四川省成都市龙泉驿区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.25的算术平方根是(    ) A. 5 B. C. D. 2.下列各组数中，是勾股数的是(    ) A. ，， B. 5，12，13 C. ，，1 D. 1，2，3 3.下列实数中是无理数的为(    ) A. B. 1 C. D. 4.方程组的解是(    ) A. B. C. D. 5.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.下列三角形中，a，b，c分别表示边长，，，表示角，一定是直角三角形的有(    ) 三边之比为3：4：5的三角形； 三个内角是的三角形； ：：：4：5； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7.如图，在长方形ABCD中，，，将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，则AE的长度为(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟，设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意列方程组(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是      . 10.是方程的解，则        . 11.大于且小于的整数的和是      . 12.如图，长方形ABCD的边AD长为3，AB长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是        . 13.如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是        14.当时，代数式的值为        . 15.如图，在中，，若，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为        . 16.解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为        . 17.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，这个矩形色块图的面积是        . 18.如图，15只空油桶每只油桶底面的直径均为堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为        三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题16分 ； ； ； 20.本小题8分 解下列方程组： ； 21.本小题6分 将一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成一个正方形.已知这两个图形的面积相等，请画出示意图进行分析，并求长方形的长和宽分别是多少. 22.本小题8分 2025年成都世界运动会第12届世界运动会是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事.随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和已知，，点C在点B的正东方600m处，点D在点C的正北方200m处. 试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； 如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短. 23.本小题10分 如图，在中，， 如图，点D是边BC上一点，作， ①求证：； ②连接CE，若，，求边CF的长； 如图3，O是内部一点，，连接CO，若，，求点O到BC的距离. 24.本小题10分 观察下列式子的化简过程： ； 按照上述两个式子的化简过程，化简______，______； 计算下列算式：； 比较与的大小，并说明理由. 25.本小题10分 如图1，在中，，，求BC，AC； 如图2，尺规作图：作三角形ABC，使，边，； 在条件下若，，，求AB的长度. 26.本小题10分 如图1，在矩形ABCD中，P是边AD中点，将沿着直线BP翻折得到，射线交边CD于点E，射线分别交线段CD，射线AD于点G，求证≌； 在条件下，若，，求AB长度； 如图2，在矩形ABCD中，，P是边AD上一点，，将沿着直线BP翻折得到，延长交CD于点E，若E为CD中点，求此时的面积. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：的平方是25， 的算术平方根是 故选： 如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果． 本题主要考查的是算术平方根的定义，难度不大，比较简单． 2.【答案】B  【解析】解：A、， ，，不是勾股数，不符合题意； B、， 正整数5，12，13是勾股数，符合题意； C、、，1不都是正整数， 、，1不是勾股数，不符合题意； D、， ，2，3不是勾股数，不符合题意； 故选： 根据勾股数的定义判断即可． 本题考查的知识点是勾股数的定义，满足的三个正整数，称为勾股数． 3.【答案】A  【解析】解：是无理数； B.1是整数，属于有理数； C.是分数，属于有理数； D.是有限小数，属于有理数； 故选： 无理数是指无限不循环小数，由此判断即可．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 本题主要考查无理数的概念，掌握无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：， ①+②得：，          ， 把代入①得：，                ， 方程组的解为： 故选： 解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法消元，①②相加可消去y，得到一个关于x的一元一次方程，解出x的值，再把x的值代入方程组中的任意一个式子，都可以求出y的值 此题主要考查了二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单． 5.【答案】B  【解析】解：，故此选项不符合题意； B.，故此选项符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项不符合题意； 故选： 根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可． 此题主要考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：设三边分别为3k，4k，5k， 则，是直角三角形，故符合题意； ， ，， ， ， 解得：， ， 三角形是直角三角形，故符合题意； ：：：4：5，， 最大角，不是直角三角形，故不符合题意； ， ，是直角三角形，故符合题意； 综上所述，一定是直角三角形的有3个， 故选： 根据勾股定理的逆定理即可得出结论； 根据条件和三角形内角和定理求出，即可得出结论； 根据条件和三角形内角和定理求出最大角，即可得出结论； 根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：设，则， 此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合， ， 四边形ABCD是矩形， ， ，即， 解得 的长为 故选： 设，根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程即可得到问题答案． 本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理的运用，找出对应线段、对应角是解题的关键．注意方程思想的运用． 8.【答案】D  【解析】解：小颖跑步去学校共用了16分钟， ； 小颖家离学校1880米，小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟， 根据题意可列方程组 故选： 根据小颖跑步去学校所用时间及小颖家到学校的路程，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由题意可知：， 故答案为： 根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 10.【答案】1  【解析】解：根据题意得把代入方程中，得， 解得， 故答案为： 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出a的值． 本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 11.【答案】2  【解析】解：大于且小于的整数有：，0，1，2， 这些整数的和为： 故答案为： 先找出大于且小于的整数，然后再根据有理数的加法运算法则计算即可． 本题考查了实数的大小比较，有理数的加法，掌握实数的大小比较方法，有理数的加法运算法则是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：在长方形ABCD中，， 在中，据勾股定理锝： 以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，与数轴的正半轴和负半轴相交，有两个交点， 点E表示的实数为 故答案为： 根据勾股定理求出半径AC的长，再由点A对应的数是0，即可得出点E对应的数． 此题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练用勾股定理求半径是关键． 13.【答案】15  【解析】解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： ， 此时 它需要爬行的最短路线的长是15cm， 故答案为： 先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 本题考查了勾股定理的应用、平面展开图-最短路径问题正确找到最短路径是解题关键． 14.【答案】3  【解析】解：当时， ， 故答案为： 将原式变形后代入数值计算即可． 本题考查二次根式的化简求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 15.【答案】121  【解析】解：在中，，， 由勾股定理得：， 正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和， 故答案为： 由勾股定理得，再由正方形的面积公式即可得出结论． 本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16.【答案】1  【解析】解：解关于x，y的方程组，得， 此方程组的解满足方程， ， 解得， 故答案为： 先求出方程组的解，再代入方程中即可求出k的值． 本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键． 17.【答案】143  【解析】解：设正方形a的边长为x，则正方形b的边长为x，正方形c的边长为，正方形d的边长为，正方形e的边长为， 根据题意得：， 解得：， ， 这个矩形色块图的面积是 故答案为： 设正方形a的边长为x，则正方形b的边长为x，正方形c的边长为，正方形d的边长为，正方形e的边长为，根据大长方形的对边相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形ABC， ， 过点A作于点D， ， ， 遮雨棚高度至少为： 故答案为： 由题意可得15只油桶底面如图所示，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高． 本题考查了勾股定理的应用，关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为4个油桶的直径． 19.【答案】        【解析】解：原式 ； 原式 ； 原式 ； 原式 利用二次根式的性质及立方根的定义计算后再算加减即可； 利用二次根式的乘除法则计算后再算减法即可； 利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可； 利用平方差及完全平方公式计算后再算加减即可． 本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20.【答案】    【解析】解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， 方程组的解为； ， ①，得③， ②，得④， ③+④，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 方程组的解为 用代入消元法消去y，求出x的值，再代入求出y的值； 利用加减消元法求解即可． 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． 21.【答案】，长是，宽是  【解析】解：如图： 设长方形的长为x cm，宽为y cm，得： 解方程组得 答：长方形的长是，宽是 第一步：根据“长减少5cm，宽增加2cm后为正方形”列方程，设长方形的长、宽分别为xcm，ycm，因为长方形长减少5cm，宽增加2cm后成为正方形，正方形的长和宽相等，所以有，第二步：根据“面积相等”列方程，长方形面积为xy，正方形面积为，且面积相等，所以有，求出未知数即可． 通过设长方形的长和宽为未知数，根据“长减少5cm，宽增加2cm后为正方形”及“面积相等”列方程组求解． 22.【答案】；理由如下： ，，， ， ，   小亮的路线更短  【解析】解：，理由如下： ，，， ， ， ； 点D在点C的正北方，点A在B的正南方，， ， ，， ， 路线的长为：， 路线的长为：， ， 小亮的路线更短． 根据，，可得，进而可得； 根据可得，根据勾股定理计算BD的长，然后比较即可． 本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算． 23.【答案】①证明：， ， 又，， ≌， ；②  点O到BC的距离为  【解析】①证明：， ， 又，， ≌， ； ②解：≌， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ； 解：过点C作，交AO的延长线于点E， 由知≌， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， 设点O到BC的距离为h， ， ， ， 即点O到BC的距离为 ①证明≌，得出； ②由全等三角形的性质得出，，证出，设，则，由勾股定理得出，解方程可得出答案； 过点C作，交AO的延长线于点E，求出，由勾股定理得出，，由面积法可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 24.【答案】    ， 理由如下： ，， 而，   【解析】解：， ， 故答案为：，； 原式 ； ， 理由如下： ，， 而， 把分子分母分别乘以，，然后利用平方差公式计算； 先分母有理化，然后合并即可； 利用中的方法得到，，然后比较和的大小即可． 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25.【答案】，  作，在BM上截取，以C为圆心，b为半径作弧交射线BN于A和，连接AC，，如图： ，都是满足条件的三角形  的长度为或  【解析】解：，， ， ； ，； 作，在BM上截取，以C为圆心，b为半径作弧交射线BN于A和，连接AC，，如图： ，都是满足条件的三角形； 过C作直线AB于H，如上图： ，， ， ， ， ， ； 同理可得； 的长度为或 求出，再由勾股定理可得； 作，在BM上截取，以C为圆心，b为半径作弧交射线BN于A和，连接AC，，，都是满足条件的三角形； 过C作直线AB于H，求出，，，故；同理可得 本题考查作图-复杂作图，解题的关键是分类讨论思想的应用． 26.【答案】证明：四边形ABCD为矩形， ， 是边AD中点， ， 将沿着直线BP翻折得到， ，， ，， 在和中， ， ≌    的面积  【解析】证明：四边形ABCD为矩形， ， 是边AD中点， ， 将沿着直线BP翻折得到， ，， ，， 在和中， ， ≌； 解：连接PG，如图， 在和中， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ≌， ，， ， 设，则， ， ， 长度为 解：连接BE，延长交BC的延长线于点F，如图， 四边形ABCD为矩形， ，，， 将沿着直线BP翻折得到， ，，， 为CD中点， ， 在和中， ， ≌， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的面积 利用矩形的性质，折叠的性质和全等三角形的判定定理解答即可； 连接PG，利用全等三角形的判定与性质求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得AD，PF，设，则，利用勾股定理列出方程解答即可； 连接BE，延长交BC的延长线于点F，利用全等三角形的判定与性质，矩形的性质得到，，设，则，利用勾股定理求得CF，BC，BF，利用直角三角形的面积公式求得的面积，再利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论． 本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段的中点的性质，熟练利用勾股定理列出方程是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $