2.2 基本不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2节 基本不等式 【考点归纳】 【考点1】基本不等式条件满足（设与，求最值） 【例题】 1．（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4. 2、（2025高一·安徽蚌埠·期末）已知，，若，则的（   ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为8 D．最大值为8 【答案】A 【解析】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 3、（25-26高一·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】要使根式有意义，则，解得．即，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为2． 【举一反三】 1、（2025高一·安徽蚌埠·期末）已知，，若，则的（   ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为8 D．最大值为8 【答案】A 【解析】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 2、（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为 【答案】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 【专题作业】 1、（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为 . 【答案】，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：1. 2、（2025高一·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 当且仅当，即时等号成立，当或时，恒成立， 综上所述的最大值为。 3、（25-26高一·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】要使根式有意义，则，解得．又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为2． 【考点2】 情景1：式子变形 （1）一不正 【例题】（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以，即的最大值为0. 【举一反三】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，求的最大值． 【答案】解  ∵，∴，∴， ∴， ∵，当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴当时，取得最大值． 【专题作业】（2025广东·课前预习改编）已知，求的最大值． 【答案】解  ∵，∴，∴， ∴， ∵ 即，当且仅当，即时等号成立． ∴当时，的最大值是． （2）二不定 【例题】 1、分母型（2025高一·全国·课前预习）若，求的最小值是 . 【答案】21 2、分子型（2025高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【解析】因为，所以， 当且仅当．即时，等号成立． 3、乘1型（25-26高一·江苏扬州·阶段练习）设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，，则， 当且仅当，即时取等号.. 【举一反三】 1、（23-24高一下·山西临汾·期末）若，则的最小值为 ． 【解析】由，有,所以， 当且仅当， 即时取等号. 2、（2025高一·甘肃兰州·期中）求的最小值. 【解析】当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为. 3、（2025高一·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 即， 当且仅当，即时，等号成立。 4、（2025高一·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 【答案】D 【解析】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 【专题作业】 1、（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】由，则，则， 当且仅当时，即时取等号，最小值为10 2、（25-26高一上·贵州毕节·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．6 【解析】，， 当且仅当，即时等号成立. 3、 3、（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 情景2：三不等处理 【例题】（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的最值为（   ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 【答案】C 【解析】因为，故，当且仅当时取得最小值3； 令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值. 故时，无最大值. 【举一反三】（2025高一·全国·课后作业）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A，当时，，即A不符合题意； 选项B，，即B不符合题意； 选项C，，当且仅当，即时，等号成立，即C符合题意； 选项D，令，则在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即D不符合题意． 【专题作业】（2025高一·北京西城·期中）函数的最小值为 【答案】由对勾函数的性质可知在上单调递增，所以。 【考点3】换元法或消元法+基本不等式 【例题】 1、（2025高一·全国·专题练习）若，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，令，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 2、（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 【举一反三】 1、（24-25高一上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【解析】因为，则，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 2、（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 【专题作业】 1、（2025·福建泉州·模拟预测）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，则，，由题意可知，则， ，当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值是. 【考点4】和积互化+基本不等式 【例题】（2025·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即，且， 即，解得， 当且仅当，时，，当且仅当时，， 所以的取值范围是. 【举一反三】（2024高一·上海·专题练习）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知正实数满足，求的最小值； （3）已知实数满足，求的最大值. 【答案】（1）， ， 当且仅当，即时，上式取等号． 故当时，. （2），， 当且仅当时，等号成立，∴的最小值为18. 【专题作业】（24-25高一上·广东东莞）已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【解答过程】因为，所以，即， 由基本不等式得，则，解得，当且仅当取等号. 所以的最大值为. 【考点5】已知不等式的解为R恒成立，求参 【例题】 1、参数分离型 （2025高一·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【解析】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 2、解不等式型 （23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时， 有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 【举一反三】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为恒成立，则， ， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8， 所以，即，解得：. 【专题作业】 1、（25-26高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立，所以实数的取值范围是. 2、（25-26高一上·山东济宁·期中）已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为恒成立，则， ， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8， 所以，即，解得：. 【考点6】已知不等式在R上有解，求参 【例题】（25-26高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足， 且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 【举一反三】（23-24高一上·湖北·期中）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（-∞，-1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【答案】A 【解析】因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即，解得或. 【专题作业】（25-26高一上·天津河西·阶段练习）已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是 . 【解析】由已知得：，， 当且仅当时取等号；由题意：，即， 解得：或 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 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3、（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 情景2：三不等处理 【例题】（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的最值为（   ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 【举一反三】（2025高一·全国·课后作业）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【专题作业】（2025高一·北京西城·期中）函数的最小值为 【考点3】换元法或消元法+基本不等式 【例题】 1、（2025高一·全国·专题练习）若，，则的最小值为 ． 2、（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【举一反三】 1、（24-25高一上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 2、（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【专题作业】（2025·福建泉州·模拟）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点4】和积互化+基本不等式 【例题】（2025·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】（2024高一·上海·专题练习）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知正实数满足，求的最小值； （3）已知实数满足，求的最大值. 【专题作业】（24-25高一上·广东东莞）已知，且，则的最大值为 . 【考点5】已知不等式的解为R恒成立，求参 【例题】 1、参数分离型 （2025高一·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、解不等式型 （23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时， 有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【专题作业】 1、（25-26高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、（25-26高一上·山东济宁·期中）已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【考点6】已知不等式在R上有解，求参 【例题】（25-26高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足， 且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【举一反三】（23-24高一上·湖北·期中）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（-∞，-1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【专题作业】（25-26高一上·天津河西·阶段练习）已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $