精品解析：云南省昭通一中教研联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（B卷）

昭通一中教研联盟2025年秋季学期 高二年级期中考试数学（B卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 2. 已知集合，那么集合等于（　　） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 4. 已知直线与，则与之间的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知圆锥的母线长为4，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（　　） A. B. C. D. 6. 在中，已知，则（　　） A. B. C. 2 D. 7. 已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（　　） A. B. 直线与平面平行 C. 点和到下底面的距离相等 D. 直线 9. 下列命题正确的是（　　） A. 的最小值为6 B. 数据1，3，5，7，9，11，13，15的第75百分位数为12 C. 函数在定义域上单调递增的充要条件是：，当时， D. 若单位向量满足，则与的夹角为 10. 已知是双曲线的右焦点，为的左顶点，为右支上一点，则（　　） A. 点到的渐近线的距离为2 B. 的最小值是 C. 当轴时， D. 若为圆上一点，则的最大值为3 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知向量，若，则___________． 12. 若，且与相互独立，则___________． 13. 若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是___________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这200名学生立定跳远距离在内的人数； （3）估计该校每个学生立定跳远的平均距离（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 15. 已知圆的方程为，直线经过圆的圆心，且倾斜角． （1）求直线的方程； （2）过点的直线与垂直，且直线与圆交于两点，求弦的长． 16. 已知函数，且的图象向右平移个单位得到的图象． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值． 17. 已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 18. 如图，正方体的棱长为分别为的中点，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2025年秋季学期 高二年级期中考试数学（B卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和复数的模长的算法即可得出答案. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D． 2. 已知集合，那么集合等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交集的概念运算. 【详解】因为，所以， 故选：C． 3. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理和函数单调性即可判断. 【详解】由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为， 所以函数的零点所在区间为， 故选：A． 4. 已知直线与，则与之间的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，再利用两平行线间距离公式进行求解. 【详解】因为，所以直线， 设两条平行线间的距离为d， . 故选：D． 5. 已知圆锥的母线长为4，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，进而求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥的高为h，底面半径为r，又母线长为， 而母线与底面所成的角是30°，则，， 所以体积为. 故选：C 6. 在中，已知，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，由正弦定理求出答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，，则. 故选：A． 7. 已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性和一次函数的单调性结合分段函数的单调性列不等式组可得. 【详解】若在R上单调递增，需满足，解得； 若在R上单调递减，需满足，无解， 综上，a的取值范围是. 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（　　） A. B. 直线与平面平行 C. 点和到下底面的距离相等 D. 直线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用六棱柱的性质特征以及正六边形的性质，对选项逐一分析即可得出结论. 【详解】据棱柱的定义可知，故A正确； 由于为正六边形，则直线与相交，所以直线与平面不平行，故B错误； 由于棱柱的上下两个底面互相平行，点和都在上底面，故点和到下底面的距离相等，C正确； 由于，而直线与不垂直，所以D错误， 故选：AC． 9. 下列命题正确的是（　　） A. 的最小值为6 B. 数据1，3，5，7，9，11，13，15的第75百分位数为12 C. 函数在定义域上单调递增的充要条件是：，当时， D. 若单位向量满足，则与的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时可判断A；由百分位数的计算可得到B；利用单调性的定义证明可判断C；由数量积的运算律结合夹角的计算可判断D. 【详解】对于A，当不成立，A错误； 对于B，由，得数据1，3，5，7，9，11，13，15的第75百分位数是，B正确； 对于C，充分性：不妨设，则， 因为，所以，所以在R上单调递增． 必要性：，不妨设，则， 因为在R上单调递增，所以， 所以，所以，C正确； 对于D，由单位向量满足，两边平方得，解得， 又，则，D正确. 故选：BCD． 10. 已知是双曲线的右焦点，为的左顶点，为右支上一点，则（　　） A. 点到的渐近线的距离为2 B. 的最小值是 C. 当轴时， D. 若为圆上一点，则的最大值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由焦点坐标，确定双曲线方程，结合双曲线的定义和性质逐项判断即可. 【详解】设双曲线的半焦距为c，因为为双曲线的右焦点，则， 所以，则双曲线C的方程为， 所以双曲线C的渐近线方程为和， 对于A，点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以点F到C的渐近线的距离为2，A正确； 设，因为P为右支上一点，所以满足， 对于B，， 当，，B正确； 对于C，当轴时，则，所以， 又点A的坐标为， 所以，C错误； 对于D，圆的圆心E的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点，所以， 则， 当M为线段PE的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为3，D正确， 故选：ABD． 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知向量，若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】因为且， 所以， 解得． 故答案为：1． 12. 若，且与相互独立，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据即可得到答案. 【详解】因为， 且A与B相互独立，所以． 故答案为：. 13. 若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或， 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这200名学生立定跳远距离在内的人数； （3）估计该校每个学生立定跳远的平均距离（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 【答案】（1）； （2）50人； （3）218cm. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图求出的频率进而求人数即可； （3）利用频率分布直方图平均值公式求解. 【小问1详解】 由图可知，，解得. 【小问2详解】 立定跳远距离在内的人数为， 所以这200名学生立定跳远距离在内的人数为50人． 【小问3详解】 该校每个学生立定跳远的平均距离 ， 即该校每个学生立定跳远的平均距离为218 cm． 15. 已知圆的方程为，直线经过圆的圆心，且倾斜角． （1）求直线的方程； （2）过点的直线与垂直，且直线与圆交于两点，求弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆化为标准方程得出圆心坐标，再利用点斜式求方程； （2）求出直线的方程，再利用几何法求弦长. 【小问1详解】 由题意得，圆C的标准方程为，所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为， 即； 【小问2详解】 直线的斜率为，则直线的斜率为， 因为直线过点，所以直线m的方程为，即， 圆心到直线m的距离为， 所以弦AB的长为． 16. 已知函数，且的图象向右平移个单位得到的图象． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值． 【答案】（1）最小正周期，对称中心为，． （2）最大值为，． 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、倍角公式、辅助角公式可得，再根据正弦函数的周期及对称中心公式求解即可； （2）根据三角函数的平移可得，再结合三角函数求值域的方法求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得，， 所以的最小正周期，对称中心为，． 【小问2详解】 因为的图象向右平移个单位得到的图象， ， 所以， ， 当，即时，，取得最大值， 所以在区间上的最大值为，此时． 17. 已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量相等的坐标表示可构造方程组求得结果. 【小问1详解】 由题意知：，解得：，椭圆方程为. 【小问2详解】 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由得：， ，， ，，且， ，即，，解得：. 18. 如图，正方体的棱长为分别为的中点，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：法一：在正方形中，连接FG， 由条件易知，故有，因此， 故， 故，即， 在正方体中，易知，且， 所以， 又，∴， ∵，， ，． 法二：如图，以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， ∵． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）法一通过证明平面来证明；法二进行了建系，运用空间向量法进行证明； （2）运用空间向量法，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式，最后运用同角三角函数关系进行转换即可得解； （3）求即求，先求出，再利用点到平面的距离公式，即可求出点到平面的距离，最后运用三棱锥体积公式，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以，设是平面的一个法向量， 则，则，取，则， 所以， ∴， 设平面BEG的一个法向量为，所以， 取，则，即. 设平面与平面的夹角为， 则， ∴. 【小问3详解】 由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $