福建省厦门市第十中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年福建省厦门十中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算：(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    ) A. 4，5，9 B. 5，5，11 C. 8，8，14 D. 3，4，7 3.下列计算中，结果等于的是(    ) A. B. C. D. 4.一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是(    ) A. B. C. D. 无法比较和的大小 5.长方形的面积为，若它的一边长为2a，则它的另一边长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    ) A. B. C. D. 7.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 8.东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得，则凉亭H是(    ) A. 的角平分线与AC边上中线的交点 B. 的角平分线与AB边上中线的交点 C. 的角平分线与AC边上中线的交点 D. 的角平分线与BC边上中线的交点 二、填空题：本题共6小题，共28分。 9.计算：______； 计算：______； 因式分解：______； 因式分解：______. 10.等腰三角形的两边长分别是3和6，那么这个三角形的周长是  ______ . 11.已知，则的值为      . 12.如图，在中，AD平分，，若，，则        . 13.在平面直角坐标系xOy中，按如图方式摆放，，若点A，C的坐标分别为，，则点B的坐标为        . 14.如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律． 请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数____________； 此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，显然再过7天还是星期一，那么再过天是星期______. 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 计算：； 计算：； 因式分解： 16.本小题8分 如图，，，求证：≌ 17.本小题8分 先化简，再求值：，其中 18.本小题10分 如图，在中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线，点E是射线DM上一个定点. 尺线作图：在射线DM上方求作，使得，与BA的延长线交于点不用写作图步骤，保留作图痕迹 在问条件下，若，求证：填空 证明：， ①______②______， ， ③______， 即， 在和中， ， ≌④______， ⑤______⑥______， 19.本小题8分 如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间有一块边长为2a米的正方形雕像，周围剩余部分阴影部分种植了绿化，请回答以下问题： 绿化的面积S是多少？ 若a，b使代数式的值与x的取值无关，求绿化面积S的值. 20.本小题8分 若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”，每一种表示方法叫做一个平方差分解. 例：， 可平方差表示，是15的一个平方差分解. 请写出5的平方差分解； 已知是正整数，k是常数，且，要使N可用平方差分解表示，试求出符合条件的一个k值，并说明理由. 21.本小题10分 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法. 如图1，OP平分，点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据______证明≌，则，，即点C为AB的中点 如图2，在中，CD平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______. 如图3，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论. 22.本小题12分 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______. 【应用】 根据图②所得的公式，若，，求的值. 若x满足，求的值. 【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和. 23.本小题14分 已知：在中，，点D，E分别在射线BA，CA上，连接DE， 【教材再现】如图1，点D，E分别在边AB，AC上，是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点D，E分别在BA的延长线，CA的延长线上，的平分线AF交ED的延长线于点F，连接BF交CE于点G，且，求的度数. 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长EF交BC的延长线于点H，点P在EC的延长线上，连接FP，且，若，求的度数. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：任何非零数的零次幂都等于1， 故选： 根据任何非零数的零次幂都等于1，即可得到答案． 本题考查零指数幂运算，熟记是解决问题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：， ，5，9不能组成三角形，故A不符合题意； ， ，5，11不能组成三角形，故B不符合题意； ， ，4，7不能组成三角形，故D不符合题意； 8，8，14满足构成三角形的条件，故C符合题意； 故选： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此即可判断； 本题考查了构成三角形的条件，掌握其相关知识点是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选： 根据同底数幂的除法，乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了同底数幂的除法，乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：，， ， 即， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选： 根据三角形的内角和定理可得，即可求解． 本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：由题意得： ， 它的另一边长为， 故选： 利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答． 本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：A、添加，根据SSS，能判定≌，故A选项不符合题意； B、添加，根据SAS，能判定≌，故B选项不符合题意； C、添加，根据HL，能判定≌，故C选项不符合题意； D、添加时，不能判定≌，故D选项符合题意； 故选： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要判定≌，已知，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据SSS、SAS、HL能判定≌，而添加后则不能． 7.【答案】B  【解析】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； B、，能用完全平方公式进行因式分解，符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； D、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意． 故选： 利用完全平方公式：，进而判断得出答案． 本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 8.【答案】A  【解析】解：如图： 平分，点H在AD上， 点H到AB、AC的距离相等， 是AC边上的中线， ，， ，即， 凉亭H是的角平分线与AC边上中线的交点， 故选： 根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答． 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键． 9.【答案】；   ；   ；     【解析】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； 因式分解：， 故答案为：； 因式分解：， 故答案为： 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算即可； 根据单项式除以单项式法则计算即可； 利用提公因式法分解因式即可； 利用平方差公式分解因式即可． 本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，因式分解-提公因式法、公式法，正确计算是解题的关键． 10.【答案】15  【解析】解：若3为腰长，6为底边长，  由于，则三角形不存在；  若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．  所以这个三角形的周长为  故答案为： 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 11.【答案】27  【解析】解：， ， ， 故答案为： 由已知得出，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键． 12.【答案】2  【解析】解：作于点F， ，且， ， ， 平分，，， ， 故答案为： 作于点F，由，且，得，求得，因为AD平分，，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：过点B作直线轴于点D，过点A作直线DB于点E，如图所示： ， 和都是直角三角形， 设点B的坐标为， 点A，C的坐标分别为，， ，，，， 在在中，， 在中，，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ，， 点B的坐标为 故答案为： 过点B作直线轴于点D，过点A作直线DB于点E，设点B的坐标为，则，，，，证明和全等得，，进而得，，求出a，b的值，由此可得点B的坐标． 此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题． 14.【答案】；4； 二．  【解析】解：由所给图形可知， 接下来一行的数字分别为：1，4，6，4，1， 所以 故答案为：6； 因为…， 显然此式除以7的余数为1， 所以再过天是星期二． 故答案为：二． 根据题意，求出接下来一行中的数，据此即可解决问题． 将改写为，据此即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，理解题中所给“杨辉三角”与展开式中各项系数的对应关系是解题的关键． 15.【答案】      【解析】解： ； ； 根据多项式乘多项式的运算法则计算即可； 先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据单项式乘多项式法则计算即可； 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方，提公因式法与公式法的综合运用，正确计算是解题的关键． 16.【答案】证明见解析．  【解析】证明：， ， ， 在和中， ， ≌ 由，得到，即可证明≌ 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： 17.【答案】，原式  【解析】解： ， 当时，原式 先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】图形如图所示：   两直线平行，同位角相等全等三角形对应角相等  【解析】解：图形如图所示： 证明：， ①②两直线平行，同位角相等， ， ③， 即， 在和中， ， ≌④， ⑤⑥全等三角形的对应角相等， 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；AAS，；全等三角形的对应角相等． 根据要求作出图形； 利用AAS证明≌，推出可得结论． 本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19.【答案】平方米  52  【解析】 平方米； ， 由条件可知，， ，， 平方米， 绿化面积S的值为 用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； 根据题意求出，，再代入计算即可． 本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20.【答案】    【解析】解：可以平方差分解， 所以， 因为， 可得方程组， 解得， 所以，即是5的一个平方差分解． 因为N可用平方差分解表示， 所以 ， 即， 所以， 此时 ， 因为x，y是正整数，且， 所以只要是正整数例如当x足够大时，也是正整数， 满足正整数的平方差分解的形式要求． 我们需要找到两个正整数a和b，使得根据平方差公式，那么因为5是质数，它的正整数因数分解为，所以可得方程组，求出a、b，然后表示出5的平方差分解； 求解符合条件的k值并说明理由 首先对进行变形，要使N可用平方差分解表示，即N能表示成两个正整数的平方差形式，那么需要能写成为正整数的形式．令，则，此时因为x，y是正整数，且，所以只要是正整数例如当x足够大时，也是正整数，满足正整数的平方差分解的形式要求． 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用平方差公式计算． 21.【答案】ASA    ，证明如下： 如图3，，延长BE与CA交于点F， ， ， ，， 又， ，即， 在和中， ， ≌， ， 由可知：≌， ，   【解析】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 故答案为：ASA； 由可知：≌，如图2，延长AE交BC于点F， ， ， ， 故答案为：； ，证明如下： 如图3，，延长BE与CA交于点F， ， ， ，， 又， ，即， 在和中， ， ≌， ， 由可知：≌， ， 根据角平分线的定义得到，根据垂直的性质得到，再利用ASA证明≌即可； 延长AE交BC于点F，由问题情境可知：≌，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； 延长BE与CA交于点F，利用ASA证明≌，得到，由问题情境可知：≌，则有，即可得出结论 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 22.【答案】      平方米  【解析】解：图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽进和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为ab， 又阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积， ， 故答案为：； 由的结论得：， 又，， ； 设，，则， ， ， ， 由的结论得：， ， ； 设，， 于点E，米， 平方米，平方米，平方米，平方米，米， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：平方米 答：种草区域的面积和为60平方米． 根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； 由的结论得，将，代入计算即可得出答案； 设，，则，进而得，，由的结论得，由此即可得出答案； 设，，则种花区域的面积，米，由此得，由的结论得，据此得，进而得种草区域的面积和为平方米 此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． 23.【答案】是直角三角形，理由见解答；   ；     【解析】解：是直角三角形，理由如下： 在中， ， ， ， ， ， 是直角三角形； 令， ， ， 平分， ， 在中，， 又， ， ， 在中，， ， ； ， 由可知， ， ，， ， ， ， ， ， 由，得即可； 根据三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质做等量代换，引入参数，由解题； 由，三角形外角定理，根据的两种不同表示方式求出，由解题． 本题考查直角三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $