四川省成都七中育才学校学道分校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年四川省成都七中育才学校学道分校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的几何体，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 2.已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为(    ) A. B. C. 1 D. 3 3.已知点，，均在双曲线上，下列说法中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.关于x的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为若点A，B，C都在格点上，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是(    ) A. B. C. D. 7.已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 8.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度单位：设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.若，则______. 10.若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为      . 11.如图，在中，AD是BC边上的高，点E是AC的中点，若，，且，则DC的长是        . 12.酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系.已知某种酶在一定温度范围内，其活性单位：与温度单位：的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在       13.如图，在中，，，，以点B为圆心，BC为半径作弧交AB于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F，则CF长为          . 14.若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为        . 15.如图，平行四边形ABCD中，AF：：3，DF交AC于点E如果，的面积为，那么的面积是=      . 16.关于x的一元二次方程有两个实数根，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为      . 17.如图，，，，，反比例函数的图象与AB交于点，与BC交于点则m的值为        ；P为反比例函数图象上一动点在D，E之间运动，不与D，E重合，过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交BC于点N，连接MN，当面积取得最大值时，点P的坐标是        . 18.射线AB绕点A逆时针旋转，射线BA绕点B顺时针旋转，，，旋转后的两条射线交点为C，如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方向旋转记为“-”，则称为点C关于线段AB的“双角坐标”，如图1，已知，点C关于线段AB的“双角坐标”为，点C关于线段BA的“双角坐标”为        .如图2，直线AB：交x轴、y轴于点A、B，若点D关于线段AB的“双角坐标”为，y轴上一点E关于线段AB的“双角坐标”为，AE与BD交点为F，若与相似，则点F在该平面直角坐标系内的坐标是        . 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算： ； 解方程： 20.本小题8分 某数学小组在数学节对“你最认可的‘在杭州横空出世的新兴事物’”进行调查，随机调查了m人每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种并将调查结果绘制成如下不完整的统计图. 根据图中信息求出______，______； 请你帮助他们将这两个统计图补全； 已知A、B两位同学都选了“deepseek”，C同学选了“人形机器人”，D同学选了“3D仿真游戏”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学选的事物一样的概率. 21.本小题8分 如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：参考数据： 求AC的距离结果保留根号； 观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿DC往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里结果保留小数点后一位？ 22.本小题10分 如图，在菱形ABCD中，连结对角线AC，点E在边AB上，过点E作交AC于点F，连结DE交AC于点 若，，求的度数. 若，，求GF的长. 求证： 23.本小题10分 平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线AB分别交x轴，y轴于点C、点 求直线AB的函数表达式； 点E是反比例函数图象上的一点且位于直线AC下方，的面积为5，求点E的坐标； 在的条件下，如图2，E为第一象限的点，x轴上是否存在一点P使得若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 24.本小题8分 公司购进某种休闲食品，成本价为20元，经过市场调研发现，这种休闲食品在未来40天的销售单价元与时间天之间的函数关系式为：，且它的日销售量与时间天之间的函数关系为： 求第4天公司的单价是______；销售利润______. 哪一天公司的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 25.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点在B的左侧，连接AC，BC， 求抛物线的表达式； 点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接PC、PB，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接PQ，BQ，当的面积取得最大值时，求的最小值； 在中当的面积取得最大值时，连接PA，将抛物线沿射线CB方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线CB相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请写出所有符合条件的点N的坐标. 26.本小题12分 如图1，中，，，D是线段AC上一动点，连接BD，在BD下方作，且 求证：∽； 如图2，连结DE交BC与F，若，求的值； 连结DE交BC与F，若，求CF的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：这个几何体的主视图为： 故选： 根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 2.【答案】A  【解析】解：将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选： 将代入一次函数中，求得，再将代入反比例函数中，求得k的值． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将交点横坐标代入解析式中是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：反比例函数中，， 反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限， 点，在第四象限，点在第二象限． ，， ， ， 故选： 根据反比例函数的增减性解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要利用了反比例函数的增减性，求出点A、B、C所在的象限是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：， 方程有两个不等实根． 故选： 先求出的值，再判断出其符号即可． 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ， 在中， 故选： 过点A作BC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 本题考查解直角三角形，过点A作BC的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：如图，点P即为旋转中心， 故选： 对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 7.【答案】C  【解析】解：由题意得， 抛物线开口向下，， ，故A不合题意； 抛物线与x轴有两个交点， ，故B不合题意； ，， ， ，故C符合题意； 由图象知，当时，，故D不合题意． 故选： 根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断A；根据抛物线与x轴的交点情况可判断B；由对称轴的位置即可判断C；根据时的函数值的符号即可判断 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：根据题意可得， 故选： 将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含x的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为列方程即可． 本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键． 9.【答案】4  【解析】解：设， 则，， 所以 故答案是： 设，利用比例的性质求得a、b的值，然后代入分式并约分即可． 本题考查了比例的性质，解题时需要运用“内项之积等于外项之积”这一性质． 10.【答案】3  【解析】解：若y关于x的函数是反比例函数， 则， 解得， ， ， ， 故答案为： 反比例函数解析式可以写成为常数，，由此得出，，从而求出a的值． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 11.【答案】2  【解析】解：， ， ，， ， 点E是AC的中点， ， ， ， ， 在中，， 故答案为： 根据垂直定义可得，再在中，利用勾股定理可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12.【答案】30  【解析】解：， 当时，y的最大值为1650， 故要使其催化反应最快，则温度应保持在 故答案为： 化二次函数为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：，， ， 由作图得：BE平分， ， ， ， ， ∽， ，即：， 解得：或不合题意，舍去， 故答案为： 根据相似三角形的性质列方程求解． 本题考查了基本作图，掌握基本作图的作法和相似三角形的性质是解题的关键． 14.【答案】11  【解析】解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 原式 ； 故答案为： 根据题意，得到：，，，利用整体代入法，进行求解即可． 本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，代数式求值，熟记以上知识点是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ∽， ， ：：3，， 设，则，， ， ， 故答案为： 根据四边形ABCD是平行四边形，可得，；由易证得∽，已知了对应边AF、CD的比例关系，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比即可． 此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关内容是解题关键． 16.【答案】17  【解析】解：一元二次方程有两个实数根， ，， 解得：，； 分式方程有正整数解， ， ， ， ， 整理得：， 满足条件的a值有：1，6，11， 当时，舍去， 则其和为： 故答案为： 由根的判别式可求得a的取值范围，再结合分式方程的解进行分析即可． 本题主要考查根的判别式，一元二次方程的定义，分式方程的解，解答的关键是得到x与a的关系． 17.【答案】2   【解析】解：，， ，， ， ，， ， 点， 设直线AB的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：，， 直线AB的表达式为：， 反比例函数的图象与AB交于点， ， 解得：， 点， ， 反比例函数的表达式为：， 延长NP交y轴于点H，如图所示： 直线BC与反比例的图象交于点E， 点， 为反比例函数图象上一动点在D，E之间运动，不与D，E重合， 设点，其中， 设直线PM的表达式为：， ， ， 将，点代入， 得：， 解得：， 直线PM的表达式为：， 当时，， 点， 轴，点， 点，点， ，， 面积， ， 当时，S为最大，此时点P的坐标为 故答案为：2； 先求出点，进而得直线AB的表达式为，再将点点代入之中即可得出m的值；延长NP交y轴于点H，先求出点，设点，则，再求出直线PM的表达式为，进而得点，根据轴得点，点，则，，则面积，然后根据得当时，S为最大，由此可得点P的坐标． 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，等腰直角三角形的性质，二次函数的最值，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，等腰直角三角形的性质，根据三角形的面积求出二次函数的表达式，并求出二次函数的最值是解决问题的关键． 18.【答案】   【解析】解：由题已知关于线段AB的“双坐标”为， 则关于线段BA的“双坐标”为； 交x轴、y轴于点A、B， 当时，， ，， 当时，， ，， ， ，， ， 如图，由题意可得：，， ∽， ， ，E，D，B四点共圆， ，， ， ∽， ， ， ，， ， ， ， ， 设直线BF的解析式为：，代入，得， ， 解得， 直线BF的解析式为：， 在线段AO上取点H，使得， 则， ， 设，则，， ， ， 设直线AF的解析式为：，代入，得，  ， 解得， 直线AF的解析式为：， 令， 解得， 故答案为：， 已知关于线段AB的双坐标，关于线BA的双坐标互换即可； 由交x轴、y轴于点A、B，可得点B的坐标为，，点A的坐标为，，，，分别求得直线BF的解析式为：，直线AF的解析式为：，联立方程组即可得出点F的坐标． 本题考查一次函数的图象和性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，解二元一次方程组，四点共圆等知识，属于难题． 19.【答案】    【解析】解：原式 ； \， ， 则或， 所以 根据实数的运算法则进行计算即可； 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法、实数的运算、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 20.【答案】100，35；   补全条形统计图，如图即为所求；    【解析】由图可得，， 选“脑机接口”的人数为：人， 选“人形机器人”的人数为：人， ， 故答案为：100，35； 选“deepseek”的人数为：， 补全条形统计图，如图即为所求； 、B两位同学都选了“deepseek”，C同学选了“人形机器人”，D同学选了“3D仿真游戏”，从四名同学中抽取两名同学，列表如下： - A B C D A - AB AC AD B BA - BC BD C CA CB - CD D DA DB DC - 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的事物一样有2种等可能的结果， 两位同学选的事物一样的概率为： 先利用选“3D仿真游戏”的人数除以其所占的百分比求得总人数m，进而求得，选“脑机接口”的人数和选“人形机器人”的人数，再利用选“人形机器人”的人数除以总人数求解即可； 利用选“deepseek”的人数除以总人数求得其所占的比例，再根据得，，再补全条形统计图即可； 列表格得，总共有12种等可能的结果，其中两位同学选的事物一样的结果有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 本题考查列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，概率公式，理解题意，明确图中的信息是解题的关键． 21.【答案】海里；   海里  【解析】如图所示，过点C作，交AD的延长线于点E， 设， 在中， 海里， 在中， 海里， 海里， ， ， 解得， 海里， 的距离为海里； 设乙行驶的路程为s，则甲行驶的路程为2s，根据题意得， ， 即， 解得海里 乙巡逻艇距离D处海里． 过点C作，交AD的延长线于点E，假设，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； 设乙行驶的路程为s，则甲行驶的路程为2s，根据距离的关系列出方程求解即可． 本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． 22.【答案】解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， 解：， ， 又， ， 由，可得∽， ， 又， ， ， ∽， ， 故 证明：由菱形性质知， 又， ， ， ， ∽， ， 由中知， ，   【解析】由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而 由，可得，又，，由，可得∽，，又， 则，再证明∽，，从而 由菱形性质证明，再证明∽，列出比例式，由中知，故，化为乘积式即 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． 23.【答案】直线AB的函数表达式为  或  或  【解析】解：由题可知， 反比例函数的表达式为， ， 解得，即， 设直线AB的函数表达式为， 将，代入得，， 解得， 直线AB的函数表达式为； 如图，过E作交x轴于点G，连接AG， 则， ， 解得， 令，得， ，则， 点， ， 直线EG的函数表达式为， 联立， 解得或， 或； 由知直线AB的函数表达式为， ，， 在中，， 点E在第一象限， ； ， ， ， 如图，过E在，且，连接CH，过E作轴交x轴于点K，过点H作于点L， 为等腰直角三角形， 则， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ≌， ， 或 先求出k值，再求出m值，进而利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可； 过E作交x轴于点G，则，求出点G坐标，进而可得直线EG表达式，再联立反比例函数表达式即可得解； 由题可得，则，再构造为等腰直角三角形，易求点，则可得，所以，再证≌，即可得解． 本题主要考查了反比例函数与一次函数综合问题，涉及反比例函数表达式、一次函数表达式、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24.【答案】31元元  第16天销售利润最大，最大为1568元  【解析】解：第4天公司的单价为：元； 第4天的销量为：， 第4天公司的销售利润为：元， 故答案为：31元，1496元； 设日销售利润为w，根据题意得： 当时， 销售利润：， 此时，当时，销售利润最大，最大值为1568元； 当时， 销售利润：， 此时，当时，销售利润最大，最大值为元； ， 第16天销售利润最大，最大为1568元． 先求出第四天的销量，然后根据利润=售价-成本，即可求解； 分别写出当时与当时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解； 本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 25.【答案】    或  【解析】解：由题意得，，， ， ， ， ， ； 如图1，过点P作于E，交BC于F，过点P作于D， 轴， ， ，， ， ， ， 当PF最大时，PD最大，的面积最大， ，， 直线BC的解析式为：， 设，， ， 当时，PF最大， ， ， 连接AP，交对称轴于点Q，则最小，最小值是AP的长， 由得， 或， ， ， 的最小值为：； 如图2， 抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位后为：， 即：， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时， ， 由题意得， 当C平移到点B，点平移到M， ， ，即， 作，交于，交x轴于点W， 设， ， ， ， ， ， ， 的解析式为：， 由得， 或， ， ， 综上所述：或 先求出OB的长，进而将B点和代入函数解析式，进一步得出结果； 作于E，交BC于F，先推出当PF最大时，PD最大，即的面积最大，求得BC的函数解析式，进而设P点和F点坐标，进而表示出PF的关系式，进一步得出点P坐标；连接AP，交对称轴于点Q，则最小，最小值是AP的长，进一步得出结果； 先求出平移后的抛物线解析式，可得出，进而推出，当时满足条件，从而得出N坐标；作，交于，交x轴于点W，设，根据列出方程，从而求得W坐标，进而求得MW的解析式，求出其与的交点，从而得出结果． 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，图象的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 26.【答案】证明：， ， ， ，， ， ， ， ∽； 解：如图1， 作于G， ，，， ， ，， ∽， ， ， ，， ， ， 由得， ∽， ，， ， ， ，， ， ， ， ∽， ； 解：如图2， ，， ， 作于G，作于H， ， ，， 设，， ， ， ，， 当时，，， 设，，则， ， ， ， ， ，， ， ， 当时，，， ， ， ，， ， ， 综上所述：CF的长为：或  【解析】由得出，可得出，从而∽； 作于G，根据∽得出，从而得出，，进而得出BG和BD的值，根据∽得出，，从而得出，可证得∽，进而得出结果； 可求得，作于G，作于H，可设，，根据勾股定理得出方程，从而求得a的值，进而得出DG和BG的长，设，，根据得出，从而求得x的值，进而得出BH和FH的长，从而得出BF的长，进一步得出结果． 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $