专题02 平移、折叠、旋转问题（七大题型）（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题02 平移、折叠、旋转问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平移的性质求解（重点） 1 题型二、根据成轴对称图形的特征进行求解（重点） 5 题型三、折叠问题（重点） 8 题型四、根据旋转的性质求解（重点） 13 题型五、平移问题中的多解问题（难点） 20 题型六、折叠问题中的多解问题（难点） 23 题型七、旋转中的多解问题（难点） 31 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平移的性质求解 1．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是 厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 【详解】解：将一个周长为a厘米的沿射线方向平移后得到， ，， 的周长为a厘米， ， 四边形的周长为b厘米， ，即， ， 即平移的距离是， 故答案为： 2．(24-25七上·上海静安区·期末)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为2，那么点A与点G的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，然后根据E是的三等分点得到，进而求解即可． 【详解】由平移得， ∵E是的三等分点 ∴ ∴． 故答案为：8． 3．(24-25七上·上海青浦区·期末)如图所示，线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿 方向平移了 cm． 【答案】 4 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的方向和距离确定平移的结果即可． 【详解】解∶ 线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿方向平移了． 故答案为；4． 4．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，请判断 先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）． 【答案】同时 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将甲所走路线中的横向线段向上平移，纵向线段向左平移， 则平移后甲的路线即为最大网格正方形的上边和左边． 又因为乙所走的路线为最大网格正方形的下边和右边， 所以甲、乙所走路程相等． 又因为它们爬行的速度相等， 所以它们同时回到洞中． 故答案为：同时． 5．(24-25七上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质得到，，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，，， 则，即， ， ， 故答案为：2． 6．(24-25七上·上海松江区·期末)如图，将周长为17的沿平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质． 由平移可知四边形的周长，根据平移可知．再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则 ； 故答案为． 7．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，将沿方向平移之后得到，若，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 先利用平移的性质得，然后利用，即可求出答案． 【详解】解：沿方向平移得到， ， ． 故答案为：7． 8．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如图，已知，将沿直线平移得到（其中、、分别与、、对应），平移的距离为长度的． (1)画出满足条件的； (2)连接，如果的面积为，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平移作图的方法作图即可； （2）先根据平移的性质得到，则，过点A作于D，根据三角形面积公式得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可知， ∴， 过点A作于D， ∵， ∴． 题型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 9．(24-25七上·上海黄浦区·期末)如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 10．(24-25七上·上海宝山区·期末)如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，代数式求值，等边三角形的性质，根据对称性得到，解方程组得到a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，解得， ∴， 故答案为：． 11．(24-25七上·上海青浦区·期末)【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 题型三、折叠问题 12．(23-24七上·上海闵行区·期末)如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 13．“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着成线剪去一个角，再打开后的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查剪纸问题，动手操作判断即可． 【详解】解：将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是： ． 故选：B． 14．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，点、分别在三角形的边、上，把三角形沿直线翻折后得三角形．如果，那么的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查折叠性质，熟练掌握折叠的性质是解答的关键．由折叠性质得，先根据已知求得，进而根据平角定义求解即可． 【详解】解：由折叠性质得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．(23-24七上·上海闵行区·期末)如图，把一张平行四边形纸片沿直线EF翻折，翻折后的图形面积（阴影部分）与原平行四边形纸片的面积之比为，其重叠部分面积为，则原平行四边形纸片的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式和解一元一次方程，设原平行四边形纸片的面积为，根据题意得阴影部分和重叠部分面积，结合题意列方程求解即可． 【详解】解： ∵翻折后的图形面积（阴影部分）与原平行四边形纸片的面积之比为， ∴设原平行四边形纸片的面积为，则翻折后的图形面积（阴影部分）为， ∴翻折后重叠部分面积为， ∵重叠部分面积为， ∴，解得， 则原平行四边形纸片的面积是， 故答案为：． 16．(24-25七上·上海闵行区·期末)如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为 ． 【答案】30°/30度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质， 先根据折叠的性质得，再根据正方形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质得． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：． 17．(24-25七上·上海黄浦区·期末)如图，长方形纸片，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置，若，则 ． 【答案】85 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），角的计算，根据折叠的性质得到，，根据已知条件和角的和差即可得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：85． 18．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，已知长方形的边，将长方形沿直线折叠，则图中折成的四个阴影三角形的周长之和为 (用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了阴影部分的周长问题，解题关键是利用轴对称的性质进行边的转化．本题考查了阴影部分的周长问题，解题关键是利用轴对称的性质进行边的转化． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，， 阴影部分的周长 ． 故答案为：． 19．(23-24七上·上海浦东新区部分学校联考·期末)如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：，， 又， ∴， ∴， 故答案为： 题型四、根据旋转的性质求解 20．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，将△绕点按顺时针方向旋转后得到△，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转，角的和差关系，由旋转可得，结合即可求解． 【详解】解：由旋转可得， 又， ， 故选：A． 21．(24-25七上·上海静安区、青浦区·期末)如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C′AB′的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．45° 【答案】C 【分析】先根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的度数，然后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】由旋转的性质得：， ， 又， ， 故选：C． 22．(24-25七上·上海普陀区·期末)如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、旋转的性质．根据旋转的性质即可判断A、B；设中阴影部分的面积为，求得，从而得即可判断C；由，，不一定成立，说明不一定成立． 【详解】解：根据旋转的性质，，， ∴A、B说法正确，不符合题意； 设中阴影部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴C说法正确，不符合题意； ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴D说法错误，符合题意． 故选：D． 23．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，已知，．将射线绕着点按顺时针方向旋转后恰好落在的内部，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查角的运算，先求出，分别计算出射线与重合时n的值与射线与重合时n的值即可． 【详解】解：∵，． ∴， 当射线与第一次重合时；射线与重合时， 所以，当时，恰好落在的内部． ∵ ∴射线与不能出现第二次重合， ∴， 故答案为：． 24．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 °． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得出，求出，即可得出结果． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到， 又， 故答案为：． 25．(24-25七上·上海青浦区·期末)如图，将绕点逆时针旋转30°得到，且恰好落在边上，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的旋转问题，涉及等腰三角形性质，三角形外角的性质等知识，由将绕点逆时针旋转得到，且恰好落在边上，可得，，，即得，而，故，从而． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，且恰好落在边上， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 26．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如图，△ABC中，∠BAC＝40°，把△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，则∠EAC的度数为 ． 【答案】60° 【分析】根据旋转的性质即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE， ∴∠EAC＝60°． 故答案为：60°． 27．(24-25七上·上海宝山区·期末)如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，如果正方形的边长是5，那么四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，解题即可． 【详解】解：由旋转可得， 故答案为：． 28．(24-25七上·上海长宁区·期末)如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转变换，推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 线段所扫过的面积． 【详解】解：线段所扫过的面积 ． 故答案为． 29．(24-25七上·上海普陀区·期末)如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到． (1)当点与点重合时，线段的长度为______；（直接写出答案） (2)设，用含和的代数式表示的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∵点E与点B重合， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴的面积． 30．(23-24七上·上海松江区·期末)如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解； （2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解； （3）由题得从而可求，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图 为所求三角形； （2）解：由旋转得 ， ， ； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 由图得： ， 整理得： 解得：． 题型五、平移问题中的多解问题 31．(23-24七上·上海浦东新区部分学校联考·期末)已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当时， ． 【答案】或13/13或4 【分析】本题考查一元二次方程的几何应用，直角梯形，长方形的面积等知识，分①当线段未进入正方形内部时，②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，③当点C在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，共六种情况讨论列出方程或推导即可得解． 【详解】解：标记和作图如下，其中于，四边形是直角梯形，四边形是正方形： 依题意可知，厘米，厘米，厘米， ∴厘米， ∴(平方厘米)，(平方厘米) ①当线段未进入正方形内部时，厘米，即， ∴， 此时重合部分是，平方厘米， 即此时无解， ②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，厘米，，即， ∴， 则重合部分是直角梯形，厘米， ∴， 解得：； ③当点C在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，厘米，即，厘米 ∴， 此时重合部分是五边形，平方厘米， 即此时无解， ④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，厘米，厘米，，即， ∴， 则重合部分是五边形，厘米， ∴(平方厘米)， 解此时无解； ⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，厘米，，即， ∴， 则重合部分是长方形，厘米， ∴， 解得：； ⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，厘米，，即， ∴， 则此时重叠部分为线段或无重叠，无解， 综上所述：或13． 故答案为：或13． 32．(24-25七上·上海闵行区·期末)为了将一张长和宽分别是a和b的长方形纸片拼接成新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． (1)新图形的面积为 ； (2)在图4中延长交于点G，如果，四边形是一个边长为m的正方形． ①用两种方法表示的长； ②如果，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值， 对于（1），根据新图形的面积等于原长方形的面积可得答案； 对于（2），先分别表示出的长度，再将两个式子结合代入计算即可． 【详解】（1）解：新图形的的面积为； 故答案为：； （2）解：①； 根据面积相等，得， 即； 所以或． ②，由①得， 当时，， 解得． 题型六、折叠问题中的多解问题 33．(24-25上·上海民办南模中学·期末)如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含x的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，x的值为4或 故答案为：4或． 34．(24-25七上·上海普陀区·期末)如图，点在长方形纸片的边上，点,分别在射线,上．将沿翻折，点的对应点为点，将沿翻折，点的对应点是点．如果点在内部，且，那么 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查折叠的性质及角的计算问题，分在内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解：①当在外部时，如图， ∴， 由折叠得 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在内部时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 35．(23-24七上·上海杨浦区·期末)如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含x的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，x的值为4或 故答案为：4或． 36．(24-25七上·上海长宁区·期末)已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （）根据点的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用表示出和，根据题意列出方程即可求出结论； （）过点作于，用和表示出和，结合已知等式即可求解； 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）解：若点落在线段上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若点落在线段的延长线上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值或； （3）解：如图所示，过点作于， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴． 37．(23-24七上·上海闵行区·期末)如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”．有一长方形纸片，如图1，点P在线段上，点E在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点B落在点处． (1)如果与互为“互优角”，那么的度数为 ； (2)点F在线段上，再将纸片沿着翻折，使点C落在点处． ①如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数；（写出必要解题步骤） ②若与互为“互优角”，设（直接填写答案） 如图3，当线段落在外部时，与满足的数量关系为 ； 如图4，当线段落在内部时，与满足的数量关系为 ． 【答案】(1)或 (2)①②； 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“互优角”的定义结合已知条件可知分两种情况当和时利用翻折的性质结合平角的定义求解即可． （2）①根据“互优角”的定义可得出，由，则可得出，由折叠的性质可得出，再根据平角的定义可得出代入求出，进而可得出． ②如图3，当线段落在外部时，由折叠的性质可知：，，由“互优角”的定义得出即．同理可求出当线段落在内部时，． 【详解】（1）解：∵与互为“互优角”， 当时， 则， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，可得． 故答案为：或 （2）解：①∵点E、、P在同一直线上，且与互为“互优角”， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 则， ∴ ②当线段落在外部时， 由折叠的性质可知：，， ∵与互为“互优角” ∴， 即． 当线段落在内部时， 由折叠的性质可知：，， ∵与互为“互优角”， ∴， 即， 即， ， ∵， ∴， 则 题型七、旋转中的多解问题 38．如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或； 故答案为：或． 39．(24-25七上·上海长宁区·期末)如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点在同一条直线上，点也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意分类讨论；当在内部时，得出，当在外部时，结合图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ∵，， ∴ ∴， 如图所示，当在外部时， ∵，， ∴ ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为： 或． 40．(23-24七上·上海金山区·期末)0．如图，在中，，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，连接，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了旋转的性质，分逆时针与顺时针旋转两种情况根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解： ∵在中，，，，， ∴，h表示斜边上的高， ， ， 如图所示： 当点落在线段上时，如图中所示， ∴， ∴， ∴， 当点落在直线的延长线上时，如图中所示， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 41．(23-24七上·上海闵行区·期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当旋转角小于50°时和当旋转角大于50°时，分别画出图形，由∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，求出∠ACE，即可得到旋转角度数． 【详解】解：当旋转角小于50°时，如图： ∵∠ACB＝50°，△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC， ∴∠DCE＝50°， ∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2， ∴∠ACE＝×50°＝20°， ∴旋转角∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°， 当旋转角大于50°时，如图： ∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，∠DCE＝∠ACB＝50°， ∴∠ACE＝2∠DCE＝100°， ∴旋转角∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝150°， 故答案为：30°或150°． 42．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)如图，正方形，点是线段延长线一点，连结，， （1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积. （2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积. （3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角 【答案】（1）；（2）或；（3）见解析 【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可； （2）根据扇形的面积计算即可； （3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】解：（1） 答：线段扫过的平面部分的面积为 （2）三角形绕着点旋转，使得与重合，则三角形旋转的角度是90°或270° ∴或 ∴或 答：扇形的面积为或 （3）如图1，旋转中心：边的中点为，顺时针 如图2，旋转中心：点，顺时针旋转 如图3，旋转中心：正方形对角线交点，顺时针旋转 43．(24-25七上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边与直线重合，其中． (1)求图1中的的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕着点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数； ②是否存在？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②的值为或． 【分析】本题考查了几何图形中的角度的计算、一元一次方程的几何应用，运用数形结合和分类讨论思想求解是关键． （1）根据平角的定义，即可求解； （2）①分当平分时，当平分，再结合角平分线的含义与角的和差运算可得答案；②分当在的左侧时，当在的右侧时两种情况，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）①如图，∵， 当平分时， ∴， ∴， 当平分， ∴， ∴， ②存在，理由如下： ∵， ∴， 当在的左侧时，， ∵， ∴， ∴； 当在的右侧时， ， ∵， ∴， ∴， ∴存在，此时的值为或 44．(24-25七上·上海黄浦区·期末)如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °； (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °； (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？ 【答案】(1)22.5 (2)144 (3)第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒 【分析】本题是几何变换的综合题，考查了一元一次方程的应用，角平分线定义，角度的计算，正确画出图形并分类讨论是解题的关键． （1）根据角的平分线的定义和平角的定义即可解答； （2）根据设未知数，由列方程即可解答； （3）正确画图，分三种情况讨论，列一元一次方程即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：22.5； （2）解：如图3，设，则，    由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：144； （3）解：三角板运动时间为：， 射线运动时间为：， 设运动时间为t秒， 当射线与重合时，如图4，    有， ∴； 当射线恰好与射线成角时，存在以下三种情况： ①当时，如图5，有，    ∴； ②当时，如图6，有，    ∴； ③后，射线停止，三角板继续旋转，    有（如图7）或（如图8）， ∴和； 综上，第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒时，射线恰好与射线成角． 1．(23-24七上·上海闵行区·期末)如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点，若，那么的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移，旋转，以及等边三角形的判定和性质．熟练掌握平移和旋转的性质：对应边和对应角相等，是解题的关键．根据平移和旋转的性质，对应边和对应角相等，得到，为等边三角形，进而得到，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：将沿射线的方向平移，得到， ∴， 将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选：B． 2．(23-24七上·上海松江区·期末)如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质与旋转的性质：根据平移的性质与旋转的性质，等积変化逐一判断即可；掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：A．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； B．可以看作是沿着方向平移距离b，再沿方向平移距离a得到，结论错误，故符合题意； C．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； D．图形运动后并没有改变图形的面积，通过图和图的面积表示得，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 3．如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，折叠的性质，先由平移的性质得到，再由四边形周长计算公式推出，进一步由折叠的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵四边形的周长是10， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 4．(23-24七上·上海宝山区·期末)如图，在三角形中，．如果将三角形绕点旋转后得到三角形，再将三角形沿直线翻折得到三角形，如果点落在内部，且，那么三角形绕点旋转得到三角形的旋转方向和旋转角度数可以是 ． 【答案】逆时针旋转（答案不唯一） 【分析】本题考查了旋转和翻折的性质； 画出图形，根据求出，根据旋转和翻折的性质可得，求出，然后可得旋转的方向和角度． 【详解】解：如图，∵，， ∴， 由旋转和翻折得：， ∴， ∴旋转方向和旋转角度数可以是逆时针旋转， 故答案为：逆时针旋转（答案不唯一）． 5．(23-24七上·上海普陀区·期末)如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，平移的性质，根据折叠的性质得到，由平移的性质得到，，对进行等量代换即可得到结论． 【详解】解：将沿直线折叠，使点落在点处， ， 向右平移若干单位长度后恰好能与边重合， ，， 阴影部分的周长为， 则， 故答案为：． 6．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)图（1）是一块智慧黑板的平面示意图，由①、②、③、④四块长方形小黑板组成，四块小黑板的长和宽如图所示（其中），②和③号黑板分别可以向左、向右水平移动，移动后就可以看到黑板后的电子屏幕． 图1 图2 (1)将②号黑板向左水平移动到与重合，③号黑板向右水平移动到与重合，此时电子屏幕全部呈现，没有黑板遮挡，如图（2）所示．求电子屏幕的总面积；（用含的代数式表示） (2)将②号黑板向左水平移动长度，③号黑板水平向右水平移动一定的长度，此时被黑板遮挡住的电子屏幕的面积为，求③号黑板向右水平移动的长度．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算． （1）分别求出电子屏幕的长和宽，再根据长方形面积公式，即可解答； （2）用电子屏幕的长，减去被遮住部分的长，再减去②号黑板向左水平移动长度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：电子屏幕的长， 电子屏幕的宽， ∴电子屏幕的总面积． （2）解： ． 答：③号黑板向右水平移动的长度为． 7．(24-25七上·上海青浦区·期末)线段，，点，点与点如图所示（，，三点共线）．其中，，点与点之间的距离，点与点之间的距离为． (1)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ (2)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ 当，时，扫过的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了两点间的距离，旋转，扇形的面积等知识，解题的关键是： （1）画出旋转后的图形，利用扇形面积公式，计算两个扇形面积之差即线段扫过的面积； （2）画出旋转后的图形，利用扇形面积公式，计算两个扇形面积之差即线段扫过的面积，再把c、d的值代入计算即可． 【详解】（1）解：旋转后的图形如图所示： 线段扫过的面积为 ； （2）解：旋转后的图形如图所示： 由旋转知：， ∴线段扫过的面积为 ； ； 当时， 扫过的面积 ． 8．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)已知点是长方形的边上的一点，且点不与点、重合． (1)当长方形是正方形时，在图1、图2、图3的正方形网格图中，点、、、、都是格点，请按要求画图； ①在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点、、的对应点分别是点、、． ②连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． ③点是正方形网格图中的一点，且点不与点、、、、重合．将三角形绕着点旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点以及三角形旋转后得到的三角形． (2)设，，，将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在线段上．再将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在射线上．如果，那么的值为______________． 【答案】(1)图见解析 图见解析 图见解析 (2) 【分析】（1）分别按照平移（作图）、画轴对称图形、画旋转图形的方法作出相应的图形即可； （2）由轴对称的性质可得，进而求得，由列方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作； ②如图，即为所求作； ； ③如图，点即为旋转中心，即为所求作； （2）解：如图， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．(24-25七上·上海宝山区·期末)已知中，，，，，点在边上，．    (1)如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； (2)如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算； （1）根据旋转与轴对称的性质先判断，可得旋转角，再证明是轴对称图形，是轴对称图形，进一步可得的长度； （2）由旋转可得：，，，，证明，求解，再进一步求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角是， ∵，， ∴是轴对称图形， 由旋转可得：， ∴是轴对称图形， ∴， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得： ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，（），如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a． ①求四边形的面积．（用a，b的代数式表示）． ②若四边形的面积为20，的面积为6，求平移的距离． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用a，b的代数式表示） 【答案】(1) (2)①；②2 (3)或 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质，完全平方公式的变形求值，解二元一次方程组： （1）根据画旋转图形的方法作图即可； （2）①证明点与点B重合，三点共线，再根据列式求解即可；②根据题意可得，，再根据完全平方公式的变形得到，，则，解方程组即可得到答案； （3）求出，则根据三角形面积计算公式可得到的距离为，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①由平移的性质可得，，， ∴点与点B重合， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∴， ∴ ； ②∵四边形的面积为20，的面积为6， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平移距离为2； （3）解：由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴； 设到的距离为h， ∴， ∴， ∴平移的距离为或． 11．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)如图，长方形，厘米，厘米，点P从点B出发，沿着的方向匀速移动（到点A就停止移动），连接．如果点P移动的速度是每秒1厘米，移动的时间记为t秒．请回答以下问题：    (1)当点P在边上移动时（不包含端点），用含t的代数式表示的面积为 平方厘米； (2)当点P在边上移动时，的面积为 平方厘米； (3)如果的面积为6平方厘米，那么t的值为 秒． 【答案】(1) (2)14 (3)3或15 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合熟练掌握三角形面积公式，注意进行分类讨论． （1）根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据三角形面积公式求出结果即可； （3）分三种情况进行讨论，当点P在边上移动时，当点P在边上移动时，当点P在边上移动时，分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵点P移动的速度是每秒1厘米，移动的时间记为t秒， ∴， ∵为长方形， ∴厘米，厘米，， ∴当点P在边上移动时，（平方厘米），． 故答案为：． （2）解：当点P在边上移动时，（平方厘米）， 故答案为：14． （3）解：当点P在边上移动时，， 解得：； 当点P在边上移动时，的面积为平方厘米不可能为6平方厘米； 当点P在边上移动时，， ∵， ∴, 解得：； 综上分析可知，的面积为6平方厘米时，t的值为3或15． 故答案为：3或15． 12．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线， (1)如图2，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为α，则“对角旋转角”的度数_____（用含有α的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，则_____．； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面为130，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)240 【分析】此题考查了旋转的性质和定义以及三角形的面积公式． （1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出与的关系，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， 故答案为：； （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴． 13．(24-25上·上海民办南模中学·期末)若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点；，若与互为“伙伴角”，求的度数； (3)如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)的值为或． (3) 【分析】本题主要考查了新定义、折叠以及角的和差运算等知识点，一元一次方程的应用，掌握折叠的性质以及方程思想的应用是解答本题的关键． （1）按照“互优角”的定义，建立方程求解即可； （2）按照“互优角”的定义可得或，再建立方程解答即可； （3）按照“互优角”的定义可得，再结合轴对称的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． （2）∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或． （3）∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， 由对折可得：，，而， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 14．(24-25七上·上海松江区·期末)已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为． (1)当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简） (2)当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数； (3)当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数． 【答案】(1)； (2)顺时针方向；逆时针方向； (3)顺时针方向；逆时针方向． 【分析】延长、交于点，把不规则图形补充成一个矩形，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式列出表示面积的代数式； 本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别用含的代数式表示出与，再根据这两个角的度数之比为，列方程求解； 本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，旋转后如果重叠部分是等腰直角三角形，则为轴对称图形，根据等腰直角三角形的性质确定旋转角的度数即可． 【详解】（1）解：如下图所示，延长、交于点， 则矩形的长为，宽为， ； （2）解：如下图所示，如果顺时针旋转， 则有，， 与的度数之比为， ， 解得：； 如下图所示，如果逆时针旋转， 则有，， 与的度数之比为， ， 解得：； 综上所述，顺时针方向或逆时针方向； （3）解：如下图所示，重叠部分是， ， 若是轴对称图形， 则有是等腰直角三角形， ， ， 当顺时针方向旋转时， 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形， 长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形； 如下图所示，重叠部分是， ， 若是轴对称图形， 则有是等腰直角三角形， ， ， 当逆时针方向旋转时， 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形， 长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形； 综上所述，当顺时针方向或逆时针方向长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、轴对称图形、解一元一次方程、列代数式、分类讨论的思想．解决本题的关键是要注意分类讨论思想的运用，图形旋转时要分顺时针旋转或逆时针旋转两种情况考虑． 15．(23-24七上·上海宝山区·期末)长方形中，，，对角线，            (1)如图1，将长方形绕点按顺时针方向旋转到长方形的位置，画出点扫过的图形，并求线段扫过的图形面积．（结果保留） (2)在图1中，将长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形（见图2），如果交于点，交于点，四边形是正方形，分别联结、，得到六边形，求这个六边形的面积（用的代数式表示），并写出的取值范围． (3)在第（2）小题中，记，，，如果六边形的面积等于长方形面积的两倍，求、、之间存在什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得到以点A为圆心，长为半径的即为点C扫过的图形，以点A为圆心，长为半径的扇形即为线段扫过的图形，根据圆面积公式即可得到线段扫过的图形面积； （2）用含x的代数式表示出相应线段，根据即可得到答案； （3）根据和六边形的面积等于长方形面积的两倍即可得到答案． 此题考查了列代数式、整式的混合运算的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，以点A为圆心，长为半径的即为点C扫过的图形，以点A为圆心，长为半径的扇形即为线段扫过的图形， ∴线段扫过的图形面积为． （2）解：由题意可知，，， 设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴六边形的面积 ， 即，其中； （3），理由如下： ∵，，， ∴由（2）可得，， ∵六边形的面积等于长方形面积的两倍， ∴, ∴， 则． 16．(23-24七上·上海杨浦区·期末)如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点处，一直角边与直线重合，另一直角边、斜边都在直线的下方． (1)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，如图所示，此时________； (2)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转一个角度（）， ①当旋转的角度α为何值时，射线所在的直线是的对称轴； ②是否存在相应的旋转角度α使得与互补？若存在，请直接写出α的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①为或；②为或． 【分析】本题考查了图形的旋转、平角、角的和差倍分，轴对称的性质，熟练掌握角的运算是解题关键． （1）根据旋转的性质即可得； （2）①根据角的和差及轴对称的性质分三角尺在的上方和三角尺在的下方两种情况求解即可；②分在内和在外两种情况讨论求解即可． ． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解∶①如图，当三角尺在的上方时， ∵射线所在的直线是的对称轴， ∴， ∴； 如图，当三角尺在的下方时， ∵， ∴， ∵射线所在的直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴； 综上，为或． ②如图，当在内时， ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴即， 解得， 如图，当在外时， ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴即， 解得； 综上，为或时，与互补． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平移、折叠、旋转问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平移的性质求解（重点） 1 题型二、根据成轴对称图形的特征进行求解（重点） 3 题型三、折叠问题（重点） 5 题型四、根据旋转的性质求解（重点） 7 题型五、平移问题中的多解问题（难点） 10 题型六、折叠问题中的多解问题（难点） 11 题型七、旋转中的多解问题（难点） 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平移的性质求解 1．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是 厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 2．(24-25七上·上海静安区·期末)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为2，那么点A与点G的距离是 ． 3．(24-25七上·上海青浦区·期末)如图所示，线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿 方向平移了 cm． 4．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，请判断 先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）． 5．(24-25七上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，则的长为 ． 6．(24-25七上·上海松江区·期末)如图，将周长为17的沿平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是 ． 7．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，将沿方向平移之后得到，若，则 ． 8．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如图，已知，将沿直线平移得到（其中、、分别与、、对应），平移的距离为长度的． (1)画出满足条件的； (2)连接，如果的面积为，求出的面积． 题型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 9．(24-25七上·上海黄浦区·期末)如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 10．(24-25七上·上海宝山区·期末)如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么 ． 11．(24-25七上·上海青浦区·期末)【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 题型三、折叠问题 12．(23-24七上·上海闵行区·期末)如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（     ） A． B． C． D． 13．“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着成线剪去一个角，再打开后的形状是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，点、分别在三角形的边、上，把三角形沿直线翻折后得三角形．如果，那么的度数为 ． 15．(23-24七上·上海闵行区·期末)如图，把一张平行四边形纸片沿直线EF翻折，翻折后的图形面积（阴影部分）与原平行四边形纸片的面积之比为，其重叠部分面积为，则原平行四边形纸片的面积是 ． 16．(24-25七上·上海闵行区·期末)如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为 ． 17．(24-25七上·上海黄浦区·期末)如图，长方形纸片，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置，若，则 ． 18．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，已知长方形的边，将长方形沿直线折叠，则图中折成的四个阴影三角形的周长之和为 (用含的代数式表示）． 19．(23-24七上·上海浦东新区部分学校联考·期末)如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 题型四、根据旋转的性质求解 20．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，将△绕点按顺时针方向旋转后得到△，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 21．(24-25七上·上海静安区、青浦区·期末)如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C′AB′的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．45° 22．(24-25七上·上海普陀区·期末)如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 23．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，已知，．将射线绕着点按顺时针方向旋转后恰好落在的内部，那么的取值范围是 ． 24．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 °． 25．(24-25七上·上海青浦区·期末)如图，将绕点逆时针旋转30°得到，且恰好落在边上，已知，则 ． 26．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如图，△ABC中，∠BAC＝40°，把△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，则∠EAC的度数为 ． 27．(24-25七上·上海宝山区·期末)如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，如果正方形的边长是5，那么四边形的面积是 ． 28．(24-25七上·上海长宁区·期末)如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留） 29．(24-25七上·上海普陀区·期末)如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到． (1)当点与点重合时，线段的长度为______；（直接写出答案） (2)设，用含和的代数式表示的面积． 30．(23-24七上·上海松江区·期末)如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 题型五、平移问题中的多解问题 31．(23-24七上·上海浦东新区部分学校联考·期末)已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当时， ． 32．(24-25七上·上海闵行区·期末)为了将一张长和宽分别是a和b的长方形纸片拼接成新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． (1)新图形的面积为 ； (2)在图4中延长交于点G，如果，四边形是一个边长为m的正方形． ①用两种方法表示的长； ②如果，求a与b之间的数量关系． 题型六、折叠问题中的多解问题 33．(24-25上·上海民办南模中学·期末)如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 34．(24-25七上·上海普陀区·期末)如图，点在长方形纸片的边上，点,分别在射线,上．将沿翻折，点的对应点为点，将沿翻折，点的对应点是点．如果点在内部，且，那么 ．（用含的代数式表示） 35．(23-24七上·上海杨浦区·期末)如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 36．(24-25七上·上海长宁区·期末)已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 37．(23-24七上·上海闵行区·期末)如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”．有一长方形纸片，如图1，点P在线段上，点E在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点B落在点处． (1)如果与互为“互优角”，那么的度数为 ； (2)点F在线段上，再将纸片沿着翻折，使点C落在点处． ①如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数；（写出必要解题步骤） ②若与互为“互优角”，设（直接填写答案） 如图3，当线段落在外部时，与满足的数量关系为 ； 如图4，当线段落在内部时，与满足的数量关系为 ． 题型七、旋转中的多解问题 38．如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为 ． 39．(24-25七上·上海长宁区·期末)如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点在同一条直线上，点也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为 ． 40．(23-24七上·上海金山区·期末)0．如图，在中，，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，连接，则的面积是 ． 41．(23-24七上·上海闵行区·期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为 ． 42．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)如图，正方形，点是线段延长线一点，连结，， （1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积. （2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积. （3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角 43．(24-25七上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边与直线重合，其中． (1)求图1中的的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕着点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数； ②是否存在？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由． 44．(24-25七上·上海黄浦区·期末)如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °； (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °； (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？ 1．(23-24七上·上海闵行区·期末)如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点，若，那么的大小为（    ）． A． B． C． D． 2．(23-24七上·上海松江区·期末)如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 3．如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ． 4．(23-24七上·上海宝山区·期末)如图，在三角形中，．如果将三角形绕点旋转后得到三角形，再将三角形沿直线翻折得到三角形，如果点落在内部，且，那么三角形绕点旋转得到三角形的旋转方向和旋转角度数可以是 ． 5．(23-24七上·上海普陀区·期末)如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ． 6．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)图（1）是一块智慧黑板的平面示意图，由①、②、③、④四块长方形小黑板组成，四块小黑板的长和宽如图所示（其中），②和③号黑板分别可以向左、向右水平移动，移动后就可以看到黑板后的电子屏幕． 图1 图2 (1)将②号黑板向左水平移动到与重合，③号黑板向右水平移动到与重合，此时电子屏幕全部呈现，没有黑板遮挡，如图（2）所示．求电子屏幕的总面积；（用含的代数式表示） (2)将②号黑板向左水平移动长度，③号黑板水平向右水平移动一定的长度，此时被黑板遮挡住的电子屏幕的面积为，求③号黑板向右水平移动的长度．（用含的代数式表示） 7．(24-25七上·上海青浦区·期末)线段，，点，点与点如图所示（，，三点共线）．其中，，点与点之间的距离，点与点之间的距离为． (1)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ (2)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ 当，时，扫过的面积是多少？（结果保留） 8．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)已知点是长方形的边上的一点，且点不与点、重合． (1)当长方形是正方形时，在图1、图2、图3的正方形网格图中，点、、、、都是格点，请按要求画图； ①在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点、、的对应点分别是点、、． ②连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． ③点是正方形网格图中的一点，且点不与点、、、、重合．将三角形绕着点旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点以及三角形旋转后得到的三角形． (2)设，，，将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在线段上．再将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在射线上．如果，那么的值为______________． 9．(24-25七上·上海宝山区·期末)已知中，，，，，点在边上，．    (1)如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； (2)如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 10．如图，在中，，，，（），如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a． ①求四边形的面积．（用a，b的代数式表示）． ②若四边形的面积为20，的面积为6，求平移的距离． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用a，b的代数式表示） 11．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)如图，长方形，厘米，厘米，点P从点B出发，沿着的方向匀速移动（到点A就停止移动），连接．如果点P移动的速度是每秒1厘米，移动的时间记为t秒．请回答以下问题：    (1)当点P在边上移动时（不包含端点），用含t的代数式表示的面积为 平方厘米； (2)当点P在边上移动时，的面积为 平方厘米； (3)如果的面积为6平方厘米，那么t的值为 秒． 12．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线， (1)如图2，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为α，则“对角旋转角”的度数_____（用含有α的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，则_____．； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面为130，请求出此时长方形的面积． 13．(24-25上·上海民办南模中学·期末)若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点；，若与互为“伙伴角”，求的度数； (3)如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 14．(24-25七上·上海松江区·期末)已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为． (1)当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简） (2)当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数； (3)当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数． 15．(23-24七上·上海宝山区·期末)长方形中，，，对角线，            (1)如图1，将长方形绕点按顺时针方向旋转到长方形的位置，画出点扫过的图形，并求线段扫过的图形面积．（结果保留） (2)在图1中，将长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形（见图2），如果交于点，交于点，四边形是正方形，分别联结、，得到六边形，求这个六边形的面积（用的代数式表示），并写出的取值范围． (3)在第（2）小题中，记，，，如果六边形的面积等于长方形面积的两倍，求、、之间存在什么数量关系？并说明理由． 16．(23-24七上·上海杨浦区·期末)如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点处，一直角边与直线重合，另一直角边、斜边都在直线的下方． (1)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，如图所示，此时________； (2)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转一个角度（）， ①当旋转的角度α为何值时，射线所在的直线是的对称轴； ②是否存在相应的旋转角度α使得与互补？若存在，请直接写出α的值：若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $