河南省漯河市第四高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025一2026学年漯河市第四高级中学高二期中考试 高二数学诚试卷 本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.试题范围：选择性必修第一册 2.本试卷共4页四大题19小题，满分150分，考试时间120分钟。 3.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用黑色字迹的签字笔分别填写在答题卡和试卷指定的位置上 4.答卷时，须按照试卷上“考生须知”的要求，在答题卡上规定的位置上规范作答，在本试卷上作答一律无效。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共4如分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.直线2x-y+2=0在x轴上的截距是 () A.±1 B.1 C.-1 D.2 2抛物线云=方的准线方程为 Ag=吉 B-司 C.y- D.x=-1 8 3.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),=(2,-4,2),且d⊥，b∥c,则la+= A.1 B.2 C.3 D.4 4.“圆(x-a)2+y2=9截直c-y+1=0所得弦长为2”是“a=3”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+2-8y+7=0公切线的条数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 6.在平行六面体ABCD-ABCD中，AC1与BD,的交点为M,设AB=a,AD=6,AA=d,则MC=() A3d+25-c B.3à-26-d c-a-5- D-2a+25-c 7.己知乃，乃是椭圆的两个焦点，满足MF·M丽=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是() A(05) B(3 Co.竖 n(竖) 8.已知点A(-2,0),B(2,0),直线l:3x-4y-m=0,若直线l上存在点P,使得|PA=2PB,则实数m的 取值范围是 ,() A[99] B[-9,0 c[g9] n[o.9] 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知点M(1,4)到直线l:mc+y-1=0的距离为3，则实数m等于 A.0 B.2 C.3 D是 10.己知曲线C:+少=1，则下列正确的有 m n A.若m=1,n=-1,则曲线C的离心率为√2 高二数学期中试题 B.若mm<0,则C为双曲线，其渐近线方程为y=±V-朵x C.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上 D.若m=n>0,则C是圆，其半径为√m 11.设抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,直线l交C于A,B两点(A,B在不同的象限)，交y轴于点D,且 AD=4BD,A=号，Bm-,过A作C的准线的垂线AC,垂足为瓜，设点-，0).则下列说法正确的 是 () A.抛物线C的方程为y=4x B.AE-BF到=3 C.直线l的方程为√2x±y-2W2=0 D.直线AE与直线AF关于直线AH对称 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.直线y=x-1关于y轴对称的直线的方程为 13.已知平面a的一个法向量为元=(1,1，t),t∈R,点P(-2,0,0),Q(0,0,-2)均在平面&丙.则点 A(-1,-1,2)到平面a的距离为 14设月，B分别为双菌线C:器-是-1a>0,b>0)的左、右焦点点P在C的右支上，直线P5与C的右支 的另一个交点为Q,若PR=|PQ,cos∠RPB=子，则双曲线的离心率为一 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知直线l经过P(1,0),Q(5,-3)两点. (1)求直线l的方程： (2)设直线2：(a-1)x+(a+1)y+3=0,若l⊥2，求实数a的值. 16.(15分)已知圆M:x2-4c+y-4划+m=0. (1)求m的取值范围. (2)已知直线l:x+y-2=0与圆M交于A,B两点，且AD=2W2. ①求m;②求过点(4，-2)的圆M的切线方程. 高二数学期中试题 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，己知点(-√3,0)，（√3,0），M-M四=2W2,点M的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)己知侧斜角为平的直线经过点B,且1与曲线C交于A,B两点，求△AB的面积. 1S17分)在四楼维P-ABCD中，PDL平面ABOD,AB∥DC,AB⊥AD,CD=AD=号AB=1,∠PAD =5°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD. P (1)求证：DH平面PBC: (2)求平面PGC与平面PBC夹角的余弦值： 3)在线段PA上是否存在点H,使得GH与平面PGC所成角的正弦值是 2,若 存在，求出AH的长，若不存在，请说明理由 G 高二数学期中试题 97分)脑圆卫若十1Q≥b>0的左、有焦点分别为耳，，离心率为子，点M,W为椭圆E上的 两个不同的动点，线段M的最小值为2√2-1。 （1)求椭圆E的标准方程： (2)设直线M的斜率为，直线N的斜率为.若M,N在x轴上方，且k1+k2=0,求证：直线MN过定 点 高二数学期中试题 试卷详细解析 1.C 【解析】令y=0,则x=-1,所以直线2c-y+2=0在x轴上的截距是-1. 2.B 【解析】由题可知，=2x,焦点在x轴正半轴，所以2p=2,p=1.所以准线方程为x=- 2 3.C 【解析】因为d⊥c,所以2x-4+2=0,所以x=1,所以d=(1,1,1) 因为60E,所以号=号=号，所以g=-2所以6=1,2，山 所以a+6=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),1a+6=√22+(-1)2+22=3，故选C 4.B 【解析】设圆心(a,0)到直线c-y+1=0的距离为d,由圆(x-a2+y2=9截直x-y+1=0所得弦长为2， 可得d=√2-（兮严=v01=22,即lb+1=2W2,解得a=-5或a=3, √1+1 由小推大及充分必要条件的定义可知，B正确. 5.D 【解析】圆C:x2+y2=1,圆心(0,0)，半径m1=1 圆C2:x2+y2-8y+7=0即x2+（y-4)2=9,圆心(0,4)，半径r2=3 1CC2引=4=m十r2,所以两圆相外切，所以公切线条数为3. 6.A 【解析】MC=MA+AA+AC =-(34D+2AE-AA+(4D+A可 D =2A0-6-AA+A0+ =方西+而-风 2 =号+26-c,故途A 7.C 【解析】不妨设椭圆焦点在x轴上，(-c,0),(c,0),设M(o,o), 因为M·M=0,所以(-c-,-0·(c-,-6=0,即+=c2,即点M在圆2+y2=c2上. 由M在椭国内部，所以6>e,即c2<b=a2-e,即2c2<c,即e<号所以0<e<受，选C 8.A 【解析】设P点坐标为(co,yo),则3co-40-m=0, 因为PA=2PB,所以(+2P+6=4,-2P+呢1,3x2-20e+4+12=0,即(e-9P+=(停尸 所以点M在以(9,0)为圆心，令为半径的圆上. 3 有题意可知，直线与圆必有交点，则 3×号m≤8解得四≤m≤0敌选 √32+42 3 3 9.AD 【解析】由点到直线间的距离公式可知：m+-1=3,解之得m=0或m=3.故选AD √m2+1 4 10.ABD 【解析】对A:若m=1,n=-1,C为等轴双曲线：x2-y=1,e=√2，正确： 高二数学期中试题 对B:mn<0.则C为双曲线：①m>0,兰-兰=1，a=m,b=√一n,渐近线为y=±√厂开：@m< m-n 0,号-=1，a=m,b=-m,渐近线为y=士√厂开x,综上浙近线方程为y-±√六，B正确。 -m 对C:若m>m>0,且m≠n时，则C是椭圆：+兰=1，所以C错误； m n 对D:若m=n>0,则C是圆：x2+y=m,其半径为√m,故D正确： 故选ABD 11.BCD 【解析】如图，因为AD=4BD,所以BD=BN=1 ADAM4 图为A加AEg助E号所以N_解得p AM 号-号 G 所以y=2c,A错误； D AE-Bn=A-BP=号-多=3，B正确； 若A在第一象限，由以+号=号，得=4，所以At,22,同理1，V2,ka-22②-V2, 4-1 所以直线l的方程为y+√2=√2(x-1);同理若A在第四象限直线l的方程为y+√2=-√2(x-1) 所以直线l的方程为√2x±y-2W2=0,C正确：H(-4,0) 由对称性不妨使A在第一象限，由上可知A4,22),®(-号22)，F号，0，H〔-4,0， 所以kM=2万-0=巨，k=25-0=-2xN2,kA·k6=-,所以AH与EF垂直， 4-(-4)4 -3- 又因为AF=AE,AH垂直平分EF,所以AE与AF关于直线AH对称，D正确 12.y=-c-1 《解析由对称的性质，将代入y=-1,=一-1即可得所求直线的方程为y=一1了 13.23 3 【解析】P☑=(1，-1,2)，QA=(-1,-1,4),元=(1,1，t) 由愿可设点A到平面a的距离为h=P可元=Q元，即1-1+2光=比-2，故t=1 h=PA:元=1-1+2=2w5 1+1+13 14.V33 3 【解析】由双曲线的定义PFl-|PF=2a,|P=PQ|=PF+|Ql,所以|Ql=|P-Pl=2a 所以|FQ=FQ+2a=4a,设PF=x,则|Pl=2a+x, 在△PrQ中，由余弦定理得|FQP=|PF+|PQIP-2P·PQlcos∠FP,即 (aP=2a+xP+(2a+aP-22a+小-(2a+a)×名整理得=a 所以|Pl=6a,|PF=4a 在△PF中，|F=|P+|PF-2PF|PEcos∠FP 即(2gP-oa+2-2x6axa×合，即c2=号a2,所以e=厘 3 15.(13x+4g-3=0:(2)-7 【解析】(1)：直线经过P(1,0、Q5,-3)两点，=30=-3 5-14 高二数学期中试题 ·直线1：g=3(x-1),即：3x十4y-3=0, 4 (2)由1⊥2，直线l2:(a-1)x+(a+1)y+3=0,1:3c+4划-3=0， 得3(a-1)+4a+1)=0,解得a= 即实数a的值为一号 16.(1)(-∞，8)(2)①m=4:②x=4或3x+4划-4=0， 【解析】(1)（方法一）：由题意得M:(x-2)2+(y-2)2=8-m,则8-m>0,得m<8, 所以m的取值范围为(-∞，8). (方法二)：由D2+E2-4F=（-4)2+(-4)2-4m>0, 得m<8,所以m的取值范围为(-o,8 (2)①由题意得M(2,2)到l的距离d= 2+2-2=2, W12+12 则圆M的半径为√dP+(侵AB=2=√8-m,得m=4 ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为x=4. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为y=k(x一4)-2，即kx一y一一2=0， 由2k-2北2=2，得k=-子， 2+12 所以所求的切线方程为y=星e十1，即3十4g-4=0, 综上，过点(4.-2)的圆M的切线方程为x=4或3x+4y-4=0, 17.(1)号-y=1e≥2：(245. 【解析】(1)由题意可知：2a=2W2→a=√2，c=√3，得b=1, 所以点M的轨迹即C的方程为以点(-√5,0)，（√3,0）为焦点， 实轴为2万，虚轴为2的双曲线的右支，即号-y=1(e≥2) (2)由(1)知：(-√5,0).F(√3,0)，即直线AB的方程为y=x-5 y=x-√5 设A@W:B0:联立号-=得-5+8=0， 2 满足△>0且m+x2=4W3,c2=8, 由弦长公式得：AB=√1+12·m-x2=√2×√(4W3-4×8=√2×4=4W2, 点R-v3,0)到直线AB:-y-5=0的距离d=上5+0-6. √2 所以，SaAB=2ABd=号×4V2×6=4W5 18.()证明见解析；2)平面PGC与平面PBC夹角的余弦值为；3)存在，AH=Y只 3 10 【解析】(1)证明：取PB的中点M,因为E,M分别为PA,PB的中点， 所以EM∥AB且M=号AB, 又因为CD∥AB且CD=号AB 所以EM∥CD且EM=CD,四边形CDEM为平行四边形。 所以DE∥CM,而CMC平面PBC,DE丈平面PBC, 所以DE∥平面PBC. (2)因为PD⊥平面ABCD,DAC平面ABCD,所以PD⊥DA, 因为∠PAD=45°，所以PD=DA,又DA=1, 又因为AB⊥AD,AB∥DC,所以DC⊥AD, 高二数学期中试题 如图，以D为原点，DA,DC,DP所在方向分别为x,y,z轴正方向， 建立空间直角坐标系D-xy2, 则A1.00,B1,2.0.C01.0,P0.01号0. 所以PC=(0,1,-1),CB=(1,1,0),AP=(-1,0,1). 设点G坐标为(1，t,0),则CG=(1,t-1,0),DB=(1,2,0), 由cG1BD得C元.D丽=1+2t-1=0,则t=3,所以G(1,号，0)，C元= (1,-20 元PC=y-z=0 设平面PGC的一个法向量为元=(c,y,z),由 令x=1,得元=(1,2,2)： 元CG=x-2y=0 设平面PBC的一个法向量为元=(a,b,c),由 元PC=b-c=0,令6=1，得m=(-1,11 i·C=a+b=0 所以cos元成)m=3=故平面PGC与平面PBC夹角的余弦值为写 3W3 ③)存在，AH=将理由知下 设A丽==(-，0，)，Ae[0,1,所以G丽=G函+A丽-(-1，-3，所以nG丽=A-1, 所以cos(G五，》=，21-2 3√(8M+1) 因为GH与平面PGC所成角的正弦值为，所以- 3w82+1 3 整理得20+s1-1-0,解得1-0,1=号（合 所以存在满足条件的点，A面-（品0，》则AH=V了+（合-得 10①发+7=1：2)见解析。 1 【解折10由题意名-2，即a=2e,线段M加，的最小值为a-c=2w万-1 所以a=2W√2，c=1. 又2=+c之，则少=7，枚椭圆的标准方程为号+号-1： (2)设直线MN方程为：y=kac+m,M(c2,h),N(c2,2), 由7x2+sy=56得：(（7+8e)x2+16km+8m2-56=0. ly=ka+m 7+82,m1=8m2-56 △=(16kmY-4(7+8X2)(8m2-56)>0,m+2=-16kem 7+8k2 因为点+与=0，所以车十车-0，即)+验气)-0 所以(kam1+m)(c2+1)+(k2+m)(x+1)=0,整理2kcc2+(k+m)(1+c)+2m=0, 代入韦达定理张×g+k+m9)+2加=0，化简得m= 7+8k2 所以直线AD方程为：y=kx+8k,恒过定点(-8,0). 经检验△>0符合题意. 高二数学期中试题