内蒙古自治区兴安盟科尔沁右翼前旗科尔沁右翼前旗兴安北京中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年内蒙古兴安盟科右前旗北京中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.下列四个图案中，不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，那么此三角形的周长是(    ) A. 12cm B. 15cm C. 18cm D. 12cm或15cm 3.如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是(    ) A. SAS B. SSS C. AAS D. ASA 5.如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点已知，，则的面积为(    ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6.如图，CE是的角平分线，过点E作，分别交AC及的外角的平分线于点M，若，则EF的长为(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7.如图，在中，D为内一点，CD平分，，垂足为D，交AC于点E，若，，则BD的长为(    ) A. 1 B. C. 2 D. 8.如图，在中，，点D为线段BC上一动点不与点B，C重合，连接AD，作，DE交线段AC于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为BC中点；④当为等腰三角形时，其中正确的有(    ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出米，则AB的长是        米. 10.如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为        11.如图，中，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，直线DE分别交AC，BC于点F，若，则      . 12.如图，，，，且，点P从点B向点A以的速度运动，点Q从点B向点D以的速度运动，点P，Q同时出发，运动      s后，与全等. 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题8分 如图，三个顶点的坐标分别为，， 在图中作出关于y轴对称的 写出点的坐标直接写答案：______. 的面积为______直接写答案 在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标______. 14.本小题10分 如图，已知≌ 求证： 连接CE，若，，求CE的长. 15.本小题10分 如图，在中，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，且，的周长等于 求BC的长； 若，，求的度数. 16.本小题10分 小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM为1m，已知，于点D，于点 求证：≌； 为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度OM设置是否合理？为什么？ 17.本小题12分 已知，C为射线AD上一点，， 证明：CP平分； 若AP与BC交M，，证明： 18.本小题14分 如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒. ______用t的代数式表示； 当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 当点Q在边BC上运动时，若的面积为S，请你写出用t来表示S的式子，并表示出t的取值范围； 当点Q在边CA上运动时，出发______秒后，是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选： 根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 本题主要考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：当等腰三角形的另一边为6cm时，，符合三角形的三边关系，此三角形的周长； 当等腰三角形的另一边为3cm时，，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在． 故选： 先根据三角形的三边关系判断出等腰三角形另一边的长，再根据周长公式即可得出结论． 本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解． 3.【答案】D  【解析】解：如图， ，已知， 两直线平行，内错角相等， ， ， 那么的度数为 故选： 根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求 本题考查平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：由作法易得，，， 在和中， ， ≌， ， 故选： 利用全等三角形的判定方法判断即可． 此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：如图所示，过点E作， 由题意可知：AE平分，，， ，， ， ， 故选： 根据角平分线的尺规作图可得AE平分作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：是的角平分线，CF是的外角的平分线， ，， ， ，两直线平行，内错角相等， ，， ， ，， ， 故选： 利用平行线的性质及角平分线的概念，得出，，则，即可得出结论． 本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：平分， ， ， ， ， ≌， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选： 根据CD平分，，证出≌，得到，即可． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：， ， ，， ，所以结论①正确； 若， 由①得，， ≌， ，所以结论②正确； 若，则可得， ， 为BC中点，所以结论③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，所以结论④不正确， 综上所述，正确的结论为①②③，所以只有选项A正确，符合题意， 故选： 通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明≌，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为BC中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 9.【答案】30  【解析】解：，， ， 在和中， ， ≌， 米， 故答案为： 根据ASA证明≌，即可推出米． 本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 10.【答案】30  【解析】解：平分， ， ， 平分， ， 故答案为： 先根据角平分线定义得出，求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：连接 AG， ，， ， 由作图可知，DE是AC的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得 ， ， 故答案为： 先根据等腰三角形性质求出底角，再由作图得出线段垂直平分线，连接相关线段，利用角度关系和直角三角形性质求解． 本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 12.【答案】6  【解析】解：于A，于B， ， 设运动x秒钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ，， ， ≌； ②若，则， 解得， ， 此时与不全等； 综上所述：运动6秒钟后与全等； 故答案为： 设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，≌；②若，则，得出，，即可得出结果． 本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论． 13.【答案】如图，即为所求；        【解析】解：如图，即为所求； 故答案为：； 的面积 故答案为：； 如图，点P即为所求， 故答案为： 利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； 根据点的位置写出坐标； 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接BP，点P即为所求． 本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 14.【答案】≌， ， ，   如图， ≌， ， ， 是等边三角形，   【解析】证明：≌， ， ， ； 解：如图， ≌， ， ， 是等边三角形， 根据全等三角形的性质及等式的性质求证即可； 根据全等三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 此题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的性质定理、等边三角形的判定与性质定理是解题的关键． 15.【答案】解：的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D， ， 的周长等于25cm， ， ，即， 又， ； ，， ， 的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D， ， ，   【解析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式推出，再由，可得； 先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，则 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，熟悉线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16.【答案】根据题意得， 于点D，于点E， 垂直的定义， ，， ， 在和中， ， ≌  合理， 点B到OA距离为，于点D，， 由得≌， 全等三角形对应边相等， ， ， ， 小丽所在公园的秋千高度设置合理  【解析】证明：根据题意得， 于点D，于点E， 垂直的定义， ，， ， 在和中， ， ≌； 解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：点B到OA距离为，于点D，， 由得≌， 全等三角形对应边相等， ， ， ， 小丽所在公园的秋千高度设置合理． 由同角的余角相等得到，根据AAS即可证明≌； 由≌得到，进而可得，即可得到答案． 此题考查了全等三角形的判定和性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 17.【答案】过点P作于点F，于点E， 在和中， ， ≌， ，， 平分；   在CD上截取，连接 由  得CP平分， 在和中， ， ≌， ， ，， 在和中， ， ≌，   【解析】证明：过点P作于点F，于点E， 在和中， ， ≌， ，， 平分； 在CD上截取，连接 由得CP平分， 在和中， ， ≌， ， ，， 在和中， ， ≌， 过点P作于点F，于点E，证明≌推出，利用角平分线的判定定理即可证明CP平分； 在CD上截取，连接证明≌推出，再证明≌，即可证明 本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 18.【答案】      11或12  【解析】解：点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒，  cm， ， ， 故答案为：； 点Q从点B开始沿方向运动，速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒，当点Q在边BC上运动， ， 为等腰三角形时，， ， 解得：， 出发秒后，能形成等腰三角形； 当点Q在边BC上运动时，用时秒， ； ①当是以BC为底边的等腰三角形时：，如图1， 则， ， ， ， ， ， ， 秒； ②当是以BQ为底边的等腰三角形时：，如图2， 则， 秒； 综上所述：t为11秒或12秒． 故答案为：11或 根据题意即可用t可分别表示出BP； 结合，根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； 根据写出关系式，当点Q在边BC上运动时，用时秒，据此写出t的取值范围； 用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 本题属于三角形综合题，主要考查等腰三角形的判定与性质，两变量之间的关系式，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $