长为长轴2a=4, 则弦长AB的取值范围为1,4，故选项A正确：易知R(W5,0),若A、B两点的中点为MQ,宁， 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第3页（共9页） 1-0 当：时，店子板选项B错误：设点4、8的中点为G, 2 立+y,消去理得0+4821 y=k(x-3) 由韦达定理得飞+名，8W5 1+4k2’55 12k2-4 1+4k2 1+4k26绿=25 所以y+男=-同+k,-A=k×8V5k: 1+4k2, 所以GVBk-B、 +W1+妆)，所以A、B两点的中垂线方程为y 3k 1 、 4V5k2 1+4k2- +4k2, +4W,),所以W3上5-3W3R-Ba+码 可得N332 1+4k21 1+4k2 所以AB1+及.√：+)2-45，=1+k2. 8V3k2 2 48k2-16 V1+4k2 1+4k2 在，则，故达项c正 s4x1+2 |AB|4 确：因为S6=amA迟=1，所以∠RA机=90°， 2 所以|AEP+|AE,P=(2c2=12,|AR1+|AP=2a=4, 因为点A在第一象限，所以AF=2+√2，故选项D错误， 11.【答案】AD 【解答】解：函数fx)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，]时，f(x)=2-1,当x∈[-1,0]时， -x∈[0,1]，所以f(x)=-f(-x)=-2+1,即当x∈[-1,0]时f(x)=-2x+1, 又对任意x∈R,都有f1-x)=f1+x),则f(w)关于x=1对称， 且fx)=f(2+x)=-fx),∴f(x)=f(x+4),即函数f(x)的周期为4， 又由函数g()=f(x)-log.(x+2(a>0且a≠1)在(-1,7)上恰有4个不同的零点， 得函数y=f(w)与y=log.(x+2)的图像在(-1,7)上有4个不同的交点，又f(1)=f(5)=1f(-1)=f（3) =f(7)=-1,当a>1时，由图可得log.(5+2)<1=log。a,解得a>7: 1 当0<a<1时，由图可得lg(7+2)>-l=log。a1,解得0<a< y=log(x+2) y=f(x) 23/457x A---y=log,(x+2) y=f(x 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第4页（共9页） 综上可符a0U..g,2<1e,3=,s2片1g2s-1g,2 1 0 3 1<log23<log24=2,.1<3log23<6,log23>log22=1,.91og23>9. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.8 13.72 14.x。=2Wm 12.【答案】8. 【解答】解：根据二项式的展开式T1=Cg·(ax6-r(0<6,r∈；当r=2时，Cga=120,解得a=8. 13.【答案】72 【解答】解：因为一共5个人，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名. 又甲、乙均没有获得特等奖，所以甲、乙获奖的可能情况有A种， 则除甲、乙之外的三个同学获奖情况有A种，所以5名同学获奖的所有可能情况有AA=72种. 14.【答案】x,=2n 【解答】解：过P点作PH⊥x轴，垂足为H,'△9P2,为等腰直角三角形，且P为直角顶点， PHQQ,卡，，卫点的纵坐标为 2 2 ~△0PO为等腰直角三角形，且卫为直角顶点，H点为线段0O的中点，H点横坐标为+x 2 :PH1x轴，六P点的横坐标也为+，~卫点为函数y=>0)图象上的点， 2 2心+，2)2=G-=4:x=+40n-D=45=2Wm x+-1 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】1)： (2)9. sin A+sinB-sinc=a-b+c,bc 【解答】解：(1)根据正弦定理及，bsiC =a-b+C,2分 a+b-c ∴.bc=(a+b-c(a-b+c)=a2-(b-c)2=2bc-(b2+c2-a2), +c-ai=be,c05A=bitc-a1 2be 2’ 4分 A∈(0，)，A= 3 .6分 (2)设△ABC的外接圆半径为R,由b+2c=25simB+4w5simC及正弦定理， 2Rsin B+4RsinC=2v3sin B+4v3sinC,............ 8分 R=5,a=2W5sinA=23×sinT=3.10分 根据余弦定理得，d=B+c2-bc=b+c-3bc≥b+c}-3b+c)}=b+c}, 4 4】 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第5页（共9页） .(b+C)2<36,当且仅当b=c=3时取等号，.b+c≤6，.△ABC周长的最大值为9. 13分 16.【答案】(1)有90%的把握认为，是否首选网红景点与性别有关； (2)X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E(X)=1.2. 【解答】解：(1)假设H。：是否选择网红景点与性别没有关系. 由题意，补全2×2列联表如下： 首选传统景区 首选网红景区 合计 男性 20 10 30 女性 8 12 20 合计 28 22 50 根据独立性检验公式可知，x 50×(20×12-10×8)2800 30×20×28×22 237≈3.463>2.706.4分 因为当H。成立时，2.706的概率约为0.1， ……………6分 所以有90%的把握认为，是否首选网红景点与性别有关 7分 (2)由题意知，随机变量X服从二项分布B(3,0.4). ………8分 P(X=)=C0.41-0.43,k=0,1,2,3,P(X=0)=0.216,P(X=1)=0.432, P(X=2)=0.288,P(X=3)=0.064,12分 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 所以X的期望值E(X)=p=3×0.4=1.2.15分 17.【答案】(1)证明过程见解答： (2)6 【解答】解：(I)证明：过点P作PE⊥AB,交AB于点E,作PF⊥CD,交CD于点F,连接EF, 由于AB/ICD,则PF⊥AB,又PA=PD=√5，PB=PC=V6, ∠APB=∠CPD=90°，CD=VPC2+PD2=3, 2分 APAB=APCD,PE=PF=PC.PD=PE:+PR=EF:, CD 4分 PE⊥PF,而PE∩AB=E,PE,ABC平面PAB,PF1平面PAB.6分 又PFC平面PCD,平面PABL平面PCD.7分 (2)取EF的中点为O,连OP,则OP1EP,OP=1,FD=VPD3-PF严=1，CF=2,8分 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第6页（共9页) 则以O为原点，OM,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则P0,0,1),C2,1,0,D(-1,1,,M2,0,0,N11马 2’2’2 =1-),P而=(11-，M=(1 22, 设平面PCD的一个法向量=(x,y,z), 则nPC-2+y-=0,取z=l,得元=01W,…B4 M ii.PD=-x+y-z=0 12分 设直线N与平面PcD所成角为0，则im6=In- MN vx3V3 9 14分 2 直线W与平面PCD所成角的正弦值为y6 , 9 18.【答案】1)2=12，(2)(0，（3)存在，1=-3. 【解答】解：(1)依题意可得F号，设A(,少)，B,,),则x=兰，，星 3 3 设直线AB的方程为三+号，由4 2, y2=3x 得广-3w-卫=0，显然△>0，所以+=35，y= D, 2分 因为OA⊥OB,所以OAOB=xx男+y4yB=0, 即g-=0,所以p-P=0,解得p=6或p=0（含去)， 9 所以C,的方程为y2=12x;. .4分 (2)由（1)可得F3,0),因为MN过点F,由条件可得MN的斜率不为0， 设直线MN的方程为x=y+3,M(x,y)y>0),N(x2,2), 由12x,得12w-36=0,所以=-36，所以x本=号 设P3,y≠X,为>0)，(%，y4),同理可得yy=-36,6分 因为直线MP过点T(-2,0), 所以安学2由签与=荟即之，所以我=4 即+y+2 12 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第7页（共9页） 直线Q的斜率为-y=当-业。12 12 。y3 -8 ,-星立.+436+36-30y+)+4 1212 y y3 所以直线0的方程为y-y=8K-),即y-368K-10S .8分 y+y3 y+y3 2 令-0，行99.即02.2说 2， 9×24 即9+义=-2x+3 货，解得x所以直线o与细的交点为一 .10分 y (3)由（2)可得y2=-36，y4=-36, 若M,N,P，,0四点共圆，则有|MFNF日PF|QF|,I2分 即告唱+=告答+ 12 即琴+琴等+学所以学报菩+福，整理得0 362 4444 22三0,14分 因为，所以所=6由产，即兰是品 业 +-t ，16分 1212 12 即-12t=y2+y,解得t=-3.… 17分 19.【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)y=x在区间[0,2]上单调增. 2 又：f(0)=0,f（2)=2,值域为[0,2]， … .2分 区间[0,2]是f(x)=x2的一个“优美区间”. .3分 (2)设[，刊是已知函数定义域的子集. x≠0，[m,川(m,0或[m,川(0，+），÷函数g(=4+6在m,川上单调递减.…4分 6 4+ =n①) 若[m,刊是已知函数的优美区间”，则 .5分 4+6=m(2) n 由(1)-(2)得：6-6 =n-,. 6n-0=n-m, nn n :>m,mn=6,n=6 .7 L 代入(1)等式不成立，函数g()=4+6不存在优美区间.8分 (3)设[，刊是已知函数定义域的子集， 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第8页（共9页） :x≠0，[，川≤（←-o,0)或[，川≤(0，+w), 片函数y-@+r-1_a+11在[m,羽上单调递增。l0分 ax a a'x 若[m,川是已知函数的优美区间，则侧=m hm）=n 12分 m、n是方程a+1-1=x,即ax-(a2+dx+1=0的两个同号且不等的实数根. a a'x m1=1>0,m,n同号，只须△=(a+3(a-)>0,即a>1或a<-3,14分 a :n-m=√n+m)2-4m= 23( a31 15分 当a=3时，n-m取最大值2 0。。。。。。。。。。。。。。。。■。。。。。。。。。。。。义 以上各解答题如有其它解法且正确，请按步骤给分。 黑龙江省部分学校高三12月份教学质量检测数学参考答案以及评分标准第9页（共9页）