广东省江门市实验中学初中部2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年广东省江门实验中学初中部九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列是一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 3.在同一平面内，已知的半径为5，点A在外，则OA的长度可以等于(    ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 0 4.如图，在中，，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、若，则(    ) A. B. C. D. 6.若某学习小组所有成员都向群内其他人发一条信息，共发出420条信息，设这个群有x人，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角度得到，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.将抛物线向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 9.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 10.如图是二次函数是常数，图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，顶点为对于下列结论： ①； ②； ③； ④当时：； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为 其中正确的是(    ) A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.设，是一元二次方程的两个根，则的值是        . 12.若点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标为        . 13.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间的函数关系是，当飞行时间t为          s时，小球达到最高点． 14.如图，在中，点C是弦AB的中点，，的度数为        . 15.已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是      写出一个即可 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 解方程：； 求抛物线的顶点坐标和对称轴. 17.本小题7分 如图，点O是斜边AC边上的一点，以OA为半径的与边BC相切于点求证：AD平分 18.本小题7分 如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式. 19.本小题9分 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分如图②所示，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是 求抛物线的表达式； 如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标； 为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数y的值总大于等于求b的取值范围. 20.本小题9分 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点， 画出关于坐标原点O成中心对称的； 将绕点O顺时针旋转后得到，请在图中作出，并直接写出点的坐标； 连接，求线段的长度. 21.本小题9分 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000， 若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； 市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 22.本小题13分 综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究. 【问题情境】如图①，在矩形ABCD中，，将边AB绕点A逆时针旋转得到线段AE，过点E作交直线BC与点 【猜想证明】 当时，请判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论. 在【问题情境】的条件下，存在，使点F，E，D三点共线，在图②中补全图形，并求出此时线段EF的长度. 【能力提升】 在旋转过程中，线段CE的最小值为______直接写出答案 23.本小题14分 对于抛物线：，，，…，我们把具备以上整数系数形式的抛物线称为“同族抛物线”. 写出以上有关“同族抛物线”共有的三点性质； 在“同族抛物线”中的第n条抛物线与x轴交于E，F两点，顶点为H，是否存在为等边三角形，若存在，求n的值，若不存在，说明理由； 过点的直线l垂直于x轴，直线l与“同族抛物线”中的两条相邻抛物线，相交于点M， ①若，求出线段MN的长与m之间的关系式，并判断此关系式是否具备“同族抛物线”的性质； ②若两条相邻抛物线，分别与y轴交于A，B两点，且直线l不与AB重合，判断是否存在实数m，使，若存在，求出实数m，若不存在，说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】 解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选： 2.【答案】B  【解析】解：，即，故选项A不符合题意； B.，是一元二次方程，故选项B符合题意； C.，是分式方程，故选项C不符合题意； D.，是二元一次方程，故选项D不符合题意． 故选： 根据一元二次方程的定义，二次根式的性质解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义，二次根式的性质与化简，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：的半径，点A在外， 点A到圆心O的距离， 故选： 点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外，由此即可判断． 本题考查点和圆的位置关系，关键是掌握点和圆位置关系的判定方法． 4.【答案】D  【解析】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选： 根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 5.【答案】B  【解析】解：如图，连接BC， 是的直径， ， ， ， ， 故选： 根据圆周角定理求出，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：由题意列方程为 故选： 根据题意列出一元二次方程求解即可． 此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 7.【答案】C  【解析】解：在中，，， ， 将绕点A逆时针旋转角度得到， ， ， ， 旋转角的度数是， 故选： 根据三角形内角和定理求出，根据旋转得出，根据平行线的性质求出即可． 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识点，能根据旋转得出是解此题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，那么新抛物线的顶点为可设新抛物线的解析式为，代入得： 故选 抛物线平移不改变a的值． 解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 9.【答案】D  【解析】解：因为一元二次方程为， 则， 所以该方程有两个不相等的实数根． 故选： 利用一元二次方程根的判别式进行判断即可． 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：， ，故①正确； 与x轴的交点A在点和之间，对称轴为直线， 与x轴的另一个交点B在点和之间， 当时，，故②正确； ， ， ， ，故③错误； 函数图象与x轴的交点没有具体说明交点的坐标， 当时，不一定成立，故④错误； 方程的四个根分别为和的根， 抛物线关于直线对称， 抛物线与直线的交点的横坐标之和为2， 抛物线与直线的交点横坐标之和为2， 方程的四个根的和为4，故⑤正确． 正确的是①②⑤， 故选： 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 11.【答案】  【解析】解：，是一元二次方程的两个根， ， 故答案为： 根据根与系数的关系得出即可． 本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】解：点P与点Q关于原点对称，点， ， 故答案为： 根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是作答即可． 本题考查关于原点对称的点坐标，熟知平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是是解题的关键． 13.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论． 【解答】 解：， ， 当时，h有最大值，最大值为20， 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：点C是弦AB的中点， ，即， 故答案为： 由题意得，然后问题可求解． 本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 15.【答案】答案不唯一  【解析】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：答案不唯一 先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式． 本题考查待定系数法确定二次函数表达式，熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键 16.【答案】  顶点坐标是，对称轴是直线  【解析】解：， ， 解得； ， 顶点坐标是，对称轴是直线 用完全平方公式求解即可； 将二次函数解析式化为顶点式求解． 本题考查解一元二次方程与二次函数的性质，解题关键是掌握配方法解一元二次方程，掌握二次函数图象与系数的关系． 17.【答案】见解答．  【解析】证明：连接OD，如图， 以OA为半径的与边BC相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， 平分 连接OD，如图，根据切线的性质得到，再证明，所以，然后利用得到，从而得到结论． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 18.【答案】该抛物线的表达式为  【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，， 即， 设该抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， 该抛物线的表达式为 先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案． 本题考查待定系数法求二次函数表达式，根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 19.【答案】解：设抛物线的解析式为， 把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 作A点关于y轴的对称点，连接交OC于点P，则P点即为所求； 把代入，得： ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， 令，得， 点的坐标为； ， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，得： ， 解得：， ， 当时， 由，得： ， ， ； 由，得： ， ， 解得：， ； 当时，都成立； 当时，得： ， 解得：， 都成立； 综上所述，b的取值范围为  【解析】根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可； 作A点关于y轴的对称点，连接交OC于点P，则P点即为所求； 分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 20.【答案】  ，点的坐标为    【解析】解：如图，即为所求． 如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 由勾股定理得， 根据中心对称的性质作图即可． 根据旋转的性质作图，即可得出答案． 利用勾股定理计算即可． 本题考查作图-旋转变换、勾股定理、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、勾股定理是解答本题的关键． 21.【答案】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得，不合题意，舍去 答：每次降价的百分率是； 假设下调a个50元，依题意得： 解得 所以下调150元，因此定价为2750元．  【解析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解； 假设下调a个50元，销售利润=一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22.【答案】四边形BAEF是正方形；证明见解析；   补全图形见解析；或；    【解析】解：四边形BAEF是正方形； 证明： 四边形ABCD是矩形， ； 当时，由旋转性质知：，； ， ， ， 四边形BAEF是矩形； ， 四边形BAEF是正方形； 当旋转角小于直角时，补全图形如图②； 四边形ABCD是矩形， ，，， ，，， 在和中， ， ≌， ； 在中，由勾股定理得， ； 当旋转角大于直角则小于平角时，补全图形如图③； 同理，≌， ； 在中，由勾股定理得， ； 综上，或； 线段CE的最小值为；理由如下： 如图④，连接AC， ， 当A、E、C三点共线时，CE取得最小值，最小值为； 由勾股定理， 最小值为， 故答案为： 根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可判定四边形的形状； 有两种情况，分别补全图形即可；由AAS证明≌，得，由勾股定理求出DE，即可求解． 连接AC，由，当A、E、C三点共线时，CE取得最小值，由勾股定理求出AC即可求得最小值． 本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 23.【答案】从三个表达式看，，， 故三个函数共同的性质有：①开口向下；②函数和x轴的交点为，；③对称轴为答案不唯一； 不存在，理由： 由题意得，点，， 如图1，当为等边三角形时，， 则， 解得：，不是整数， 故不存在为等边三角形； ①若， 设点，点， 则， 当， ， 从表达式看，此关系式具备“同族抛物线”的性质； ②存在，理由： 由题意得：点、， 则， 由①知， 即， 解得：舍去或或， 即或  【解析】从三个表达式看，，，进而求解； 当为等边三角形时，，则，即可求解； ①当，，进而求解； ②求出，由①知，即，即可求解． 本题以二次函数为背景，考查了抛物线与坐标轴交点与一元二次方程之间的关系，等边三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力和理解能力． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $