专题01 线段上的中点、n等分点有关的计算（四大题型）（专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题01 线段上的中点、n等分点有关的计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、双中点模型 1 题型二、n等分点 8 题型三、分类讨论思想的应用 16 题型四、方程思想的应用 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、双中点模型 1．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，与线段中点有关的计算等知识．熟练掌握线段的和与差，与线段中点有关的计算是解题的关键． 由题意知，，，，由点E在线段上，可得，由，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵点E在线段上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海·期末）如图，线段，E、F分别是、的中点，且，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，先设，，然后根据中点得到，，然后根据列方程求出a的值，然后根据计算即可． 【详解】解：设，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）点在线段上，，，、分别为线段、的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义可得的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解；∵，，、分别为线段、的中点， ∴， ∴． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段的中点，结合图形，灵活运用线段的和与差求值是解题的关键． 先根据题中条件求出，，的长，再利用中点求出，的长，最后求的长． 【详解】线段被点、分成了三部分，且， ，，， 、分别为、的中点， ，， ． 6．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系． （1）由线段中点的有关计算得出，，再根据线段的和差关系即可得出． （2）根据已知条件可得出，再根据线段的和差关系即可得出． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 7.如图，点P是线段上的一点，点M，N分别是线段的中点．    (1)如图①，若点P是线段的中点，且，则线段长_____，线段长______； (2)如图②，若点P是线段上的任意一点，且，求线段的长． 【答案】(1)20；10； (2)． 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）根据线段中点的定义得到，则，，再由线段中点的定义得到，则； （2）根据线段中点的定义得到，则可得． 【详解】（1）解：∵点M是的中点，， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴． 8．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，利用中点求线段长． （1）首先根据求出，根据题意知，即可得到本题答案； （2）利用中点分别求出，，再利用线段和差即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵线段， ， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴． 9.如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 【答案】(1)15 (2)的长度为21 (3)的长度为 【分析】（1）根据线段的定义即可得到结论； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键． 【详解】（1）解：图中共有条线段， 故答案为：15． （2）解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为21． （3）解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 10．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 题型二、n等分点 11．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两线段的和、差，掌握线段中点和三等分点的定义是解题的关键． 根据题意得出，，进而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：解：，， ， 故答案为： ． 12.如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．根据点M、N为线段的三等分点，可得，再由点P为线段的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点M、N为线段的三等分点， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 13.如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查线段的中点性质，线段等分点的计算，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键． 先根据M是线段的中点，求出，再根据求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：M是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 14.如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及可得，进而可得，得到，即可判断①；进而可得，得到，再根据中点的定义得到，即得，即可判断②；由可得，据此可判断③；由，进而可判断④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的三等分点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有②④， 故答案为：②④． 15．都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16.已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，由中点的定义可得，进而利用线段的差计算解答即可．解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 【详解】解：如图： ∵，，是的中点，是的三等分点（靠近点），∴， ∴，， ∴． 即的长为． 17.如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据线段中点的特点得到对应线段之间的数量关系进行求解，即可解题； （2）根据得到的长，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：点是线段的中点，线段， ， 点是线段的中点， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 18.已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1)13 (2)16或12 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是需要进行分类讨论求解． （1）根据已知条件得到，，由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； （2）当点线段的三等分点时，分两种情况：当点靠近点时，当点靠近点时，由线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，， 为中点， ， ， ， ； （2）解：点是线段的三等分点，， 当点靠近点时，， ， ； 当点靠近点时，， ． 19.如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查选段的和差运算，线段中点的定义，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； (1)根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可； (2)根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可. 本题考查两点间的距离， 【详解】（1）解：由于，可设，则，， ∴， ∴， ，，， 是线段的中点， ， ； （2）由于，可设，则，， 是线段的中点， ， ， ，即， 解得， ． 20.小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2)；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型三、分类讨论思想的应用 21．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知点、、在直线上，若，，点是线段的中点，那么线段的长是多少？ 小明同学画出图形，做了如下解答： 因为，，在直线上， 所以， 因为，，∴， 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请画出图形并补全解题过程；如果全面，请说明理由． 【答案】不全面，过程见解析 【分析】本题主要考查了中点的定义，线段的和差， 根据题意画出图形，先求出，再根据中点的定义求出，最后根据得出答案． 【详解】解：当点C在线段外时，如图所示， 根据题意，得， 因为，， ∴． 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 当点C在线段之间时，如图所示， 根据题意，得， 因为，， ∴． 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 所以的长为或. 所以小明的解答不全面，的长为或. 22．如图，已知点为线段上一点，，，点分别是的中点． (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）先求出的长，再根据中点定义求出，最后根据线段的和差关系计算即可； （）分在点的右侧和左侧两种情况进行计算即可； 本题考查了线段的中点，线段的和差，掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴； （2）解：当在点的右侧时，如图， ； 当在点的左侧时，如图， ； ∴的长度为或． 23.如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算： （1）利用中点求出，再由求出，最后由求解即可； （2）分两种情况讨论，分别求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点C是线段的中点 ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：当点为靠近点D的三等分点时，如图： 则， ∴； 当点为靠近点A的三等分点时，如图： 则， ∴， ∴的长为或． 24.如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义， （1）根据，即可求解； （2）先求出的长，再根据三等分点的定义可求解； 根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴线段的长度为； （2）当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴线段的长度为或． 25.将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处． (1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm； (2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长； (3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示） 【答案】(1)30 (2) (3)的长为或 【分析】本题考查了两点间的距离． （1）因为点，恰好重合，所以，已知，可得的长； （2）已知，，可得的长，又因，可得的长； （3）分点落在点的左侧、点落在点的右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：点，恰好重合， ， ， ， 故答案为：30； （2）解：，， ， ， ． （3）解：①当点落在点的左侧时， ，，， ， ， ， ②当点落在点的右侧时， ，，，， ， ， ， 综上，的长为或． 26.如图，点C在线段上，，． (1) ； ． (2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 【答案】(1)12，6 (2)①7；②的长为3或5． 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据，，可求得，； （2）①根据中点定义求出，由线段的和差即可得到的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，确定点是的中点，即可求的长． 【详解】（1）∵，， ，； （2）如图1， 为中点， ， ， ， ； ②Ⅰ、当点在点的左侧，如图2， ，， 点是的中点， ， ， ； ，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点在点的右侧， ，， ， ， ． ，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：的长为3或5． 27.已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从点M、B出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段上，点D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了时，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 （填空）； (4)在（3）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或1 【分析】本题主要考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． （1）依据题意，根据运动速度和时间分别求得的长，根据线段的和差计算可得； （2）依据题意，当点C、D运动了时，有，从而由可得答案； （3）根据C、D的运动速度知，再由已知条件求得，所以； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上分别求解可得． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：，； （2）解：由题意，当点C、D运动了时，有， ∵， ∴； （3）解：由题意，根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：①当点N在线段上时，如图1， ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵， 又∵， ∴， ∴． 综上所述或1． 题型四、方程思想的应用 28．如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了线段的和差及中点，路程问题，列一元一次方程解决几何问题，动点问题，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）根据中点的性质和线段的倍数关系求出线段的长度，然后根据速度公式进行求解即可； （2）根据题意，分两种情况进行讨论，即当点运动时和停止时，进行列方程求解即可； （3）根据动点分三种情况进行讨论，根据线段中点得出相等的线段，令，则，利用线段的和差表示出相关线段，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，， ∴， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点， ∴， ∴，， ∴点运动的时间为， ∴点的速度为， 故答案为：； （2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，， ∴， 根据题意得， ① 解得， ，符合题意， 所以，经过P、Q两点相距； ② 解得， ∵， 该种情况不符合题意，舍去； 当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得， 点运动的时间为， 综上，经过或P、Q两点相距； （3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ③如图所示，当点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； 综上，． 29.对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 【答案】(1) (2)0或3 (3) 【分析】本题主要考查两点间的距离，一元一次方程的应用，注意分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据“倍分点”的定义进行判断即可； （2）根据“倍分点”的定义进行解答； （3）根据“倍分点”的定义，分两种情况列出关于的一元一次方程，解得的值即可； 【详解】（1）解：由题意的：， ， ， ， 点是点到点的倍分点．点是点到点的倍分点， 故答案为：； （2）解：设3倍分点为，则， 若在左侧，则，不成立； 若在之间，则有， ， ， ， 点为0， 若在点右侧，则有， ， ， 所以点为3， 综上所述，点到点的3倍分点表示的数是0或3； （3）解：当2倍分点为点且点在点左侧时，取得最小值， 此时 解得：， 当2倍分点为点且点在点右侧时，取得最大值， 此时 解得， 综合两种情况，的取值范围是． 30.如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    31.【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）17；（3）①；②当时，为定值，是 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）求出点D对应的数，即可求解； （2）根据题意可得点P所表示的数为，点Q表示的数为，再由的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解； （3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为，点F所表示的数为，从而得到，进而得到，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， ∴点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由题意得，点P所表示的数为，点Q表示的数为， ∵的中点所对应的数为10， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意∶点M对应的数为， 故答案为∶； ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，为定值，是． 1．如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键： （1）中点求出的长，再利用线段的和差关系求解即可； （2）根据中点结合线段的和差关系，得到，即可得出结果； （3）根据，即可得出结果； （4）由（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴， ∴； （2）∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴； （4）由（2）知：． 2．已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 3．线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)线段的长为7或10 【分析】本题考查了同解方程以及线段的中点的定义，熟练掌握同解方程性质，线段中点性质，线段的和差，分类讨论，是解题的关键． （1）先求出第一个方程的解，然后根据方程同解把第二个方程中的x换成m的值，求解即可得到n的值； （2）可得，，分当点P在线段上时，，得，再根据中点定义得的长度，即可求出；当点P在线段的延长线上时，，得，再根据中点定义得，即可得． 【详解】（1）解：解方程， 得， ∵方程的解也是的方程的解， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P在线段上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 当点P在延长线上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故线段的长为7或10． 6.【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①②存在，当时， 为定值，是． 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得CD的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 当时， 为定值，是． 7.【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段上的中点、n等分点有关的计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、双中点模型 1 题型二、n等分点 3 题型三、分类讨论思想的应用 7 题型四、方程思想的应用 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、双中点模型 1．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 3．（23-24六年级下·上海·期末）如图，线段，E、F分别是、的中点，且，则线段的长为 ． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）点在线段上，，，、分别为线段、的中点，求的长． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 6．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 7.如图，点P是线段上的一点，点M，N分别是线段的中点．    (1)如图①，若点P是线段的中点，且，则线段长_____，线段长______； (2)如图②，若点P是线段上的任意一点，且，求线段的长． 8．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 9.如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 10．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 题型二、n等分点 11．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 12.如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 13.如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 14.如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 15．都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 16.已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 17.如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 18.已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 19.如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 20.小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 题型三、分类讨论思想的应用 21．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知点、、在直线上，若，，点是线段的中点，那么线段的长是多少？ 小明同学画出图形，做了如下解答： 因为，，在直线上， 所以， 因为，，∴， 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请画出图形并补全解题过程；如果全面，请说明理由． 22．如图，已知点为线段上一点，，，点分别是的中点． (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 23.如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 24.如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 25.将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处． (1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm； (2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长； (3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示） 26.如图，点C在线段上，，． (1) ； ． (2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 27.已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从点M、B出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段上，点D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了时，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 （填空）； (4)在（3）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 题型四、方程思想的应用 28．如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 29.对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 30.如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 31.【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 1．如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 2．已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 3．线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 4．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 6.【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 7.【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $