山东省日照市北京路中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年山东省日照市五莲县北京路中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致.下面纹样中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.开口向上，顶点坐标为的抛物线为(    ) A. B. C. D. 3.随着人工智能技术的飞速发展，华兴科技股份有限公司也投入大量资金进行人工智能项目开发.已知该公司在2024年投入研发资金为1200万元，到2026年累计共投入研发资金4368万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，则该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如果从1，2，3，4中随机选取一个数，记为n，再从这四个数中随机选取一个数，记为m，则关于y的一元二次方程没有实数根的概率为(    ) A. B. C. D. 6.如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是(    ) A. B. 6 C. D. 7.已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图①，一动点P从中的A点出发，在三角形的内部运动含边上，沿直线运动至点，再从点沿直线运动至点，设点P运动的路程为x，，如图②，是点P运动时y随x变化关系图象，若，则的面积为(    ) A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”.例如，都是“平衡点”.已知二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是(    ) A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知点和点关于原点对称，则的值为      . 12.已知，则的值是        . 13.近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所示的马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长AD为1米，圆心角，则长度为______. 14.如图，将绕点A顺时针旋转得到，点 D正好落在BC边上．已知，则________ 15.杂技表演时，微微从跷跷板右端M处米弹跳到人梯顶端椅子B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高点处，若其身体看成一个点的路线为抛物线的一部分，已知人梯高米，演员弹跳到最高点N处后落到人梯顶端椅子B处算表演成功，为了表演成功，人梯离起跳点M的水平距离OC应为      米. 16.把正方形ABCD和正方形CEFG按如图方式拼接在一起，B、C、E三点共线，过A、C、F三点作，分别交边BC、AB于点H，Q，若，则的半径长为        . 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 用合适的方法解下列方程： ； 18.本小题8分 已知二次函数为常数 求证：不论m为任何实数，该函数的图象与x轴总有公共点； 若该函数的图象与x轴交于两个不同的整数点点的横纵坐标都是整数，且m为正整数，试确定此函数的表达式. 19.本小题9分 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， 画出与关于原点对称的； 将绕点C顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标______； 在的条件下，求旋转过程中线段CA扫过的面积结果保留 20.本小题10分 如图，AB为半的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD的中点，连接 求证：CE是的切线； 过点C作，垂足为点F，，，求的半径． 21.本小题10分 冬季来临，天气逐渐变冷，某商场根据民众需要，代理销售某种进价为600元/台的家用取暖器.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高20元，就会少售出10台. 试确定该取暖器月销售量台与售价元/台之间的函数关系式； 请计算当售价元台定为多少时，该商场每月销售这种取暖器所获得的利润元最大？最大利润是多少？ 若政府计划遴选部分商场，将销售取暖器纳入民生工程项目，规定：每销售一台取暖器，财政补贴商家200元，但销售利润不能高于进价的，请问：该商场想获取最大利润，是否参与竞标此民生工程项目？并说明理由. 22.本小题13分 综合与探究 问题背景：如图，在菱形ABCD中，，AC是一条对角线，点M为直线BC上一个动点，将线段MC绕点M逆时针旋转得到线段，连接，点N是中点，连接MN， 【初步探究】 如图1，当点在线段BC的中垂线上，则______. 【深入分析】 如图2，若点M与点B重合，连接BD交AC于点O，连接NA，请判断四边形NBOA的形状，并说明理由. 【拓展延伸】 若点M在点C右侧，连接CN，若，请借助图3和备用图求出CN的长. 23.本小题14分 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”. 【概念理解】 抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由. 【尝试应用】 抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，点M在点N的左侧，与y轴的交点分别为A， ①求a：b：c的值. ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意． 故选： 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：根据顶点式判断顶点的方法可知， A、抛物线的顶点为； B、抛物线的顶点为； C、抛物线的顶点为； D、抛物线的顶点为 故选： 四个选项都是抛物线的顶点式，直接写出每个抛物线的顶点坐标进行判断． 直接根据顶点式判断即可．顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线 3.【答案】A  【解析】解：该公司在2024年投入研发资金为1200万元，到2026年累计共投入研发资金4368万元， 故选： 设年平均增长率为x，根据已知该公司在2024年投入研发资金为1200万元，到2026年累计共投入研发资金4368万元，列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：是的直径， ， ， 同弧所对的圆周角相等， 故选： 由BD是的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中满足，即的结果有，，，，，，，这8种结果， 则关于x的一元二次方程没有实数根的概率为， 故选： 根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足的结果数，然后根据概率公式求解即可． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．解答本题的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． 6.【答案】C  【解析】解：如图，把正六边形螺帽抽象成正六边形ABCDEF，连接正六边形的中心O和两个顶点D、E，得到， ， 又， ， 为正三角形， ， 即这个螺帽的面积为 故选： 边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，计算出正六边形的面积即可． 本题考查了正多边形和圆，理解正六边形的半径把正六边形分成六个全等的等边三角形是关键，此题难度不大． 7.【答案】B  【解析】解：点、是二次函数图象上的两个点， 该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧， ， 解得， 故选： 首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：由题意可知，当时，， ， ， 由题意可知，， 由图①可知，当点P从运动到点的过程中，，此时，不变， 此时垂直平分BC，垂足为点，如图所示： ， 此时，，， 的面积， 故选： 当时，，求出，由题意可知，画出图形，由题意得垂直平分BC，垂足为点，当点P从运动到点的过程中，，即，不变，得到，由勾股定理求出，，即可得到答案． 此题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：设点为函数的“平衡点”， 代入得， 整理得， 有且只有一个“平衡点”， ， 解得， 函数， 顶点坐标为，开口向下， 当时，， 解得或， 当时，函数最小值为，最大值为1， 最大值1在处取得，故； 最小值在或处取得， 的取值范围是 故选： 由“平衡点”定义，点满足横纵坐标相等，代入函数解析式得到方程，根据有且只有一个“平衡点”可得判别式为零，求出c的值，进而得到函数解析式，化为顶点式确定顶点坐标．根据二次函数性质，在给定范围上最小值为、最大值为1，确定m的取值范围． 此题考查了二次函数的性质，熟练掌握新定义及二次函数的性质是关键． 10.【答案】B  【解析】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH， ，， ， 点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆， ，， ， ， 的最小值， 故选： 如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆． 本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 11.【答案】  【解析】解：点和点关于原点对称， ，， 故答案为： 根据关于原点对称的点的坐标特征，得出a和b的值，即可求解． 本题主要考查了关于原点对称点的坐标，掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数是关键． 12.【答案】3  【解析】解：设 ，则， 解得  或 ， ， 舍去， ， 故答案为： 设，将原方程化为关于 t 的方程求解，再根据平方的非负性确定取值； 本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 13.【答案】米  【解析】解：由条件可知， 解得：， 的长为米， 弧CD的长度为：米， 故答案为：米． 根据AB的长度及的度数，可求出OA的长，再结合AD的长可求出OD的长，再利用弧长公式计算即可得解． 本题主要考查了弧长的计算，熟知扇形弧长的计算公式是解题的关键． 14.【答案】20  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并确定出是等腰三角形是解题的关键. 根据旋转的性质可得，，再根据等边对等角可得，然后求出，，从而得解. 【解答】 解：绕点A顺时针旋转得到， ，， 点D正好落在BC边上， ， ， ，， ， 故答案为 15.【答案】4  【解析】解：， 设抛物线的解析式为：， ， 把代入中得：， 解得：， 抛物线的解析式为：， 把代入得： ， 解得：，舍去， 点B在对称轴的右侧， 人梯到起跳点A的水平最远距离是4米时，这次表演是成功的． 故答案为： 先利用待定系数法求出抛物线的解析式为，再把代入求解即可． 本题主要考查二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确求出二次函数解析式是解题关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接AF，AH，HF，AC，FC， 设，，则， ，则， ， ，， ， 是的直径， ， ， ， 解得：或舍去， 设 的半径长为R， ， 解得：负值舍去， 故答案为： 连接AF，AH，HF，AC，FC，得出AF是的直径，设，则，根据勾股定理可得，求得，进而根据勾股定理，即可求解． 本题考查了圆周角定理，正方形的性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】，  ，  【解析】解：， ， 或， 所以，； ， ， ， 或， 所以， 利用因式分解法解方程； 先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 18.【答案】证明：， 又不论m为任何实数都有，即， 该函数的图象与x轴总有公共点． 解：令，则， 解得：，， 抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数， ， 抛物线对应的表达式为  【解析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； 解方程得，，再根据抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，于是得到，从而得到抛物线解析式． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 19.【答案】如图，即为所求  如图，即为所求，；  线段CA扫过的面积  【解析】解：如图，即为所求； 如图，即为所求， 故答案为：； ， 线段CA扫过的面积 利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； 利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； 利用勾股定理求出AC，再利用射线面积公式求解． 本题考查作图-旋转变换，勾股定理，扇形的面积，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 20.【答案】证明：连接CO、EO、BC， 是的切线， ， 是直径， ， 中，E是BD的中点， ， ，， 则≌， ， 点C在圆上， 是的切线； 解：解法一：中，，， ， 设圆O的半径为r，则， 由勾股定理得：， 即，； 解法二：中，，， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， ， 则， 则的半径为  【解析】证明≌，得，所以CE是的切线； 解法一：设圆O的半径为r，则，根据勾股定理列方程可得结论； 解法二：设，根据勾股定理得：，，得，解出可得结论． 本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键． 21.【答案】  当时，  是，理由如下： 每销售一台取暖器，财政补贴商家200元，但销售利润不能高于进价的， 即， 解得， 此时， 则当时，取得最大值利润为， 故该商场想获取最大利润，是参与竞标此民生工程项目  【解析】解：由题意得：， 由题意得：， ， 函数有最大值， 当时，； 是，理由如下： 每销售一台取暖器，财政补贴商家200元，但销售利润不能高于进价的， 即， 解得， 此时， 则当时，取得最大值利润为， 故该商场想获取最大利润，是参与竞标此民生工程项目． 根据题意列函数关系式即可； 根据题意列出二次函数，利用二次函数的最大值求解即可； 计算出补贴后的最大利润，与原来的最大利润比较即可解答． 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 22.【答案】  四边形NBOA是矩形；理由如下： 点M与点B重合，将线段MC绕点M逆时针旋转得到线段， ，， 在菱形ABCD中，，，， ，， 为等边三角形， ，， 点N是中点， ， 又，，， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形NBOA是平行四边形， 又， ， 平行四边形NBOA为矩形  的长为1或2  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 点在线段BC的中垂线上， ， ， 将线段MC绕点M逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 故答案为：； 四边形NBOA是矩形；理由如下： 点M与点B重合，将线段MC绕点M逆时针旋转得到线段， ，， 在菱形ABCD中，，，， ，， 为等边三角形， ，， 点N是中点， ， 又，，， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形NBOA是平行四边形， 又， ， 平行四边形NBOA为矩形； 的长为1或2；理由如下： ①当时，如图3， ， ， 点N为的中点， 为的中位线， 点C为BM中点， ， ， ， ； ①当时，如图4， 取BM中点为E，连接EN， 点N为中点， 为的中位线， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 设，则，，， 为BM中点， ，即， 解得：， 综上所述，CN的长为1或 利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数； 通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形； 分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求 本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理． 23.【答案】解：【概念理解】抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在中，令得或， 抛物线与x轴的交点为和； 在中，令得或， 抛物线与x轴交点为和， 抛物线与抛物线与x轴有相同的交点， 又抛物线与抛物线开口方向相同， 抛物线与抛物线围成“月牙线”； 【尝试应用】①在中，令得或， 抛物线与x轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ：b：：：：：； ：b：c的值为1：：； ②由①知，， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，， ， 抛物线在抛物线上方； ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得：， 解得， ， ； 在中，令得， ， 在中，令得， ； ， ； ， 线段AB长的取值范围是  【解析】【概念理解】求出抛物线与x轴的交点为和；抛物线与x轴交点为和，又抛物线与抛物线开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”； 【尝试应用】①求出抛物线与x轴交点为和，代入得：，解得，故a：b：：：：：； ②由①知，，可得抛物线的顶点为，而抛物线的顶点为，，可知抛物线在抛物线上方；即可得，根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段AB长的取值范围是 本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $