精品解析：广东省领航高中联盟2025-2026学年高一上学期12月检测数学试题

广东省2025-2026学年领航高中联盟12月高一检测考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第一章至第四章. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，改变量词并否定结论可得结果. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得： 命题“，”的否定为“：，”. 故选：A. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，再根据交集的运算即可求解. 【详解】由题意得的解为， 又为自然数集，故. 故选：C. 3. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解对应的不等式的解集，再根据集合关系判断即可. 【详解】由得，解得或， 由解得或， 显然或是或的真子集 故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由奇函数性质可知，对任意恒成立，代入化简即可. 【详解】不妨设，由奇函数性质可知， 所以，即对任意恒成立， 于是，所以. 故选：D. 5. 若，，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】运用二次函数的性质求解即可. 【详解】因为对于任意正数，不等式恒成立，则， 而，所以要使其恒成立，则. 故选：D. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的性质判断函数在上单调递增，由零点存在性定理判断即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， ，， 所以由零点存在性定理可知零点所在区间为. 故选：C. 7. 不等式的解集为（ ） A. {且} B. {或} C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母中绝对值的性质进行分类讨论，然后分别求解不等式即可. 【详解】当时，， 不等式，，解得，取交集，得. 当时，， 不等式，，解得，取交集，得. 当时，分式无意义. 综上所述，不等式的解集为{或}. 故选：. 8. 记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，，故，，再结合函数是增函数，得，进而得. 【详解】显然，故必然有， 所以，， 由于，函数是增函数， 故，即，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先化简集合B，结合选项验证即可. 【详解】对于A，由可知，故A正确； 对于B，由得，于是，故B正确； 对于C，由得，故C错误； 对于D，或，故或，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数（且）的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据函数单调性分析判断；对于B：根据分析判断；对于C：根据分析判断；对于D：整理可得，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为在定义域内是增函数可知，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为， 由图可知，即， 且，可得，，故C错误； 对于选项D：因为， 则，可得， 因为在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 若，则，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数是幂函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若在处有意义，则 B. 对任意非零实数，有 C. 若是增函数，则 D. 若的定义域不为，点在函数的图象上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用幂函数概念可求得参数，或，再结合选项中的定义域和单调性条件可确定幂函数，从而可利用幂函数计算检验，结合基本不等式，对各选项逐一判断即可. 【详解】由幂函数的定义可知可得，或. 对于A，由在处有意义，即存在，则，此时，，故A正确； 对于B，由幂函数，可知，故B正确； 对于C，由是增函数，可知，此时，，故C错误； 对于D，若的定义域不为，此时，即， 依题意可得，即，于是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】由得， 又，所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模呈指数型增长.记最终所需算力为，由硬件导致的规模系数为（可视为常数），则有.当输入规模增加1时，所需算力变为原来的4倍，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意列式，并结合指数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得， 因为， 所以，解得. 故答案为：2. 14. 已知函数，则曲线恒过定点的坐标为________. 【答案】## 【解析】 【分析】解法一：将含的项合并，令，求出定点的坐标； 解法二：观察到时，函数值为定值. 【详解】解法一：，令，得， 此时，故曲线过定点. 解法二：注意到， 故其过定点. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值； （2）计算的值. 【答案】（1）10；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而运算求解即可； （2）解法一：利用换底公式运算求解即可；解法二：根据结论运算求解. 【详解】（1）因为，则， 整理可得，解得； （2）解法一：； 解法二：. 16. 记集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【小问1详解】 由，得，解得或， 故的取值范围是. 【小问2详解】 当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 17. 正数，满足. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）4 （2）12 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式进行求解即可； （2）利用配方法，结合（1）的结论进行求解即可. 【小问1详解】 因为正数，满足， 所以可得， 即，当且仅当，时等号成立. 故的最大值为4. 【小问2详解】 ， 当且仅当，时等号成立. 故的最小值为12. 18. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若，，求的最大值，并求当取得最大值时的值； （3）若，使得，求的取值范围. 【答案】（1）8 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）写出解析式，根据二次函数在区间上的单调性，比较端点值可得最大值； （2）根据判别式求得的范围，代入可得答案； （3）方法一根据对称轴和区间的位置关系讨论，结合零点存在定理可得答案；方法二分离参数，结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 当时，， 故在区间，上单调递减，在区间上单调递增， 注意到，，故在区间，上的最大值为8. 【小问2详解】 由，可得， 于是，当且仅当时等号成立， 故的最大值为1，于是，. 【小问3详解】 解法一：原题设等价于在区间上有零点. 注意到的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增， 而，此时，矛盾. 当时，令，得， 由零点存在性定理可知此时在区间上有零点，符合题意. 当时，，，矛盾. 当时，，此时只要即可. 注意到，故由零点存在性定理知在区间上有零点. 综上，的取值范围是. 解法二：原题设等价于方程在区间上有解， 显然不是方程的解， 当时， 有， 当且仅当时取等号， 又当无限趋近1时，无限趋近于， 综上，的取值范围是. 19. 设函数，其中且，且. （1）当时，求的定义域； （2）当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； （3）若存在，使得，证明：. 【答案】（1）； （2）证明：当时，，设的定义域为. 在上任取，，且，， 当时，指数函数在上单调递增. 由于，则，. 又，故在区间上单调递增， 所以，即. 故当时，在上单调递增； 当时，指数函数在上单调递减. 由于，则，. 又，故在区间上单调递减， 所以，即. 即当时，在上单调递增. 综上，当或时，对于任意，且，均有， 故在其定义域内单调递增. （3）证明：令，则，即，即， 故原题等价于关于的方程在区间上有解. 设. 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减， 又由在区间上有解及零点存在性定理知， 即，又且，解得. 所以，若存在，使得，则. 【解析】 【分析】（1）对数函数定义域问题，需要真数位置大于零. （2）定义法证明函数单调性，需讨论底数和1的大小关系. （3）存在问题转化为函数零点问题，需结合零点存在性定理解题. 【小问1详解】 当时，. 根据对数函数的定义可知，即， 故的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025-2026学年领航高中联盟12月高一检测考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第一章至第四章. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为（ ） A. {且} B. {或} C. D. 8. 记，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（且）的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 当时， 11. 已知函数是幂函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若在处有意义，则 B. 对任意非零实数，有 C. 若是增函数，则 D. 若的定义域不为，点在函数的图象上，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的取值范围是________. 13. 算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模呈指数型增长.记最终所需算力为，由硬件导致的规模系数为（可视为常数），则有.当输入规模增加1时，所需算力变为原来的4倍，则________. 14. 已知函数，则曲线恒过定点的坐标为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值； （2）计算的值. 16. 记集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 17. 正数，满足. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 18. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若，，求的最大值，并求当取得最大值时的值； （3）若，使得，求的取值范围. 19. 设函数，其中且，且. （1）当时，求的定义域； （2）当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； （3）若存在，使得，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $