山西省大同市灵丘豪洋中学2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试题（B卷）

2025~2026学年高三12月质量检测卷 数学(B卷) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，诗将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对 应题目的答套标号涂黑；非选择题清用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答題卡上各題的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数及其应月，一元函数的导数及其应用， 解三角形，三角函数，数列，向量复教，立体几何与空间向量，解析几何。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.设集合A={xx2一2-15<0}，B-{xl0g2x-1>0},则A门B= A.(-3,3) B.(3,5) C.(-3,5) D.(2,5) 2.设(2十i).x一4-yi,其x,y是实数，则|x+yi= A.2 B.22 C.23 D.4 3.已知a=10g.23,b=30.2,c=0.20.3,则 A.a<bc B.bca C.c<u<b D.a<c<b 4.已知曲线C:x21y2=4,从C上任意一点P向y轴作垂线PP',P为垂足，侧PP的中点M 所在曲线的方程为 A心1苦=1 B等+y=] Cr+管=1 n苦+-1 5.已知向量a=(一1,1)，b=(c0sx,sinx),f(x=a·b,则 Af(x)的最大值为1 B.曲线y=f(x)关于直线x一于对称 C.f)在(-军，平)上单调递增 D.f(x)在（一2π，2π）上有5个零点 【高三12月质景检测卷·数学(B卷)第1贞（共4负） 6.设各项为正数的等比数列{aa}中，au=8,则9ag十a1a取最小值时，as等于 A R多 n 7.定义在R上的奇函数∫(x)满足(2十x)=f(一x),当1x2时，f(x)一V2一x,则 ) A.合+区 B1+2 2 C.√2 D.上{√2 &.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=AB,△ABC:是等腰直角三 角形，斜边（长为22，E,F分别是PA,PC的点，∠BEF一90°.则球O的体积为 A28√21 B.1126ax 27 C.2v6元 D.4√2元 27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在正方体ABCD-A1B,CD,中，E,F分别是AB1,BC.的中点，则下列说法确的是 A.EF∥AC B.F⊥AA: C.EF∥平面A,CD D.EF|乎面CDDC 10.巴知山线C:ax2十y2=1,其中a,五是实数，且a,b至少有1个大于0，则 A.曲线C关于x轴对称 B.背ah>0时，曲线C表示椭圆 C当ab<0时，曲线C表示双曲线 D.当a6=0时，曲线C表示两条Ψ行直线 n(…x)-ax0, 11.设a,b∈R,函数f(:x)= 函数g(x)=(x》一b,则下列说法正确 xa+10r20. 的是 Aa>0,b0时，g(x)有2个零点 B.a<一I,>0时，g(x)有1个零点 C.g(x)有3个零点时，a>一1，b0 D.g(2)有4个零点时a<一1,0 【高三12月质量检测卷·.数学(B卷}第2页（共4页）】 三、填空短：本题共3小题，每小题5分，共5分 12.已知a是锐角，且cos（e+年)-号，则cos2a= 13,若函数)=1在x=。处取得极值为，则物=一· 1+x 14.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,雅线为七，过抛物线上一点A作1的垂线，垂足为B. 设C(,0),AF与BC相交于点E.若|AB|=2CF!,且△AB龙的面积为3，P是抛物线上的 一点，则|PC的最小值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 acos B=2c一b. (1)求角A; (2)若a=2√2，△ABC的中线AD=2,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 设数列{a.}的前n项和S.=n2一kn,a5=7.数列{b}是等比数列，b1=a2,b4(a2十as=1. (1)求数列{4.}，{bn}的通项公式： (2)若工，是数列1ab,的前n项和，求满是T>器的最小的正港数的值 【高三12月质量检测卷·数学(B卷}·第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分为 蜘图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平而ABCD,底面ABCD是梯形，PD=AD=AB, CD=2AB,AD⊥AB,ADLCD,点M是棱PC上一点，且BM∥平面PAD (1)求证：BMCD: (2)求平面PBC与平面MBD所成二面角的止弦值. 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)=ax十e一1，a∈R (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线经过点(2,1)，求实数a的值； (2)讨论f(x)的单词性； (3)岩存在正实数t,使得对x∈(0，t),都有f(x)>3x,求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知点P3√函)在双由线C苔-兰-1(a>0,6>0》上，A,B是C的左右顶点，F是C 的右焦点，PB引=PF,且|PB引是整数 (1)求双山线C的方程； (2)设过点F的直线与C的右支交于M,NW两点，直线MA与直线NB交于点D. (ⅰ)证明：点D在定直线土； (iⅱ)若直线MB与直线NA交于点H,求△DFH面积的最小值. 【高三12月质量检测卷·数学(B卷)第4页（共4页）】2025~2026学年高三12月质量检测卷·数学(B卷) 参考答案、提示及评分细则 1.D因为A={xx2-2x-15<0}={x|-3<x<5},B={xlog2x-1>0}={x|x>2},所以A∩B={x2< x<5}.故选D, 2.B由(2十i)x=4-yi得2x=4,x=一y,所以x=2,y=-2,所以|x十yi|=2W2.故选B. 3.Da<0,b>1,0<c<0.2°=1，故a<c<b.故选D. 4A设Pa),M,,则=2，=，因为十=4，所以4r+y=4,所以2+学-1故选A 5.Cf(x)=a·b=-cosx+sinx=√2sin(x-开)，f(x)的最大值为2，f(T)=0,f(x)的图象关于点 （平，0）对称，所以AB错误；当-年<<平时，-受<x牙<0，)在(-牙，)上单调递增，C正确； f)在(-2,2上的零点为一系，一，，牙，共4个，D错误故选C 6.B设公比为g>0)所以9+aa=学+a-+8时≥2√得×8时=48，当且仅当号-8时，即- 3时取等号，此时a,=号=品放选B. 7.Df(x)是奇函数，且f(2十x)=f(-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称，且f(2+x)=f(-x)= -f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),4是f(x)的一个周期，所以f(2)=f(0)=0,又当1≤x<2时， f)=2-,所以f(号)=f(受)=号1)=1，f(受)=f()=-f(合）=-号f(3) -1)=-f=-1,f(经)=f(-)=-号，f(4)=f(0)=0,所以2（台）=0，所以 3r()=f(3)+f1)+f()=1+2.故选n 8.A因为△ABC是等腰直角三角形，斜边为BC,所以AB⊥AC.因为E,F分别是PA,PC的中点，所以EF∥ AC,又∠BEF=90°，所以BE⊥AC,又平面PAB中AB与BE相交，所以AC⊥平面PAB.由△ABC是等腰 直角三角形，斜边BC长为2√2知AB=AC=2,又PA=PB=AB,所以△PAB是边长为2的正三角形，其外 接圆半径为2，△APC与△ABC是两个全等的直角三角形，设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,则 R=(②)'+1=子，所以R=,所以球0的体积为专R=284故选A 27 9.ABC连接AB,AC,则E是A1B的中点，又F是BC1中点，所以EF∥AC,又AC∥AC,AA⊥AC, 所以EF∥AC,EF⊥AA1,AB正确；因为EF过平面A1CD,ACC平面AC1D,所以EF∥平面ACD,C 正确；因为EF与C1D1所成的角等于A1C与CD所成的角，所以EF与C1D不垂直，所以EF与平面 CDD1C1不垂直.故选ABC. 10.ACD显然(x,一y)适合C的方程，A正确；当ab>0,取a=b=1,C表示圆，B错误；当ab<0时，a>0,b< 0,C是焦点在x轴上的双曲线；a<0,b>0,C是焦点在y轴上的双曲线，C正确；当ab=0时，a>0,b=0,C 是与y轴平行的两条直线；a=0,b>0,C是与x轴平行的两条直线，D正确.故选ACD 1 -a,x<0, 11.AB f(z) a>0时，由f(x)<0得x<0或0<x<a+1;由f(x)>0得x>a+1, x2-(a+1)x,x>0. x=0是f(x)的断点，f(x)在(-∞，0)与(0，a十1)上单调递减，在(a十1，+∞)上单调递增.a>0,b>0时， y-f)的图象与直线y-b有2个交点，g()有2个零点，A正确；a≤-1时，由f(x)<0得<<0；由 【高三12月质量检测卷·数学(B卷)参考答案第1页（共4页）】 f(x)>0得x<或x>0,x=0是f)的断点，f()在（日，0）上单调递减，在(-∞，）与(0，十∞）上 单调递增，f(日)=n(-)-1≤-1.a<-1,b>0时，y=f(x)的图象与直线y=b有1个交点，g(x) 有1个零点，B正确：-1<a<0时，由f(x)<0得<x<0或0<x<a+1;由f(x)>0得x<d或x> a十1，f在（日，0）与(0，a十1)上单调递减，在(-o,)与(a+1,+∞)上单调递增.当f()= h(一)-1>0时a>-是，取a,6满足-<a<0,0<Kf(日)时，y=f)的图象与直线y=b有 3个交点，g(x)有3个零点，C错误；Q≤-1时，y=f(x)的图象与直线y=b至多有2个交点，g(x)至多有 2个零点，D错误.故选AB. 12.42 9 如(a+子)-2ms2a-=血(2a+受）-2sin(a+景)ms(a+)-4g 1+z-(1+Inz) 13.1y=x (1+x)2 品亭条：由y一0得加三一1，湿然满足山一1的上只有-个记为测 xoln xo=1,l<x0<2,且0<x<xo时，y>0;x>xo时，y<0,所以函数y在(0，x0)上单调递增，在 (,十)上单调递减，所以x=时y取得极大值6=1出=1牛)血边=n,所以一 1十x0 1十x0 xoln xo=1. 14.3F(号，0)，l:x=-号，AB=2CF=p,由对称性不妨设A(x,y)(y>0),则x+号=AB=力，x= 名，又Y2=2px,所以y=五，由AB=2CF得1AE=2EF,所以E点纵坐标为子，由△ABE的面积为 2(力-专)=3，得力=3，所以抛物线方程为2=6x,C点坐标为(3,0)，设P(红，，则1PC1= √/(x-3)2+y=√(x-3)2+6x=√x2+9,当P点是抛物线的顶点时，PC取最小值3. 15.解：(1)因为2 acos B-=2c-b,所以由正弦定理，得2 sin Acos B=2sinC-sinB.…2分 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以代入，整理，得sinB=2 cos Asin E. …4分 因为sinB≠0，所以cosA=之.又0<A<,所以A=等， …6分 (2)由AD=2(A范+AC)可得，A亦+AC+2A弦.Ad-16,即e+6+b-160. …8分 又由余弦定理，得a2=b十c2-2bcc0sA=b十c2-bc=8②.… 10分 又①②两式可得6c=4,所以△ABC的面积S-号csinA-号×4×-5. …13分 16.解：(1)因为Sn=n2-kn,a5=7,所以由as=S-S4得(25-5k)-(16-4k)=7,所以k=2,…1分 所以S=n2-2n,@1=-1,…2分 n>1时，an=Sn-Sn1=(n2-2n）-(n-2m+1-2m十2)=2n-3,…3分 又n=1时，2n一3=一1=a1,所以{an}的通项公式为an=2n一3；…4分 设{bn}的公比为q, 因为6=as=1,aa+a,)=1,所以s,=日=会=日9-之 6分 所以{}的通项公式为b一2.… 7分 (2)由1)知a6,=导，所以ab的前n项和T,=2号+安十是++23 2m-1 …9分 所以2工。-会++是+…+23， 10分 所1-江=-1+号+层+叶品-23=-3+（号++是+…叶）23 2n 【高三12月质量检测卷·数学(B卷)参考答案第2页（共4页）】 2(1- 3 2n-3=1-2m+1 12分 1- 2 2n 2 所以T,=2-2n+1 21 13分 由T>28得2如1<令6-2，则c-6,-2+-2X2a-<0,所以c1<a, 2n+1 2n+1 2n+1 21 因为G如=器，61-器，4-2品=品，所以c1<64G0,… 14分 足T2的最小的n的值为1. 15分 17.(1)证明：过M作MN∥CD,交PD于点N,在梯形ABCD中，AD⊥AB,AD⊥CD,所以AB∥CD,所以AB ∥MN,连接AN,则平面PAD∩平面ABMN=AN,…1分 因为BM∥平面PAD,BMC平面ABMN,所以AN∥BM,·2分 因为PD⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PD⊥CD,·3分 因为AD⊥CD,AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,所以CD⊥平面 PAD,… …5分 因为ANC平面PAD,所以AN⊥CD,所以BMLCD.·6分 (2)解：如图，以D为原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，之轴建立空 间直角坐标系D-xyz. B 设PD=1,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0),…7分 由(I)知MN∥AB,AN∥BM,所以四边形ABMN是平行四边形，MN=AB=CD,即M,N分别是PC, PD的中点， …8分 所以M(0,1,2),Di=(1,1,0,D成i=(0,1,2）,Pi=(1,1,-1D,BC=(-1,1,0,…10分 设平面MBD的法向量为n=(a,b,c), 因为n…Di=0,n·Di=0,所以Q+b=0,b+2c=0, 取a=-1得n=(-1,1,-2).. 12分 同样可求得平面PBC的一个法向量m=(1,1,2),…… 13分 设平面PBC与平面MBD所成二面角为a, 则|cosa= n·m=2 nm3 14分 故sina=V1-csa- 3· 15分 18.解：(1)因为f(x)=ax十e-1,所以f(x)=a十e，, …1分 f(0)=0,f(0)=a十1，所以曲线y=f(x)在点(0，f0)处的切线为y=(a十1)x,…2分 又切线过点(2,1D,所以2(a十1D=1,所以a=一2 …3分 (2)f(x)的定义域为R,f(x)=a+e, 当a≥0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增；…4分 当a<0时，由f(x)=0,得x=ln(-a);由f(x)>0,得x>ln-a);由f(x)<0,得x<1n-a), 所以f(x)在(-oo,ln(一a)上单调递减，在(ln(-a),十oo)上单调递增.…6分 (3)当a≥0时，f(x)在R上单调递增，由f(0)=0知x∈(0，t)时，f(x)>0,…7分 当a<0时，由(2)知当1n(一a)≤0，即-l≤a<0时，f(x)>0对x∈(0，t)成立，…8分 所以a≥-1时，存在正实数t,使得对Vx∈(0，t),f(x)>0,从而lf(x)1>3x化为(a-3)x+e-1>0; …9分 当ln(a)>0,即a<-1时，由(2)知f(x)在(0，ln-a)上单调递减，Hx∈(0，ln-a),f(x)<0, 【高三12月质量检测卷·数学(B卷)参考答案第3页（共4页）】 lf(x)|>3x化为-ax-e十1>3x即e+(a十3)x-1<0,…10分 ①a≥-1时，令g(x)=(a-3)x十e-1,则g(0)=0,g(x)=(a-3)+e, 当a≥3时，g(x)>0,g(x）在R单调递增，存在正实数t,使得对Vx∈(0，t)g(x>0,…11分 当a<3时，由g'(x)=0得x=ln(3-a),由g(x>0得x>ln(3-a),g'(x)<0得x<ln(3-a),所以 g(x)的单调递增区间为(ln(3一a),十o),单调递减区间为(-oo,ln(3-a),要存在正实数t,使得对 Vx∈(0，t),g(x)>0,则ln(3-a)≤0，所以2≤a<3;……13分 ②当a<-1时，令h(x)=e+(a十3)x-1,h(0)=0,h'(x)=e十a十3，要存在正实数t,使得对Vx∈(0， t),h(x)<0,则存在正实数t,h(x)在(0，t)上单调递减，h'(x)≤0对x∈(0，t)成立，…14分 当a+3≥0时，h'(x)>0,当a+3<0时，由h'(x)≤0得x≤ln(（-3-a),从而ln(-3-a)>0, 所以a-4.…16分 综合①②知，a的取值范围为（一∞，一4）U[2,十∞).…17分 19.(1)解：设C的右顶点B(a,0),右焦点F(c,0),由P(3,15),PB引=|PF|得a十c=6,…1分 又c-a2+∥，是是-1，又PB-a-30+5是整数，且0<a<3,所以d=4,6=12=16, …3分 所以C的方程为号-益-1. 0…4 (2)(i)证明：由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(4,0),由题意可设直线MN的方程为x=my+4,M(x1,y1), N(x2,y2). (x=my+4, 联立方程 若-盖-1.得8d-1Dy+24mw36=0, 则3m2-1≠0，△=(24m)2-4(3m2-1)×36=144(m2+1)>0, 24m 36 …6分 直线MA的方程为(+2)y=y(x十2)，NB的方程为(x2一2)y=2(x-2), 所以二名=h(一2=(m%十2) x+2y2(m+2)2(my+6) =my2+2(y+)-22=36m-48m-2y(3m2-1)=-[12m+2y(3mt-1)】]_- my1y2+62 36m+6y2(3m2-1) 3[12m+22(3m2-1)] 3,…8分 所以2=1一群2即点D坐标为1，竿)》 所以点D在定直线x=1上. 10分 (1懈：因为直线MM与直线NB交于点D(1,牛2) 同样可求得直线MB与直线NA交于点H(1,竿2) 11分 1DH-3%。-32 3y2 18(y1一2） +2x2+2 m+6my2十6 m2y12+6m(y1+2)+36 13分 (1-3)2=(y十2)2-42= 24m -3m2-1） 兰贵- 13m2-1T, m2y1y2+6m(y1+2)+36 36m2 144m 3m2-13m2=1+36= 36 3m2-1' 15分 216m2+1 所以|DH|= 3m2-1 36 =6√m十1≥6，当且仅当m=0时取等号，… 16分 3m2-1 又点F(4,0)到直线x=1的距离为3，所以△DFH面积的最小值为9.…17分 【高三12月质量检测卷·数学(B卷)参考答案第4页（共4页）】