2.4.1直线与圆锥曲线的交点（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的交点问题，系统讲解位置关系判断及坐标求解。通过回顾直线与圆的位置关系，类比迁移至椭圆、双曲线、抛物线，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于类比探究与典例分析结合，以数学思维引导逻辑推理，用表格梳理三种曲线位置关系培养数学语言表达。如椭圆判别式应用、双曲线分类讨论实例，助学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学流程。

第二章 圆锥曲线 北师大版2019·选择性必修第一册 4 直线与圆锥曲线 的位置关系 4.1 直线与圆锥曲线的交点 学 习 目 标 2 3 会求直线与圆锥曲线的交点坐标. 会由直线与圆锥曲线的交点个数，求参数的范围. 感悟数形结合思想在解决圆锥曲线综合问题中的重要作用. 1 读教材 阅读课本P76-P78，6分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线与圆锥曲线的交点 ”吧！ 1.直线与椭圆有什么位置关系？ 2.直线与双曲线有什么位置关系？ 3.直线与抛物线有什么位置关系？ 新课引入 前面已经学习了直线以及圆、椭圆、双曲线和抛物线等一系列特殊曲线，通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系. 直线与圆锥曲线的交点个数与两者对应方程的公共解的个数是相同的. 如何判断直线与圆的位置关系? ①几何法 ②代数法 4 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与椭圆的位置关系 3 题型训练 2 直线与双曲线、抛物线的位置关系 新知探究 知识点一、直线与椭圆的位置关系 探究一：类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆存在怎样的位置关系呢？ ①联立直线与椭圆方程： ②消去y得一个关于x的一元二次方程： (b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0 新知探究 知识点一、直线与椭圆的位置关系 探究一：类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆存在怎样的位置关系呢？ ②消去y得一个关于x的一元二次方程： (b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0 Δ的取值 解的个数 位置关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 两解 一解 相切 相离 相交 无解 典例分析 例1： 解： 已知椭圆C: ，若直线l:x-y+m=0与椭圆C有唯一的公共点，求实数m的值？ 如图，由直线l的方程特征可知，随着m的变化，直线l平行移动，若与椭圆C有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程应有唯一的公共解． 联立直线与椭圆的方程，得 化简可得 ① ② 将②代入①，并整理，得： 3x2+4mx+2m2-2=0 ③ 典例分析 例2：如图，求直线与椭圆 的交点坐标. 直线l与椭圆C的交点坐标是方程组 的解 方程组可化为： 将①代入②，得： x2+3(-x+1)2=3 化简，得： 2x2-3x=0 解得： x1=0，x2= 解： 9 代入②，得方程组的解为： ∴直线l与椭圆C的交点坐标为(0,1), 典例分析 例2：如图，求直线与椭圆 的交点坐标. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与椭圆的位置关系 3 题型训练 2 直线与双曲线、抛物线的位置关系 新知探究 知识点一、直线与双曲线的位置关系 探究二：类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线存在怎样的 位置关系呢？ ①把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为： ax2+bx+c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. ② (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点. 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点. 新知探究 知识点一、直线与双曲线的位置关系 探究三：直线与抛物线存在怎样的位置关系呢？ ①设直线l：y＝kx+m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2＝0. ② (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 典例分析 例1： 讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数. 联立方程组 消去y，整理得(1-k2)-2kx-2=0 解： (1)当k=1时，x=-1． (2)当k=-1时，x=1． (3)当k≠±1时，Δ=4k2+8(1-k2)=8-8k2． 若Δ>0，则 ；若Δ=0，则k=± ； 若Δ<0，则 或 ． 典例分析 例1： 讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数. 综上，当 或 时，直线l与双曲线C没有公共点； 当k=± 时，直线l与双曲线C相切于一点； 当k=±1时，直线l与双曲线C相交于一点； 当 或-1<k<1或 时，直线l与 双曲线C有两个公共点．如图. 解： 典例分析 例2： 已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线 C：y=x2有唯一的公共点， 求直线l的方程． 解： ①当k2=0时，直线l的方程为y=1，此时，方程组 有唯一的实数解，符合条件； ②当k2≠0时，方程有唯一的实数解的充要条件是Δ=(2k2-1)2-4k2=0． 解得k= ．此时,方程组有唯一的实数解,符合条件． 综上,满足题意的直线l有三条：x=0,y=1,y= x+1 16 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与椭圆的位置关系 3 题型训练 2 直线与双曲线、抛物线的位置关系 已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型探究 直线与椭圆的位置关系 题型1 例1： 联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得．故选:B． 解： B 题型探究 例1： 直线与双曲线的位置关系 题型2 解： 已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 题型探究 例1： 解： C 已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 直线与双曲线的位置关系 题型2 题型探究 例1： 解： 直线与抛物线的位置关系 题型3 已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. A 一、直线与椭圆的位置关系 课堂小结 二、直线与双曲线的位置关系 三、直线与抛物线的位置关系 Δ的取值 解的个数 位置关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 两解 一解 相切 相离 相交 无解 感谢聆听! $