精品解析：四川省什邡中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年四川省德阳市什邡中学高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 4. 设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 5. 正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8 6. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的值不可能是（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知正数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 和表示的是同一个函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 且在单调递减 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________． 13. 函数的单调增区间为______  . 14. 关于x的方程的解为______  . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，. （1）求； （2）求. 16. 已知函数，. （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并用定义证明. 17. 已知二次函数满足条件，且. （1）求函数的解析式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值集合； （3）若函数的值域为，求实数的取值范围. 18. 设函数 （1）若为奇函数，求不等式的解集； （2）若为偶函数，证明：在单调递增； （3）在（2）的条件下，设函数，，若在的最小值为，求实数的值. 19. 已知函数（其中是常数）. （1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省德阳市什邡中学高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】，所以. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定求解. 【详解】由存在量词命题的否定知， ， 否定为：，. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件定义可判断选项正误. 【详解】若，则，充分性得证； 若，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取反例判断ABD，利用不等式同向可加性判断C. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，故B错误； 因为，则，又， 所以，所以C正确； 取，则，，故D错误. 故选：C 5. 正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】应用常数代换结合基本不等式计算求解最小值. 【详解】正数满足， ， 当且仅当且， 即时取等号，即的最小值是. 故选：A. 6. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定不等式的解集，结合韦达定理求出，再代入并将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根， 则，不等式化为， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：D 7. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 函数在上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足，从而得到答案. 【详解】函数在上是增函数，则满足下列条件： （1）在递增，，即或 （2）在递增，则 （3）当时满足，解得 综上可得函数在上是增函数，实数的取值范围是 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足，这也时容易出错的地方，属于中档题. 8. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的值不可能是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先利用分段函数求出的最小值，进而转化为，解不等式即可. 【详解】令， 当时，； 当时，； 当时，， 故， 因不等式对恒成立， 则，即，得， 故不符合题意的选项有D. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知正数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断即可. 【详解】因为，，，所以，解得，当且仅当时，等号成立，A正确，B不正确； ，当且仅当，时，等号成立，C不正确，D正确． 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 和表示的是同一个函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 且在单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合幂、指数函数的单调性及复合函数的单调性检验ACD，结合相同函数的定义检验B. 【详解】当时，指数函数为增函数，所以， 又指数函数为减函数，故 ，A正确； 由和的定义域及对应关系相同，为同一函数，B正确； 由在和均单调递减，则的单调递减区间是和，C错误； 令，，， 当时，在上单调递增且值域为，在上单调递减， 根据复合函数单调性可知，此时函数单调递减； 当时，在上单调递减且值域为，在上单调递增， 根据复合函数单调性可知，此时函数单调递减， 综上，且在单调递减，D正确． 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据赋值法，抽象函数的奇偶性，对称性，周期性，针对各个选项分别求解即可． 【详解】对于A，因为， 所以，所以，所以A选项正确； 对于B，所以， 所以，所以为奇函数，所以B选项错误； 对于C，因为为偶函数， 所以， 所以，又为奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以的周期为6， 所以， 将替换为可得，所以C选项正确； 对于D，由，可得， 所以，所以D选项正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性求解. 【详解】因函数的图象对称轴方程为， 由在上单调递减，可得，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 13. 函数的单调增区间为______  . 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数、二次函数性质，结合复合函数的单调性的求法，求解即可． 【详解】设，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以t在上单调递减，在上单调递增， 又因为在R上单调递减， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 14. 关于x的方程的解为______  . 【答案】81 【解析】 【分析】对原等式两边取对数得，整理得，令，，从而，再令，从而，即得，进而求解． 【详解】由题意，得， 因为，所以， 即，所以， 令，，则，即， 设，则有，所以且， 由在上单调递增， 所以，所以， 所以，则， 当时，左边，则， 所以等式成立，故原方程的解为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用列举法表示集合，再利用交集的定义求解. （2）由（1）的信息，利用并集、补集的定义求解. 【小问1详解】 依题意，，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，而， 所以. 16. 已知函数，. （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）是奇函数 （2）在上单调递增，证明如下： 设任意的且， 则 ， 因为且，， 所以，，则， 所以，即，即， 所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再计算即可判断； （2）利用函数的单调性的定义即可判断与证明. 【小问1详解】 是奇函数， 当时，，则定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数． 【小问2详解】 略 17. 已知二次函数满足条件，且. （1）求函数的解析式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值集合； （3）若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，结合题意运算求即可； （2）构建，可知在内单调递增，结合恒成立问题运算求解即可； （3）构造，分析可知的值域包含，分和两种情况，结合二次函数性质运算求解. 【小问1详解】 由题意可设：，， 因为， 且， 可得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若对于任意的，不等式恒成立， 构造，可知在内单调递增， 则，解得， 所以实数的取值集合为. 【小问3详解】 因为， 构造， 若函数的值域为，则的值域包含， 若，则的值域为，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 18. 设函数 （1）若为奇函数，求不等式的解集； （2）若为偶函数，证明：在单调递增； （3）在（2）的条件下，设函数，，若在的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 由为偶函数，可得，整理得， 因不恒为0，则，即，函数解析式为， 任取，且，由 ， 因，则， 则，故，所以在单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列出方程，求得，即得函数解析式，利用指数函数的单调性求解不等式即得； （2）根据偶函数的定义列出方程，求得，即得函数解析式，利用函数的单调性定义证明即可； （3）设，由函数单调性结合可得，将函数整理成关于的二次函数，结合二次函数的图象性质，由题设条件建立方程，求解检验即得参数的值. 【小问1详解】 由为奇函数，可得，整理得， 因，则，即，函数解析式为， 由，可得，则，解得，即不等式的解集为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，该函数在上单调递增， 设，则，因， 则由可得， 其对称轴为直线，因，则， 当时，即时，由，解得，符合题意； 当时，即时，由，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 19. 已知函数（其中是常数）. （1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：将转化为，令，得，从而利用二次函数的图象与性质解答相关问题． 试题解析：（1），令， 当时，，问题转化为当时，恒成立. 于是，只需在上的最大值，即，解得， ∴实数的取值范围是． （2）若存在，使，则存在，使， 于是，只需在上的最小值，即，解得， ∴实数的取值范围是． （3）若方程在上有唯一实数解， 则方程在上有唯一实数解. 因， 故在上不可能有两个相等的实数解. 令，因，故只需，解得， ∴实数的取值范围是． 考点：1、函数的单调性；2、二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $