青海省西宁市青海师范大学附属第二实验中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年青海师大附属第二实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知的半径为若点P在外，则OP的长可能是(    ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 3.若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是(    ) A. B. 10 C. D. 4.如图，AB是的直径，弦，垂足为E，若，则的半径的长是(    ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5.小兰画了一个函数的图象如图，则关于x的方程的解是(    ) A. 无解 B. C. D. 或 6.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线为(    ) A. B. C. D. 7.下列事件中是必然事件的是(    ) A. 买一张彩票，一定会中奖 B. 经过十字路口，遇到绿灯 C. 任意画一个平面三角形，内角和是 D. 打开电视机，正在播放《新闻联播》 8.如图，抛物线为常数关于直线对称.下列五个结论： ①；②；③；④；⑤其中正确的有(    ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是      . 10.把方程配方为的形式，则        . 11.已知关于x的方程的一个根是，则另一个根是______. 12.如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点E恰好在CB的延长线上，，则______. 13.若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围为______. 14.如图，PA，PB是的切线，A，B是切点.若，则          . 15.已知、是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是______. 16.如图，直线与抛物线分别交于，两点，那么当时，x的取值范围是______. 17.如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为______. 18.如图，AB是的直径，若，，则BC的长等于        . 三、解答题：本题共10小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题4分 解方程： 20.本小题4分 若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为多少？ 21.本小题6分 如图，三个顶点的坐标分别为，， 请画出向左平移5个单位长度后得到的； 请画出关于原点对称的； 在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出P的坐标. 22.本小题6分 一种药品经过两次降价，由每盒60元调至元，平均每次降价的百分率是多少？ 23.本小题6分 某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 12 a 14 4 频率 b c 请根据统计表中提供的信息，解答下列问题： 本次调查一共随机抽取了______名学生；表中______，______，______； 样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生.现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率. 24.本小题6分 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． 求证： 25.本小题6分 特产专卖店销售某品牌的薄皮核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋.由于货源紧缺，现要涨价销售.经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋.若该专卖店销售这种核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元， 求y与x的函数解析式； 求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？ 26.本小题8分 如图，AC是的直径，PA相切于，点B是圆上一点，且，连接AB， 求证：PB是的切线. 若，求点O到弦AB的距离. 27.本小题8分 阅读材料：解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，则原方程化为解得：， 当时，，当时，，， 原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程.利用换元法解方程： 28.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为 分别求出直线AB和这条抛物线的解析式； 若点P在第四象限，求线段PM最长时点P的坐标. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 本题考查了轴对称图形，中心对称图形，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义是关键． 2.【答案】D  【解析】解：的半径为4cm，点P在外， ， 故选： 根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键． 3.【答案】A  【解析】解：已知，，是方程的两根， ， ，， ，， ， 故选： 根据根与系数的关系求出b和c的值，再相加即可得到答案． 本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，牢记，是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：连接OC， 设的半径为R，则， ，AB过圆心O，， ，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即的半径长是5， 故选： 连接OC，设的半径为R，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入后求出R即可． 本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，与y轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 关于x的方程的解是或 故选： 由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，与y轴的交点为，利用抛物线的对称性得到关于对称轴的对称点为，进而可得答案． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6.【答案】D  【解析】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得， 即 故选： 根据二次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”即可得出答案． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7.【答案】C  【解析】解：A、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意； B、经过十字路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个平面三角形，内角和是，是必然事件，符合题意； D、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意． 故选： 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8.【答案】B  【解析】解：抛物线为常数关于直线对称， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 时，，对称轴为直线， 时，， ， 故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，即， 故④错误； 时，， ， ， 故⑤正确． 故选： 由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知，，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由时，，得出，由得出即可判断⑤． 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：关于x的方程是一元二次方程， ， 解得：， 故答案为： 根据一元二次方程的定义，形如，且a、b、c是常数，解之即可． 本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 10.【答案】24  【解析】解：， ， 则，即， ，， 则， 故答案为： 一次项移到方程的左边，两边都加上16配成完全平方式，继而可得答案． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得，解得， 即方程的另一个根是 故答案为 设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到，然后解一元一次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， 12.【答案】  【解析】解：将绕点A顺时针旋转，得到，若点E恰好在CB的延长线上， ，， 故答案为： 首先利用旋转的性质可得，，然后利用勾股定理即可求解． 此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了勾股定理解决问题． 13.【答案】  【解析】解：抛物线与x轴有两个公共点， ， 解得：， 故答案为： 根据抛物线与x轴有两个公共点，可知，从而可以求得m的取值范围． 本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14.【答案】  【解析】解：，PB是的切线，A，B是切点， ，， ， ，， 故答案为： 先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 15.【答案】  【解析】解：，是抛物线上两点， ，， 解得：，， 即抛物线的解析式为：， 故抛物线的顶点坐标是： 故答案为： 已知、是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 16.【答案】  【解析】解：因为直线与抛物线分别交于，两点， 所以当时，， 故答案为： 根据图象得出取值范围即可． 此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围． 17.【答案】或  【解析】解：如图 若，则 弦长与半径相等，连接圆心和弦的端点，可得等边三角形，那么圆心角为，那么这条弦所对的优弧上的圆周角为，则劣弧上的圆周角为 解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数．本题需注意：在一个圆中，弦所对的圆周角是两个，它们互为补角． 18.【答案】  【解析】解：是的直径， ， ， ， 故答案为： 由圆周角定理得到，，由，求出 本题考查圆周角定理，解直角三角形，关键是掌握锐角的正切定义． 19.【答案】解：配方得， 即， 开方得， ，  【解析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤： 形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． 形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方． 20.【答案】该圆锥的侧面积为  【解析】解：设侧面展开图所得扇形的半径为R， 根据题意得，解得， 所以该圆锥体的侧面积 答：该圆锥的侧面积为 设侧面展开图所得扇形的半径为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后根据扇形面积公式求解． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 21.【答案】如图，即为所求  如图，即为所求  点P即为所求；点P的坐标为  【解析】解：如图，即为所求． 如图，即为所求． 如图：点P即为所求；点P的坐标为 由平移规律先确定，，的坐标，然后描点，再顺次连接即可解答； 由关于原点对称的性质确定，，的坐标，然后描点，再顺次连接即可解答； 作点B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为点P，然后直接写出P的坐标． 本题早就考查了平移规律、关于原点对称、轴对称的性质等知识点，根据平移规律、关于原点对称确定变化后关键点的坐标是解题的关键． 22.【答案】解：设平均每次降价的百分率是x，依题意得： ， 解方程得：，舍去， 答：平均每次降价的百分率是  【解析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 此题主要考查了一元二次方程的应用--增长率下降率问题，关键是读懂题意，掌握公式：“”，理解公式是解决本题的关键． 23.【答案】    【解析】解：本次调查一共随机抽取了名学生． ，， 故答案为：50；20；； 由题意得，4人中有1名男生，3名女生． 列表如下： 男 女 女 女 男 男，女 男，女 男，女 女 女，男 女，女  女，女 女 女，男 女，女  女，女 女 女，男  女，女  女，女 共有12种等可能的结果，其中所选2名同学中有男生的结果有6种， 所选2名同学中有男生的概率为 用表格中等级一般的频数除以频率可得抽取的学生人数；用抽取的学生人数乘以等级较好的频率可得a的值，用等级良好的频数除以抽取的学生人数可得b的值，用等级优秀的频数除以抽取的学生人数可得c的值． 列表可得出所有等可能的结果数以及所选2名同学中有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、统计表、概率公式，能够读懂统计表，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． 24.【答案】证明：过点O作， ， ，， ，   【解析】过点O作，由垂径定理可知，，故可得出结论． 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键． 25.【答案】解：利润为y元，每袋销售单价上涨x元，根据题意得， ； 当时，y有最大值，此时最大值为2250， 答：每袋销售单价上涨5元时，获得最大利润为2250元．  【解析】根据“总利润=每袋利润每天销量”即可求解； 利用配方法及二次函数的性质即可求解． 本题考查了一元二次函数的实际应用，解题关键是找到题目中的等量关系列出解析式． 26.【答案】证明：如图，连接OB，OP，则， 相切于， ， ，， ≌， ，即：， 又点B是圆上一点， 是的切线； 设AB与OP交于点D， ，， 垂直平分AB， 则，， 由可知：， ， ， ， 为等腰三角形， ，则， ，， ， 由勾股定理可得：， ， 即：点O到弦AB的距离为  【解析】如图，连接OB，OP，由题意可证得≌，进而可得，即：，即可证明结论； 设AB与OP交于点D，易知OP垂直平分AB，得，，由题意得，可知为等腰三角形，得，则，根据含的直角三角形的性质得，即可求得点O到弦AB的距离． 此题考查了切线的性质及判定，勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，解决问题的关键在于要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可． 27.【答案】，  【解析】解：设，则原方程可变形为， 因式分解为：， ，， ， 解得：，， 无解． 原方程的解为：， 设，则原方程可变形为 ，求出y的值，代入求出x的值即可． 本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是用转化的思想来解方程． 28.【答案】直线AB的解析式为，抛物线解析式为  点P的坐标为  【解析】解：设直线AB的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线AB的解析式为； 把，代入得： ， 解得， 抛物线解析式为； 设，则， ， 当时，线段PM最长，最长为， 此时点P的坐标为 利用待定系数法法求两函数解析式； 设，则，则，利用二次函数的性质得到当时，线段PM最长，最长为，从而得到P点坐标． 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数性质，由坐标表示线段长，进而运用二次函数性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $